? 江蘇省如皋市外國語學校 陳志勇

函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學思想方法.在初中數(shù)學教學中,教師應重視函數(shù)與方程思想的滲透,讓學生深刻理解、掌握函數(shù)與方程思想,并靈活應用函數(shù)與方程思想解決一些實際問題,感悟思想的魅力,提高學生的解題能力及思維品質(zhì)[1].那么,在實際教學中應如何滲透呢?筆者結合教學經(jīng)驗談了幾點拙見,供參考!

1 認真研讀教材,挖掘教學資源

教材是課程的核心資源和權威載體,遠離教材的教學不利于教學目標的達成和學生學習能力的提升.因此,在數(shù)學教學中,教師要認真研究教材、立足教材,充分挖掘教學資源,通過合理開發(fā)與運用,提高教學有效性.滲透數(shù)學思想是課堂教學的重要任務,也是培養(yǎng)學生可持續(xù)學習能力的必經(jīng)之路[2].為了更好地滲透函數(shù)與方程思想,教師應立足教材,選擇和函數(shù)與方程相關的內(nèi)容,充分挖掘二者之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學生形成對函數(shù)與方程思想的正確認識和深刻理解.

例如,在學習“二次函數(shù)”時,為了能讓學生建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,教師基于對教材內(nèi)容的分析,明確了可以引導學生通過概念的對比發(fā)現(xiàn)二者的內(nèi)在聯(lián)系.教學中,通過師生互動,幫助學生理解并掌握形如“y=ax2+bx+c(a,b,c都是常數(shù),且a≠0)的函數(shù)就叫二次函數(shù)”.在此基礎上,引導學生回顧一元二次方程的知識,即“一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a,b,c都是常數(shù),且a≠0)”.通過對比分析,引導學生發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)”與“一元二次方程”的聯(lián)結點,讓學生意識到當y=0時,二次函數(shù)就變成了一元二次方程,由此可以利用方程的知識來解決函數(shù)問題.

在實際教學中,教師應該引導學生去對比、去發(fā)現(xiàn),這樣通過有目的的滲透不僅可以激活學生的思維,而且可以激發(fā)學生數(shù)學探究的興趣,有利于知識的深化.

脫離數(shù)學內(nèi)容談數(shù)學思想的培養(yǎng)是空洞的,也是難以理解的.教師需要充分挖掘教材資源,善于從聯(lián)系的角度引導學生將相關內(nèi)容進行對比,以此通過新知與舊知的有效溝通,逐漸完善個體認知體系,提高學生數(shù)學綜合素養(yǎng).

2 啟發(fā)深度思考,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識

在函數(shù)教學中,教師要有意識地引導學生與方程的內(nèi)容建立聯(lián)系.如,在教學“一次函數(shù)”時,引導學生回顧“一元一次方程”的相關知識;在教學“二次函數(shù)”時,引導學生回顧“一元二次方程”的相關知識.學生通過深度思考,充分體會函數(shù)思想與方程思想相輔相成,這樣既可以達到鞏固已有知識的目的,還可以更好地理解函數(shù)與方程思想的本質(zhì).同時,通過二者的溝通與轉(zhuǎn)化,有利于加深對函數(shù)與方程思想方法的理解,促進思維能力的發(fā)展和解題能力的提升.

例如,在教學“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”時,為了滲透函數(shù)與方程思想方法,教師提出了如下問題:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的圖象與x軸交點的坐標與方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的解是什么關系?由此通過啟發(fā)性問題,引導學生主動發(fā)現(xiàn)二者之間的聯(lián)系.在問題的解決過程中,教師應引導學生分類討論,即分為二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點、一個交點、沒有交點三種情況.學生在教師的啟發(fā)下積極思考,發(fā)現(xiàn)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時,此時對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根;當二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點時,此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根;當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時,此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根.這樣,通過有效的啟發(fā),引導學生自主發(fā)現(xiàn)蘊含其中的數(shù)學規(guī)律,奠定了函數(shù)與方程思想的基礎.

其實,函數(shù)與方程思想的本質(zhì)就是相互轉(zhuǎn)化.教學中,教師要善于通過啟發(fā)性問題,引導學生將相關的知識建立一一對應的聯(lián)系,進而通過深度思考與探究實現(xiàn)函數(shù)與方程的靈活轉(zhuǎn)換,讓學生深刻理解函數(shù)與方程思想,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識[3].

