繆 偉, 尹 強(qiáng), 錢林方,2

(1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094; 2. 西北機(jī)電工程研究所,陜西 咸陽 712099)

火炮發(fā)射時(shí),彈丸定心部與炮膛之間存在間隙接觸,該接觸對(duì)身管有很大的激勵(lì)作用;被激勵(lì)的身管反過來影響彈丸在膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。定心部與炮膛的接觸是彈炮耦合問題的一個(gè)重要組成部分。彈丸和身管之間的耦合作用是導(dǎo)致彈丸初始擾動(dòng)的主要因素之一,對(duì)射擊精度有強(qiáng)烈的影響。因此,研究彈丸定心部與炮膛的接觸問題對(duì)于揭示彈丸的膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、預(yù)測(cè)彈丸的炮口狀態(tài)、提高火炮的射擊精度具有重要的意義。

多體動(dòng)力學(xué)接觸建模的工作內(nèi)容包括兩部分:①接觸體的幾何描述和接觸檢測(cè);②接觸載荷的力學(xué)建模[1-2]。幾何描述是為接觸檢測(cè)服務(wù)的。接觸檢測(cè)的目的是確定潛在接觸區(qū)域的位置以及判斷物體是否在接觸區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸。在進(jìn)行考慮彈管耦合作用的發(fā)射動(dòng)力學(xué)分析時(shí),一些文獻(xiàn)中的工作是使用通用動(dòng)力學(xué)軟件(如Adams、RecurDyn、Prodas等)實(shí)現(xiàn)的[3-10]。通用動(dòng)力學(xué)軟件將物體表面離散成多邊形網(wǎng)格,使用接觸搜索算法找尋潛在接觸區(qū)域并判斷接觸狀態(tài)。接觸計(jì)算過程非常耗時(shí),通常占到問題求解時(shí)間的一半以上。當(dāng)多邊形面片只具有C0連續(xù)性并且接觸面之間存在滑移時(shí),接觸力會(huì)出現(xiàn)非物理振蕩[11]。特別地,用有限段法和虛擬體法創(chuàng)建的柔性身管模型的內(nèi)膛是一串首尾相接的圓柱段,彎曲身管在段與段之間不平滑地過渡,當(dāng)彈丸通過段間接合部位時(shí)會(huì)產(chǎn)生非物理的沖擊力。為了節(jié)省接觸計(jì)算所用的時(shí)間,一些文獻(xiàn)采用簡(jiǎn)化的幾何描述方法和接觸檢測(cè)方法。芮筱亭等[12]認(rèn)為潛在接觸點(diǎn)固定地位于定心部中心,根據(jù)定心部中心與身管軸線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離以及定心部中心的橫向速度判斷接觸狀態(tài)。陳光宋[13]用圓柱面描述彈丸定心部和炮膛,通過求距離函數(shù)的最小值來確定潛在接觸點(diǎn)。該方法給出的接觸點(diǎn)只出現(xiàn)在定心部的棱線上。

當(dāng)兩物體發(fā)生接觸時(shí),它們之間會(huì)在接觸區(qū)域中產(chǎn)生接觸載荷。在多體動(dòng)力學(xué)中,接觸載荷的建模方法可分為兩類:①基于接觸體幾何約束的非光滑離散分析方法[14];②基于接觸體表面變形量的連續(xù)分析方法[15]。這兩類方法在火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)中都有使用[16-19],其中連續(xù)分析方法居多。一方面,非光滑連續(xù)分析方法在處理摩擦問題時(shí)存在多解或無解的情況,以及可能違反能量守恒定律的情況;另一方面,非光滑離散分析方法求解的方程維數(shù)隨接觸狀態(tài)改變,不易于編制程序;連續(xù)分析方法中動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)固定,易于編制程序,該方法提供的力元可以很高效地植入到通用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)程序中去[20-21]。連續(xù)分析方法根據(jù)接觸體的穿透深度計(jì)算法向彈性力,必要時(shí)根據(jù)穿透速率計(jì)算阻尼力,以考慮碰撞過程中的能量損失。對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的幾何體,可以根據(jù)尺寸、材料參數(shù)和恢復(fù)系數(shù)確定連續(xù)分析方法中的剛度系數(shù)、冪指數(shù)和阻尼系數(shù)[22-23]。對(duì)于形狀復(fù)雜的幾何體,比如線膛炮的內(nèi)膛,馬佳等[24-26]使用改進(jìn)的L-N(Lankarani-Nikravesh)模型計(jì)算定心部與炮膛的接觸力,并使用參數(shù)辨識(shí)方法,根據(jù)仿真數(shù)據(jù)確定L-N模型中的參數(shù)。

