李小軍, 田超杰, 黃緒宏

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100124;2. 青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,山東 青島 266520)

作為一種無源的被動控制裝置,顆粒阻尼技術(shù)最早起源于航空及機(jī)械振動控制領(lǐng)域,其通過將多個金屬或非金屬顆粒材料按某一填充率放入受控結(jié)構(gòu)的特定空腔內(nèi)進(jìn)行構(gòu)造。當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時,通過顆粒之間及顆粒與容器之間碰撞、摩擦,消耗、存儲并傳遞振動能量,以此達(dá)到結(jié)構(gòu)減振控制的目的。因其具有減振效果好、作用頻帶寬、造價低廉等優(yōu)點(diǎn),有望在工程結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域中得到較好的應(yīng)用。

雖然顆粒阻尼技術(shù)具有較好的應(yīng)用前景,然而對其復(fù)雜的非線性特性認(rèn)識不足限制了其在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的推廣應(yīng)用,深入揭示其減振性能及影響因素成為研究的關(guān)鍵。Papalou等[1-2]設(shè)計(jì)進(jìn)行了簡諧激勵及隨機(jī)振動下顆粒大小、附加質(zhì)量比、容器尺寸及外部激勵強(qiáng)度對減振性能影響的振動臺試驗(yàn)。研究結(jié)果表明,相較于單顆粒沖擊阻尼器,多顆粒形式明顯降低了噪音,并改善了阻尼器減振效果受外部激勵影響的魯棒性。閆維明等[3-5]系統(tǒng)分析了多顆粒阻尼器 (multi-particle damper, M-PD)物理參數(shù)對振動控制效果的影響規(guī)律,并對其在多層框架結(jié)構(gòu)、多跨連續(xù)橋梁及沉管隧道中的應(yīng)用進(jìn)行了探索。通過試驗(yàn)研究,其進(jìn)一步指出M-PD在土木工程領(lǐng)域宜采用非堆積形態(tài)進(jìn)行構(gòu)造,即非堆積型多顆粒阻尼器(non-packed particle damper, NPPD)。Papalou等[6]通過開展大理石柱縮尺模型振動臺試驗(yàn),討論了附加質(zhì)量比、阻尼器布置位置、顆粒大小等參數(shù)對M-PD減震性能的影響。魯正等[7-8]對附加緩沖材料的M-PD減震性能進(jìn)行了討論,并與懸吊式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器減震性能進(jìn)行對比,試驗(yàn)結(jié)果表明,同等條件下M-PD的減震性能優(yōu)于懸吊式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。Fu等[9-10]進(jìn)行了不同顆粒級配下M-PD減振效果試驗(yàn)研究,并與調(diào)諧液體質(zhì)量阻尼器進(jìn)行對比,結(jié)果顯示顆粒阻尼器作用頻帶寬度更廣。上述試驗(yàn)研究初步探明了M-PD減振性能及機(jī)理,為數(shù)值分析及相關(guān)研究提供了試驗(yàn)數(shù)據(jù)及支撐。

在試驗(yàn)基礎(chǔ)上,開展力學(xué)模型研究,進(jìn)行數(shù)值仿真分析是進(jìn)一步明確M-PD減振性能的重要手段。Yao等[11]采用近似線性化的方式將豎向激勵下調(diào)諧型顆粒阻尼器等效為豎向雙重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,并對該力學(xué)模型進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證,結(jié)果表明該力學(xué)模型能夠合理預(yù)測阻尼器減振性能。許維炳等將調(diào)諧型顆粒阻尼器等效為雙重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,并基于該模型進(jìn)行了參數(shù)分析及阻尼器優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化后阻尼器被應(yīng)用到多跨連續(xù)橋梁當(dāng)中。上述采用近似線性化所建立的等效力學(xué)模型一定程度上反映了M-PD減振性能,但其并不能較好地反映顆粒群與結(jié)構(gòu)碰撞過程中的非線性特性,為此部分學(xué)者引入碰撞間距建立對應(yīng)力學(xué)模型。基于等效前后質(zhì)量及空隙率相等且材料特性及形狀不發(fā)生變化的原則,魯正等[12]基于接觸單元法將M-PD等效為單顆粒力學(xué)模型,在隨機(jī)激勵下討論了碰撞間距、附加質(zhì)量比及碰撞阻尼系數(shù)等對減振性能的影響規(guī)律。采用相似的等效原則,Yan等[13]通過引入碰撞恢復(fù)系數(shù)考慮顆粒群與容器之間的碰撞效應(yīng),建立應(yīng)對的力學(xué)模型,并基于該模型進(jìn)行了參數(shù)影響分析及耗能機(jī)理分析。黃緒宏等[14]在上述等效單顆粒力學(xué)模型研究基礎(chǔ)上,進(jìn)一步引入慣容元件,考慮顆粒群滾動對M-PD減振效果的影響,建立了考慮慣容的等效單顆粒模型(equivalent inertia single-particle model, EISM),并基于EISM進(jìn)行了自由振動、簡諧激勵及地震作用下減振效果分析及能量變化規(guī)律分析。