3 結合典型案例,增強解題體驗

應用是強化知識、提煉方法、感悟思想的必經(jīng)之路.教學中,教師需要結合具體案例讓學生體驗函數(shù)與方程思想方法的重要應用價值,以此強化學生應用函數(shù)與方程思想解題的意識,提高解題能力.函數(shù)與方程思想在解題中有著重要的應用,尤其在解決與生活相關的實際問題時,常常需要將具體情境抽象成函數(shù)模型或方程模型,然后運用函數(shù)與方程的相關知識解決問題.

例如,在初三復習教學中,教師給出了一道這樣的練習:已知方程x2-3x+k=0有兩個實數(shù)根,其中一個根大于1,另一個根小于1,求k的取值范圍.分析題設信息不難發(fā)現(xiàn),該方程的兩根是不確定的,若從方程的角度去分析將很難找到解題的突破口.因此,可嘗試從函數(shù)的角度出發(fā),結合函數(shù)的圖象及性質(zhì)等相關知識尋找解題的突破口.基于此,不妨先將方程x2-3x+k=0視為對應的函數(shù)值為0的二次函數(shù),方程的根即為函數(shù)值為零時自變量x的值.結合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)易于發(fā)現(xiàn),該二次函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線,且與x軸有兩個交點.已知方程的兩個根分別為大于1和小于1的兩個實數(shù),故當x=1時,y<0.把x=1代入x2-3x+k=0,解得k=2,由此可以求出k<2.這樣將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,運用函數(shù)相關知識即可靈活地解決,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的優(yōu)勢,加深了學生對函數(shù)與方程思想的理解.

學以致用是教學的最終追求,是學生思維水平和學習能力的集中表現(xiàn).在解決函數(shù)與方程的問題時,若遇到障礙,應嘗試通過方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化來尋找解題的突破口,培養(yǎng)應用函數(shù)與方程思想的思維習慣,提高數(shù)學應用能力.

4 引導總結回顧,內(nèi)化認知結構

在傳統(tǒng)教學模式的束縛下,數(shù)學教學過度強調(diào)機械記憶和盲目套用,這樣表面上學生可以通過模仿和套用來解決問題,但是學生對知識、方法、思想的理解是淺層的,難以實現(xiàn)知識的內(nèi)化,不利于解決問題能力的提升.對于函數(shù)與方程思想方法的理解亦是如此,若學生僅僅是簡單機械地記憶函數(shù)與方程思想,不理解其本質(zhì),不主動重構,那么,他們又如何將其內(nèi)化為自己知識結構的一部分呢?因此,在實際教學中,要少一些“機械記憶”,多一些“自主探究”,引導學生對探究過程進行及時總結歸納,重視提煉蘊含其中的思想方法,以此將其內(nèi)化為自身的思想方法,提高數(shù)學素養(yǎng).

例如,在解答“已知方程x2-3x+k=0有兩個實數(shù)根,其中一個根大于1,另一個根小于1,求k的取值范圍”這一問題后,教師不要急于結束該問題的探究,應引導學生對解題過程進行有效的反思,通過思路的梳理和數(shù)學思想方法的提煉來升華學生的認知.通過有效反思,學生會發(fā)現(xiàn)應用函數(shù)與方程的思想可使問題向直觀化、簡單化轉(zhuǎn)化,使得問題的解決變得更加輕松、愉悅.當然,對于基礎薄弱的學生來講,他們的反思意識和反思能力相對欠缺,教師可以帶領學生一起回顧,以通過教師的啟發(fā)和引導,幫助學生理解問題的來龍去脈,認清問題的本質(zhì).例如,對于本題的解題過程,教師可以讓學生重新審題,思考“為什么要轉(zhuǎn)化?”“如何轉(zhuǎn)化?”“轉(zhuǎn)化后應用什么知識來求解?”這樣,通過解題過程的反思,不但可以進一步鞏固相關知識與方法,而且可以促進學生數(shù)學思想的內(nèi)化.

總之,函數(shù)與方程思想方法的形成是一個循序漸進的過程,需要在日常教學中逐步滲透.教學中,教師需充分挖掘各種教學資源,通過引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、應用、歸納等過程,幫助學生將函數(shù)與方程思想內(nèi)化為自己知識結構不可分割的一部分,以此提升綜合素養(yǎng).