依據(jù)接觸區(qū)域尺寸和接觸物體尺寸的相對(duì)大小,可將接觸分為非協(xié)調(diào)接觸和協(xié)調(diào)接觸[27]。當(dāng)接觸區(qū)域的尺寸遠(yuǎn)小于物體的尺寸時(shí),稱之為非協(xié)調(diào)接觸。此時(shí)接觸區(qū)域可視作一點(diǎn),接觸物體之間只存在通過接觸點(diǎn)的一對(duì)相互作用力;接觸區(qū)域內(nèi)的接觸應(yīng)力對(duì)接觸點(diǎn)的力矩忽略不計(jì)。當(dāng)接觸區(qū)域的尺寸與物體的尺寸相當(dāng)時(shí),稱之為協(xié)調(diào)接觸。彈丸定心部與炮膛的接觸即屬于此類。對(duì)于協(xié)調(diào)接觸,除了考慮接觸力,還應(yīng)考慮接觸應(yīng)力的分布產(chǎn)生的接觸力矩。使用靜力等效方法可以找出接觸力的等效作用點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)與前述根據(jù)幾何形狀、物體位置計(jì)算出的接觸點(diǎn)一般是不一致的。Hippmann[28]使用細(xì)化的多邊形網(wǎng)格檢測(cè)接觸區(qū)域,并根據(jù)彈性基礎(chǔ)模型在接觸區(qū)域內(nèi)施加接觸應(yīng)力載荷。接觸應(yīng)力與穿透深度成比例,對(duì)于法線方向在區(qū)域內(nèi)及邊界上連續(xù)的接觸區(qū)域可以得出近似正確的應(yīng)力分布。Hippmann的方法不適用于法線方向不連續(xù)的表面,因?yàn)槟抢锎嬖谄娈惖慕佑|應(yīng)力[29-32]。彈丸表面在定心部棱線處法線方向不連續(xù),仿真結(jié)果表明,彈丸定心部的棱線處存在奇異的接觸應(yīng)力。

本文提出一種計(jì)算線膛火炮的彈丸定心部與炮膛接觸載荷的模型。該模型包括兩部分:①定心部與陽線的接觸檢測(cè)算法;②定心部與陽線之間分布的接觸應(yīng)力的計(jì)算方法。給出模型中參數(shù)的擬合方法和辨識(shí)方法。將接觸模型運(yùn)用于某火炮彈丸發(fā)射過程的數(shù)值計(jì)算,分析彈丸質(zhì)心偏移與彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)方式和定心部磨損刻痕形成的關(guān)系,討論接觸力的等效作用點(diǎn)對(duì)擺動(dòng)力矩計(jì)算的影響。

1 定心部與陽線的接觸模型

1.1 概 述

膛線是火炮身管內(nèi)表面的螺旋線,其中凹下的稱作陰線,凸起的稱作陽線。除了彈帶以外,彈丸通過彈體上的環(huán)狀凸起與陽線發(fā)生接觸。環(huán)狀凸起即所謂定心部。對(duì)于榴彈炮和加農(nóng)炮,定心部與炮膛之間的間隙很小,定心部最多會(huì)與接近半數(shù)的陽線接觸,這種接觸應(yīng)歸于協(xié)調(diào)接觸的情形。計(jì)算彈管之間的接觸載荷需要分析接觸區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力分布。依據(jù)作用的方向,接觸應(yīng)力分為法向接觸應(yīng)力和切向接觸應(yīng)力。法向應(yīng)力以彈性接觸壓力為主;剩余部分被認(rèn)為是黏滯力,以考慮接觸中的能量損失。在火炮發(fā)射過程中,除了彈丸啟動(dòng)的瞬間,彈炮之間的摩擦都是滑動(dòng)摩擦,切向接觸應(yīng)力即滑動(dòng)摩擦力,它與法向接觸應(yīng)力的比值是滑動(dòng)摩擦因數(shù)。Johnson指出,如果兩個(gè)物體具有相同的彈性常數(shù),那么法向應(yīng)力的分布不受切向應(yīng)力的影響;如果兩個(gè)物體不具有相同的彈性特性,但是摩擦因數(shù)明顯地小于1,那么切向應(yīng)力對(duì)于法向應(yīng)力的影響很小,??mez[31]的計(jì)算結(jié)果也證實(shí)這一點(diǎn)。所以我們忽略法向接觸應(yīng)力與切向接觸應(yīng)力產(chǎn)生的物體變形之間的耦合作用,按光滑接觸的情形計(jì)算彈性接觸壓力。