上述考慮碰撞效應(yīng)所建立的力學(xué)模型進(jìn)一步明晰了M-PD非線性特性,然而目前所建立的力學(xué)模型仍然存在不足之處,包括基于碰撞恢復(fù)系數(shù)所建立的力學(xué)模型并不能反映顆粒群與結(jié)構(gòu)碰撞時的時間效應(yīng),且現(xiàn)有商業(yè)有限元軟件尚未給出與其對應(yīng)的數(shù)值仿真分析方法,限制了該模型的應(yīng)用;基于接觸單元法建立的力學(xué)模型并不完善,尚未考慮顆粒群的慣容屬性,且其物理參數(shù)取值原則并未明確。

為進(jìn)一步揭示M-PD的減振機(jī)理和性能特征,本文以NPPD作為研究對象,在現(xiàn)有EISM研究基礎(chǔ)上,建立基于接觸單元法的等效慣性單顆粒力學(xué)模型(equivalent inertia single-particle model based on contact element method, EISM-CE),并基于Runge-Kutta算法給出對應(yīng)數(shù)值仿真分析流程。設(shè)計(jì)進(jìn)行NPPD-單層鋼框架模型振動臺試驗(yàn),提出對應(yīng)EISM-CE的參數(shù)取值原則,并進(jìn)行等效模型試驗(yàn)驗(yàn)證及對比分析。最后,在最優(yōu)填充率下對比分析NPPD減振性能及能量變化規(guī)律。

1 基于接觸單元法的等效單顆粒模型

1.1 等效單顆粒模型的提出

假設(shè)運(yùn)動過程中顆粒群集中排布,考慮非碰撞階段顆粒群滾動及其他非線性特性對NPPD(如圖1所示)減振性能的影響,黃緒宏等引入慣容元件建立對應(yīng)EISM,見圖1(b)。其中:q為慣容系數(shù),q越大,表明顆粒群與結(jié)構(gòu)之間越難發(fā)生相對運(yùn)動;d為顆粒群等效集中質(zhì)量m1與結(jié)構(gòu)之間的碰撞間距;e為碰撞恢復(fù)系數(shù)。

圖1 等效單顆粒力學(xué)模型Fig.1 Equivalent single particle model

為進(jìn)一步考慮碰撞過程中的時間效應(yīng),在EISM研究基礎(chǔ)上,本文基于接觸單元法提出對應(yīng)EISM-CE模型,見圖1(c)。與EISM相比,EISM-CE通過等效碰撞剛度k1及等效碰撞阻尼c1考慮碰撞過程中的顆粒群與結(jié)構(gòu)之間的相互作用,其中k1反映碰撞過程中顆粒群與容器之間動量交換的能力,c1反映碰撞過程顆粒群與容器之間碰撞、摩擦所具有的耗能能力。

圖2 單自由度EISM-CEFig.2 Single degree of freedom EISM-CE

圖3 數(shù)值仿真流程Fig.3 Flow chart of simulation

1.2 未碰撞階段體系運(yùn)動方程

當(dāng)阻尼顆粒與結(jié)構(gòu)未發(fā)生碰撞時時(|x1-x2|

(1)

進(jìn)行拉普拉斯變換可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)放大系數(shù)

(2)

(3)

取μ=5.8%,λ對結(jié)構(gòu)絕對位移放大系數(shù)頻響曲線的影響如圖4所示。圖4中:l1對應(yīng)原結(jié)構(gòu)位移放大頻響曲線;l2對應(yīng)附加質(zhì)量比5.8%所對應(yīng)的位移放大頻響曲線。由圖4可知,隨著λ的增加,結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)頻響曲線逐漸向較低頻率移動,且受λ增加影響的靈敏度逐漸降低。當(dāng)λ趨于無窮大時,位移放大系數(shù)頻響曲線與l2重合,此時認(rèn)為顆粒與結(jié)構(gòu)同為一體,不發(fā)生相對滾動。