線膛炮的膛線纏角很小,一般加農(nóng)炮的纏角為5.0°～7.2°,定心部與單根陽線的接觸區(qū)域可視作一個(gè)矩形區(qū)域。以155 mm口徑的火炮為例,當(dāng)定心部與一根陽線在膛線的長(zhǎng)度方向上完全接觸時(shí),接觸區(qū)域的長(zhǎng)度與寬度的比值為10.2,可見接觸區(qū)域是一個(gè)狹長(zhǎng)矩形。Borodachev等[33-34]研究了狹長(zhǎng)剛性凸模與彈性半空間的接觸問題,他們認(rèn)為狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)的彈性接觸壓力在寬度方向上具有方根奇異性。然而,根據(jù)馬佳等的仿真結(jié)果,當(dāng)陽線和定心部接觸時(shí),接觸壓力在陽線的寬度方向上變化較小,沒有明顯的奇異性;接觸壓力主要沿著陽線的長(zhǎng)度方向變化(如圖 1(a)所示)。于是假設(shè)彈性接觸壓力只是陽線長(zhǎng)度方向上的函數(shù)(如圖 1(b)所示)。在這種假設(shè)下,只需要關(guān)注陽線任意縱截面內(nèi)的彈性接觸壓力分布,不失一般性,可以關(guān)注過陽線中線的縱截面,如圖 1(c)所示。在幾何描述上,將炮膛簡(jiǎn)化成如圖 2(a)所示由陽線的中線(后文簡(jiǎn)稱“陽線”)組成的“籠子”。采用這種簡(jiǎn)化的幾何描述,定心部與炮膛之間的空間曲面接觸檢測(cè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g曲面與曲線的接觸檢測(cè)問題。不考慮陽線之間的相互影響,定心部與單根陽線的彈性接觸壓力根據(jù)一個(gè)二維接觸問題的解析解近似計(jì)算。

1.2 彈丸與身管的運(yùn)動(dòng)學(xué)

物體振動(dòng)周期接近于碰撞持續(xù)時(shí)間時(shí),碰撞模型中必須考慮波的傳播[35]。以155 mm火炮為例,彈丸定心部和炮膛的碰撞過程時(shí)長(zhǎng)約0.4 ms,取鋼中的縱波波速為5 123 m/s,則碰撞過程中,縱波在身管內(nèi)傳播的距離約為1/4身管長(zhǎng)度,因此動(dòng)力學(xué)模型中應(yīng)考慮身管的柔性;縱波在彈丸內(nèi)傳播的距離約為2.3倍彈丸長(zhǎng)度,雖然這個(gè)倍數(shù)不大,但是在動(dòng)力學(xué)模型中將彈丸視作剛體不影響計(jì)算接觸力的主要成分?，F(xiàn)有文獻(xiàn)也多只考慮身管的、不考慮彈丸的柔性。

圖3(a)所示是一根柔性身管。圖3(a)中用雙點(diǎn)劃線繪制的是未變形的身管,即參考位形;用粗實(shí)線繪制的是變形后的身管,即瞬時(shí)位形。瞬時(shí)位形上任意一點(diǎn)用單個(gè)大寫字母表示,例如點(diǎn)J;這一點(diǎn)在參考位形中的位置加注下標(biāo)“0”,例如點(diǎn)J的初始位置為J0。建立固定坐標(biāo)系O-xyz和身管的隨體坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱“身管坐標(biāo)系”)OB-xByBzB,身管坐標(biāo)系的原點(diǎn)OB位于身管尾部端面的中心,xB軸沿著未變形身管的幾何軸線指向炮口。點(diǎn)J在固定坐標(biāo)系中的位矢為

rJ=rOB+ABrJ,B=rOB+AB(rJ0,B+uJ,B)

(1)

式中:rJ和rOB為點(diǎn)J和OB在固定坐標(biāo)系中的位矢;rJ0,B和rJ,B為點(diǎn)J0和J在身管坐標(biāo)系中的位矢;uJ,B為點(diǎn)J在身管坐標(biāo)系中的變形位移;AB為從身管坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。將(1)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),得點(diǎn)J的速度

(2)

式中,vJ和vOB為點(diǎn)J和OB在固定坐標(biāo)系中的速度。

圖3(b)所示是一個(gè)彈丸。與對(duì)身管的分析類似,建立固定坐標(biāo)系O-xyz和彈丸的隨體坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱“彈丸坐標(biāo)系”)OP=xPyPzP,彈丸坐標(biāo)系的原點(diǎn)OP位于彈丸底面的中心,xP軸沿著彈丸幾何軸線指向彈丸頭部。彈丸是剛體,其上任意一點(diǎn)K處不存在變形位移。點(diǎn)K的位矢和速度分別為

rK=rOP+APrK,P

(3)