圖4 結(jié)構(gòu)位移頻響曲線Fig.4 Frequency response curve of structural displacement

1.3 碰撞階段體系的運(yùn)動方程

結(jié)構(gòu)碰撞是一種高度復(fù)雜的非線性過程。本文采用接觸單元法模擬顆粒與容器壁之間的碰撞過程,當(dāng)沖擊質(zhì)量塊m1與結(jié)構(gòu)m2發(fā)生碰撞后(|x1-x2|≥d),由D’Alembert可得

(4)

式中, sign(·)為符號函數(shù),其滿足

(5)

2 等效力學(xué)模型的試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證力學(xué)模型的合理性,清晰NPPD減振性能,本文設(shè)計(jì)進(jìn)行NPPD-單層鋼框架模型振動臺試驗(yàn),試驗(yàn)裝置布置如圖5所示。振動臺的各項(xiàng)性能參數(shù)指標(biāo)如表1所示。結(jié)合振動臺臺面尺寸,并考慮假定的結(jié)構(gòu)基本自振周期需求,本試驗(yàn)設(shè)計(jì)框架頂部鋼板尺寸為500 mm×500 mm×5 mm;柱高為800 mm,橫截面尺寸為50 mm×5 mm,并沿柱高包裹高聚合物材料以提高框架阻尼比;頂板上放置顆粒腔體,腔體與頂板采用8 mm螺栓進(jìn)行固接,腔體垂直于振動方向?qū)挒?00 mm,沿振動長度設(shè)置滑道以調(diào)節(jié)兩側(cè)碰撞板的間距,進(jìn)而控制顆粒填充率。實(shí)測鋼框架質(zhì)量為17.2 kg,結(jié)構(gòu)基本頻率ω0=3.75 Hz,結(jié)構(gòu)附加阻尼比為0.9%。試驗(yàn)中,阻尼顆粒取直徑8 mm鋼珠,μ=5.8%,依次進(jìn)行簡諧激勵及地震動作用下的振動臺試驗(yàn)研究。

圖5 振動臺與試驗(yàn)結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Shaking table and test structure model

2.2 模型參數(shù)等效原則

基于等效前后質(zhì)量相等,材料及形狀保持一致的原則,Papalou等[15-16]提出M-PD對應(yīng)等效單顆粒力學(xué)模型的等效原則,然而該種等效方法可能并不適應(yīng)于NPPD。為此黃緒宏等依據(jù)顆粒等邊三角形排列的形式計(jì)算兩側(cè)碰撞間距。為充分考慮顆粒群碰撞過程中的時間效應(yīng),借鑒上述等效原則,假設(shè)顆粒群按照四邊形集中排布如圖6所示,計(jì)算兩側(cè)d。圖6中,l為集中排布后顆粒群長度。以本文對應(yīng)的NPPD為例,不同填充率γ對應(yīng)d取值如表2所示,其中γ取顆粒有序正方形排列投影面積與容器底面積之比。

表2 d取值Tab.2 Parameter values of d 單位:mm

圖6 顆粒排布規(guī)則Fig.6 Particle arrangement rules

參考EISM,本文引入慣容元件考慮非碰撞階段顆粒群滾動及其他非線性特性對NPPD減振性能的影響。由圖4可知,λ對顆粒群運(yùn)動過程中的非碰撞階段影響顯著,因此可以通過對比非碰撞階段頻響曲線確定λ值。當(dāng)不考慮γ對λ的影響時,可近似通過低填充率下NPPD-SODF位移放大系數(shù)頻響曲線確定λ的取值。

EISM-CE中k1及c1對NPPD減振性能具有顯著的影響。k1能夠近似反映碰撞過程中顆粒群與結(jié)構(gòu)之間動量交換的能力,然而由于多顆粒復(fù)雜的非線性特性,目前仍未見k1詳細(xì)的理論推導(dǎo)。在試驗(yàn)研究基礎(chǔ)上,Huang等[17]提出了等效連體顆粒質(zhì)量模型,并給出當(dāng)γ=100%時兩個非堆積顆粒群碰撞對應(yīng)力學(xué)模型中等效連接剛度k0的取值

(6)

式中:μm2/(many)為沿振動方向顆粒群的排數(shù);ma為單顆粒的質(zhì)量,ma=4/3πr3ρa(bǔ),r為顆粒半徑;ε為孔隙率,對于四邊形排布,取ε=0.365;w2為對應(yīng)容器寬度的正方形面積;ny為單排顆粒數(shù)量,ny=w/(2r);ρa(bǔ)為顆粒材料密度。在k0基礎(chǔ)上,為進(jìn)一步考慮顆粒群排布及碰撞規(guī)則等對k1的影響,引入顆粒群碰撞形式修正系數(shù)ψ,對應(yīng)k1計(jì)算公式為

k1=ψk0

(7)

c1體現(xiàn)了顆粒與結(jié)構(gòu)之間碰撞及摩擦耗能能力,其主要與顆粒碰撞恢復(fù)系數(shù)相關(guān)。在現(xiàn)有e經(jīng)驗(yàn)取值基礎(chǔ)上[18],考慮顆粒群排列形式對耗能能力的影響,取顆粒群對應(yīng)e=0.2。由e與顆粒碰撞附加阻尼比ξ1的經(jīng)驗(yàn)公式式(8)[19]及ξ1與c1的關(guān)系式式(9)可得到k1對應(yīng)的c1。

(8)

(9)

2.3 簡諧激勵下等效模型試驗(yàn)驗(yàn)證

設(shè)計(jì)進(jìn)行簡諧激勵下振動臺試驗(yàn)研究,試驗(yàn)激勵幅值取0.03g,調(diào)整兩側(cè)碰撞板間距依次進(jìn)行30%、60%、80%、90%和100%填充率下減振效果分析。拾取不同激勵頻率下結(jié)構(gòu)及振動臺臺面的位移響應(yīng),計(jì)算均方根(root mean square, RMS)(SRM)位移及位移均方根放大系數(shù)β作為減振效果指標(biāo),計(jì)算公式為

(10)

(11)

式中:xi為第i個時間步的位移響應(yīng);N為時間步數(shù),上標(biāo)“s”和“t”分別為結(jié)構(gòu)和振動臺臺面的位移響應(yīng)。30%～100%填充率下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方根放大系數(shù)隨激振頻率比變化規(guī)律如圖7所示。

圖7 γ對減振效果影響分析Fig.7 The influence of γ on vibration reduction effect

由圖7中試驗(yàn)結(jié)果分析可知:

(1) 在當(dāng)前試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置下,當(dāng)γ=90%時,減振效果最優(yōu),且減振作用頻率范圍較大。

(2) 當(dāng)γ=30%時,由于碰撞間距較大,運(yùn)動過程中,顆粒與容器壁基本不發(fā)生碰撞,無法發(fā)揮耗能能力,因此減振效果較差。頻響曲線對比結(jié)果顯示,由于顆粒群慣容屬性的影響,與原結(jié)構(gòu)頻響曲線相比,γ=30%對應(yīng)頻響曲線明顯位于較低頻側(cè)。

(3) 當(dāng)γ<90%時,隨著γ的增加,碰撞間距逐漸減小,顆粒與容器壁的碰撞次數(shù)逐漸增加,耗能能力逐漸增強(qiáng),因此減振效果逐漸增加。當(dāng)γ>90%時,隨著γ的進(jìn)一步增加,碰撞間距逐漸縮小,減振性能逐漸降低。在這一過程中,雖然顆粒與容器壁的碰撞次數(shù)逐漸增加,但沖擊過程中碰撞間距減小,導(dǎo)致沖擊力減小,顆粒群無法充分發(fā)揮耗能能力,致使NPPD減振效果降低。

為驗(yàn)證EISM-CE的有效性,進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證,并與EISM進(jìn)行對比分析。為此,首先確定λ的取值。由30%填充率對應(yīng)頻響曲線實(shí)測值(見圖7(a))及理論解(式(2))可得λ=0.8,對應(yīng)曲線相關(guān)系數(shù)R2= 0.969。在此基礎(chǔ)上,考慮顆粒群排布規(guī)則對k1的影響,結(jié)合γ=100%對應(yīng)頻響曲線,基于數(shù)值仿真確定ψ=5,對應(yīng)k1=1 712 N/m,c1=36.67 N·s/m?；谏鲜鰠?shù)取值,假設(shè)顆粒群初始位于容器一側(cè)進(jìn)行數(shù)值仿真分析,對應(yīng)不同γ下頻響曲線擬合及實(shí)測對比如圖7所示,分析結(jié)果表明:

(1) 基于碰撞恢復(fù)系數(shù)所建立的EISM及本文提出的EISM-CE均能夠較好地模擬NPPD減振性能,且EISM-CE擬合結(jié)果更加理想。

(2) 基于EISM-CE的減振機(jī)理分析結(jié)果表明,當(dāng)γ<90%時,隨著d的減小,等效沖擊質(zhì)量m1與結(jié)構(gòu)之間的碰撞次數(shù)及劇烈程度逐漸增加,碰撞耗能逐漸增加,對應(yīng)減振性能逐漸增加。當(dāng)γ>90%時,隨著d的減小,雖然碰撞次數(shù)逐漸增加,但碰撞劇烈程度逐漸降低,碰撞耗能逐漸減小,m1逐漸趨向于周期多次碰撞狀態(tài),對應(yīng)減振性能逐漸降低。當(dāng)γ=90%時,對應(yīng)最優(yōu)的減振性能。

(3) 力學(xué)模型詳細(xì)對比分析結(jié)果表明,當(dāng)γ=60%或γ=80%,ω/ωn較大時,EISM-CE與EISM擬合結(jié)果存在一定差異。EISM-CE擬合結(jié)果更加理想。究其原因,當(dāng)激勵幅值保持不變時,ω/ωn越大結(jié)構(gòu)位移及速度越小,此時顆粒群碰撞的時間效應(yīng)影響越顯著。由于EISM未考慮時間效應(yīng),顆粒群與結(jié)構(gòu)的碰撞次數(shù)增加,減振性能增加,位移放大系數(shù)曲線位于實(shí)測頻響曲線下側(cè)。相比之下,EISM-CE考慮了碰撞時間效應(yīng),擬合結(jié)果更加理想。

(4) 當(dāng)γ=100%,β較小時,基于EISM-CE得到的頻響曲線與實(shí)測曲線存在一定的差異。具體分析表明,當(dāng)γ=100%時,運(yùn)動過程中實(shí)際顆粒群排布較為密集,兩側(cè)存在一定的碰撞間距。當(dāng)β較小時,顆粒群并未與結(jié)構(gòu)之間充分碰撞,此時實(shí)測頻響曲線更加趨向于l1。而對于EISM-CE而言,當(dāng)γ=100%時,此時已存在明顯的相互作用,這導(dǎo)致頻響曲線模擬值與實(shí)測值存在一定誤差。相比之下,由于EISM考慮了初始碰撞間距的影響,因此當(dāng)β較小時EISM更加理想。需要注意的是,當(dāng)ω/ωn=1.04左右時,此時實(shí)測頻響曲線及EISM對應(yīng)頻響曲線存在轉(zhuǎn)折現(xiàn)象,這亦是由于碰撞間距引起減振性能非線性所導(dǎo)致的。

2.4 地震動作用下力學(xué)模型試驗(yàn)驗(yàn)證

地震激勵具有復(fù)雜的頻譜特性,在其作用下開展相關(guān)研究對于進(jìn)一步認(rèn)清力學(xué)模型的合理性具有重要意義。為此,選取γ=90%對應(yīng)的NPPD,設(shè)計(jì)進(jìn)行了地震作用下NPPD-單層鋼框架振動臺試驗(yàn)?？紤]到顆粒阻尼器作用力特性及前期經(jīng)驗(yàn),除選取3條經(jīng)典地震動記錄(El-Centro地震動記錄、Taft地震動記錄和Kobe地震動記錄)作為振動臺輸入外,另外參考ATC-63 project所記錄的地震動記錄,選取3條遠(yuǎn)場地震動記錄(No.1485、No.829和No.1787),3條近場無速度脈沖地震動記錄(No.126、No.165和No.825)和3條近場有速度脈沖地震動記錄(No.292、No.828和No.1063)作為振動臺輸入,調(diào)整峰值加速度為0.20g進(jìn)行振動臺試驗(yàn)。3條不同類型地震動記錄對應(yīng)的結(jié)構(gòu)實(shí)測及模擬位移曲線,如圖8所示。EISM-CE模型和EISM模型對應(yīng)位移峰值相對誤差和RMS相對誤差對比分析結(jié)果,如圖9所示。

圖8 地震作用等效模型試驗(yàn)驗(yàn)證Fig.8 Test verification of equivalent model under seismic excitation

圖9 擬合結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)Fig.9 Error statistics of fitting results

綜合分析可知,EISM-CE擬合結(jié)果更加理想,其中EISM-CE的位移峰值相對誤差為5.52%,RMS相對誤差為10.07%。EISM的位移峰值相對誤差為7.86%,RMS相對誤差為13.12%。

3 基于等效模型的NPPD減振性能分析

以NPPD-鋼框架模型作為研究背景,基于EISM-CE,進(jìn)行減振性能對比分析,并結(jié)合能量發(fā)展討論其作用機(jī)理。選取最優(yōu)參數(shù)對應(yīng)的NPPD作為研究對象。當(dāng)激勵幅值為0.03g時,對應(yīng)EISM-CE的最優(yōu)碰撞間距d0=4 mm。同一NPPD對應(yīng)EISM參數(shù)為d=10.4 mm,e=0.25。最優(yōu)NPPD參數(shù)設(shè)置下本文提出的EISM-CE及EISM對應(yīng)β頻響曲線如圖10所示。由圖10可知,2條頻響曲線較為接近,這進(jìn)一步說明了力學(xué)模型的合理性。在最優(yōu)參數(shù)取值基礎(chǔ)上,依次進(jìn)行自由振動、簡諧激勵及地震動作用下的能量分析及減振效果分析。

圖10 位移放大系數(shù)頻響曲線Fig.10 Frequency response curve of β

3.1 自由振動

初始結(jié)構(gòu)位移取0.05 m,在最優(yōu)碰撞間距下進(jìn)行自由振動減振性能分析,如圖11所示。由圖11可知,自由振動下NPPD具有較好的減振效果,結(jié)構(gòu)位移峰值呈非線性衰減。在振動初期,衰減速度較快,在中后期,衰減速度較慢。不同力學(xué)模型減振性能對比分析結(jié)果表明,振動前期EISM-CE結(jié)構(gòu)位移峰值衰減速度更快,但到中后期,EISM的結(jié)構(gòu)位移峰值衰減速度相對較快。原因分析表明,碰撞前期結(jié)構(gòu)運(yùn)動較劇烈,由于EISM-CE考慮了碰撞過程中的時間效應(yīng),系統(tǒng)耗能能力更加顯著。中期后,EISM-CE中線性剛度k1與c1一定程度上限制了m1相對運(yùn)動,因此耗能能力略有衰減。相比之下,中期后EISM中m1運(yùn)動相對較為劇烈,因此耗能能力略微優(yōu)于EISM-CE。

圖11 自由振動下減振效果分析Fig.11 Analysis of vibration reduction effect under free vibration

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)能量耗散過程,基于運(yùn)動方程建立系統(tǒng)能量方程,并與EISM進(jìn)行對比分析。假設(shè)EISM-CE-SDOF與EISM-SDOF對應(yīng)的外部輸入能量分別為E1和E2,則系統(tǒng)能量分別滿足式(12)和式(13)。

E1=Ev+Es+Ek+Dk+DR+Dc+Ds

(12)

E2=Ev+Es+Ek+Dk+De+DR+DRe

(13)

式中:Ev為結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能;Es為結(jié)構(gòu)勢能;Ek為結(jié)構(gòu)動能;Dk為顆粒群動能;De為顆粒群與結(jié)構(gòu)垂直的碰撞耗能;DRe為因顆粒群轉(zhuǎn)動引起的碰撞耗能;DR為顆粒群慣容對應(yīng)的轉(zhuǎn)動動能;Dc為顆粒群與結(jié)構(gòu)之間碰撞阻尼耗能;Ds為顆粒群與結(jié)構(gòu)之間的碰撞彈性勢能。以上變量計(jì)算公式如下所示。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中:vη為第η次碰撞時刻兩個碰撞質(zhì)量的相對速度;n為碰撞次數(shù)。

自由振動過程中系統(tǒng)能量累加曲線如圖12所示。圖12中:Em為EISM對應(yīng)的累加系統(tǒng)機(jī)械能,為結(jié)構(gòu)勢能Es、結(jié)構(gòu)動能Ek、顆粒群動能Dk、顆粒群慣容對應(yīng)轉(zhuǎn)動動能DR之和;En為EISM-CE對應(yīng)的累加系統(tǒng)機(jī)械能,為結(jié)構(gòu)勢能Es、結(jié)構(gòu)動能Ek、顆粒群動能Dk、顆粒群慣容對應(yīng)轉(zhuǎn)動動能DR、顆粒群與結(jié)構(gòu)之間的碰撞彈性勢能Ds之和。

圖12 結(jié)構(gòu)體系能量變化規(guī)律Fig.12 Energy change rule of controlled system

由圖12可知,前期顆粒運(yùn)動較為劇烈,顆粒群與碰撞板的碰撞次數(shù)較多,因此前期顆粒群碰撞耗能較為充分,對應(yīng)結(jié)構(gòu)自身的總能量(Ev+Es+Ek)衰減較快。系統(tǒng)穩(wěn)定后,EISM-CE對應(yīng)的能量比Ev∶Dc=1∶1.85,EISM對應(yīng)的能量比Ev∶De∶DRe= 1∶0.59∶0.5?？傮w來看,自由振動的能量耗散主要是以顆粒與結(jié)構(gòu)的相互作用的方式進(jìn)行耗散。另外需要注意的是,由于EISM-CE考慮了碰撞過程中的時間效應(yīng),碰撞初期EISM-CE耗能能力更加充分,因此能量趨于穩(wěn)定的時間更短。

3.2 簡諧激勵

在共振激勵下,進(jìn)行NPPD減振性能分析,激勵幅值取0.03g,基于數(shù)值仿真可得結(jié)構(gòu)位移時程曲線如圖13所示。由圖13可知,簡諧激勵下NPPD具有較好的減振效果。系統(tǒng)穩(wěn)定后EISM對應(yīng)減振性能略優(yōu)于EISM-CE對應(yīng)減振性能,這一定程度上說明碰撞恢復(fù)系數(shù)相比較于接觸單元耗能更加高效。時程曲線詳細(xì)分析表明,由于EISM-CE對應(yīng)碰撞間距較小,且采用接觸單元法模擬碰撞過程中顆粒群與結(jié)構(gòu)之間的相互作用,系統(tǒng)非線性相對較小,因此對應(yīng)等效集中質(zhì)量能夠更快速地趨于穩(wěn)定。相比之下,EISM對應(yīng)等效集中質(zhì)量趨于穩(wěn)定較慢,且存在一定的分叉現(xiàn)象。

圖13 簡諧激勵下位移時程曲線(ω=ωn)Fig.13 Displacement time history curve under harmonic excitation (ω=ωn)

簡諧激勵下系統(tǒng)能量累加曲線如圖14所示。由圖14可知,系統(tǒng)穩(wěn)定后EISM-CE對應(yīng)Ev∶Dc=1∶2.79,EISM對應(yīng)的Ev∶De∶DRe=1∶1.64∶1.39。對于EISM-CE而言,系統(tǒng)能量主要通過c1耗散,而EISM主要是通過顆粒群與結(jié)構(gòu)之間的垂直碰撞耗能和顆粒群轉(zhuǎn)動引起的耗能所耗散。

圖14 簡諧激勵下能量變化規(guī)律Fig.14 Energy change law under harmonic excitation

3.3 地震動作用

選取El-Centro地震動記錄、Kobe地震動記錄及Taft地震動記錄作為振動臺輸入,并調(diào)整地震動記錄峰值為0.20g,進(jìn)行減震效果分析。El-Centro及Taft地震動記錄作用下受控結(jié)構(gòu)及原結(jié)構(gòu)的位移時程曲線,如圖15所示。不同力學(xué)模型減震效果特征值統(tǒng)計(jì)如表3所示。分析可知,NPPD對最大位移響應(yīng)及均方根位移響應(yīng)均具有一定的減震作用,其中RMS對應(yīng)的減震效果優(yōu)于最大位移對應(yīng)的減震效果。這是在瞬態(tài)響應(yīng)下,阻尼器無法充分發(fā)揮減振性能導(dǎo)致。其中,需要注意的是,由于Kobe地震動記錄的頻譜范圍較寬,對其減震效果并不理想。不同模型對應(yīng)減震效果分析結(jié)果表明,考慮碰撞時間效應(yīng)后,EISM-CE對應(yīng)減震效果略優(yōu)于EISM模擬結(jié)果。

表3 地震作用下受控結(jié)構(gòu)減振效果分析

圖15 多顆粒阻尼器減震效果分析Fig.15 Damping effect analyses of M-PD

El-Centro及Kobe地震動下系統(tǒng)能量累加曲線如圖16和圖17所示。由圖16和圖17可知:在振動初期,結(jié)構(gòu)運(yùn)動幅值較小,顆粒群運(yùn)動并不充分,阻尼器的動能及勢能較小,對應(yīng)NPPD并未充分發(fā)揮其減震性能;隨著結(jié)構(gòu)響應(yīng)的增加,顆粒運(yùn)動劇烈程度逐漸增加,NPPD減震性能逐漸增加。與Kobe地震動記錄相比,El-Centro及Taft地震動記錄下結(jié)構(gòu)的動能、勢能穩(wěn)定發(fā)展,顆粒與結(jié)構(gòu)之間的阻尼耗能更加充分,對應(yīng)減震效果更加明顯。

圖16 El-Centro地震動下系統(tǒng)能量累加曲線Fig.16 Energy accumulation curve of system under El-Centro input

圖17 Kobe地震動下系統(tǒng)能量累加曲線Fig.17 Energy accumulation curve of system under Kobe input

地震作用下不同力學(xué)模型結(jié)構(gòu)的自身耗能與對應(yīng)阻尼器耗能占比如表4所示。表4中,Ein為外部輸入能量。EISM-CE與EISM對應(yīng)的Ein分別為E1和E2。分析結(jié)果表明,不同地震動記錄下,EISM-CE模型對應(yīng)系統(tǒng)能量主要通過顆粒群碰撞阻尼進(jìn)行耗散。受地震動差異性影響,不同地震動記錄下能量耗散占比有所區(qū)別,其中Kobe地震動記錄下阻尼器耗能占比最大,Dc/Ev=2.42。不同力學(xué)模型對應(yīng)耗能占比分析結(jié)果表明,與EISM-CE相比,EISM對應(yīng)結(jié)構(gòu)自身耗能占比總體高于阻尼器自身耗能占比。EISM對應(yīng)減震機(jī)理與EISM-CE對應(yīng)減震機(jī)理存在一定的差異性。在EISM作用下,顆粒碰撞一定程度上激起了結(jié)構(gòu)響應(yīng),使得結(jié)構(gòu)自身耗能占比提升。相比之下,EISM-CE主要通過顆粒群自身進(jìn)行耗散。

表4 耗能成分對比Tab.4 Comparison of energy consumption 單位:%

4 結(jié) 論

在現(xiàn)有考慮慣容的等效單顆粒模型(EISM)研究基礎(chǔ)上,本文提出了基于接觸單元法的等效慣性單顆粒力學(xué)模型(EISM-CE)。試驗(yàn)及數(shù)值仿真分析結(jié)果表明,本文提出的EISM-CE同樣能夠較好地模擬NPPD減振性能,模型等效原則及物理參數(shù)取值原則是合理有效的。具體結(jié)論如下:

(1) 簡諧激勵作用下,不同填充率對減振效果影響分析表明,當(dāng)γ=30%時,顆粒與結(jié)構(gòu)未發(fā)生充分碰撞,此時減振效果較弱;隨著填充率的逐漸增加,減振效果呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢,當(dāng)γ=90%時,減振效果最優(yōu);隨著γ的進(jìn)一步增加,雖然顆粒與容器壁的碰撞次數(shù)逐漸增加,但沖擊力逐漸減小,顆粒群無法充分發(fā)揮耗能能力,致使NPPD減振效果降低。

(2) 與EISM相比,EISM-CE考慮了碰撞過程中的時間效應(yīng),位移放大系數(shù)頻響曲線擬合更加光滑。簡諧激勵及地震作用下等效模型試驗(yàn)驗(yàn)證綜合表明EISM-CE能夠更加合理地反映NPPD的減振效果及機(jī)理。

(3) 減振性能數(shù)值分析結(jié)果表明,NPPD具有良好的減震效果。不同力學(xué)模型對比分析結(jié)果表明,由于力學(xué)模型的差異性,不同力學(xué)模型展示的NPPD的減振性能及機(jī)理存在一定的差異。在簡諧激勵下,系統(tǒng)穩(wěn)定后EISM對應(yīng)阻尼器耗能占比高于EISM-CE對應(yīng)阻尼器耗能占比。相比之下,在自由振動及地震動作用下,EISM-CE對應(yīng)阻尼器耗能占比高于EISM對應(yīng)阻尼器耗能占比。需要注意的是,在地震動作用下,EISM-CE對應(yīng)阻尼器耗能占比高于結(jié)構(gòu)自身耗能占比,這與EISM存在一定差異。地震動作用下,碰撞時間效應(yīng)的引入所展現(xiàn)的NPPD減震機(jī)理差異性更加明顯。