(4)

式中符號(hào)與式(1)、式(2)兩式相同。

根據(jù)式(1)和式(3),身管上的點(diǎn)J在身管坐標(biāo)系和彈丸坐標(biāo)系中的位矢、速度應(yīng)滿足

rOB+ABrJ,B=rOP+APrJ,P

(5)

(6)

從式(5)、式(6)可解出身管上的點(diǎn)J在彈丸坐標(biāo)系中的位矢rJ,P和速度rJ,P。同樣地,也可解出彈丸上的點(diǎn)在身管坐標(biāo)系中的位矢和速度。

(7)

式中:N為整個(gè)身管的形函數(shù)矩陣,由單元形函數(shù)矩陣組裝得到,它是一個(gè)6×6(ne+1)矩陣;Φ和Ψ分別為對(duì)應(yīng)平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的形函數(shù)矩陣,即分別是N的上三行和下三行元素組成的矩陣[36]。形函數(shù)矩陣是Lagrange坐標(biāo)的函數(shù)。式(7)中下標(biāo)“J”為形函數(shù)矩陣在點(diǎn)J處的值。自由度的變化率與自由度采用相同的插值方案,即

(8)

使用式(7)、式(8)可以分析身管上任意一點(diǎn)的變形,包括陽線的變形。現(xiàn)在令J是某根陽線上的點(diǎn),它的Lagrange坐標(biāo)滿足陽線的參數(shù)方程

(9)

1.3 定心部與陽線的接觸檢測(cè)

圖5是定心部與陽線接觸檢測(cè)原理的示意圖。接觸檢測(cè)分為兩步:①截取可能與定心部接觸的陽線段;②判斷截取的陽線段與定心部的接觸狀態(tài)。

定心部與炮膛的間隙很小,彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)始終和身管保持近乎同軸狀態(tài),因此無需考慮陽線橫穿定心部的情形。如圖 5所示,定心部前、后棱線的圓心是Q和P,過這兩點(diǎn)分別作兩個(gè)垂直于彈丸軸線的平面F和R,分別與陽線相交于點(diǎn)T和S,則與定心部相接觸的陽線區(qū)域只可能出現(xiàn)在弧線ST上。為了求交點(diǎn)T和S,利用式(5)計(jì)算變形后陽線上任意一點(diǎn)在彈丸坐標(biāo)系中的位矢。設(shè)點(diǎn)J是陽線上的任意一點(diǎn),它在身管坐標(biāo)系和彈丸坐標(biāo)系中的位矢分別是rJ,B、rJ,P。因?yàn)樵谌我馑矔r(shí)rJ,B是xJ0,B的單變量函數(shù),所以rJ,B也是xJ0,B的單變量函數(shù),即有rJ,P=rJ,P(xJ0,B)。點(diǎn)S和T在身管坐標(biāo)系中的坐標(biāo)xS0,B、xT0,B應(yīng)分別滿足方程

xJ,P(xS0,B)=xP,P

(10)

和

xJ,P(xT0,B=)xQ,P

(11)

式(10)和式(11)需要使用數(shù)值方法求解。將點(diǎn)P和Q的位矢rP,P、rQ,P變換為rP,B、rQ,B,然后以xP,B和xQ,B作為數(shù)值求解時(shí)的迭代初值可以在較少的迭代步數(shù)內(nèi)收斂。

定心部與陽線的接觸狀態(tài)取決于曲線ST與定心部圓柱面的最小距離,這涉及求解最優(yōu)化問題。為了避免低效的數(shù)值尋優(yōu)過程,采用一種簡(jiǎn)化方法判斷定心部與陽線的接觸狀態(tài)。由于膛線的纏角很小,曲線ST近似為一段直線。例如,155 mm彈丸的定心部長(zhǎng)度為40 mm,在這個(gè)長(zhǎng)度范圍內(nèi),曲線ST的直線度為32 μm,直線度對(duì)長(zhǎng)度的比值僅為0.000 8。將曲線ST沿著彈丸的半徑方向投影到定心部表面,得曲線S′T′。類似地,曲線S′T′也近似為一段直線。于是定心部與陽線的接觸檢測(cè)問題轉(zhuǎn)化為直線段S′T′與ST的接觸檢測(cè)問題。這兩個(gè)直線段的位置關(guān)系取決于它們端點(diǎn)的位置關(guān)系。定義S、T兩點(diǎn)與定心部的干涉量,分別為

(12)

和

(13)

式中,rb為定心部的半徑。定心部與陽線發(fā)生接觸的判據(jù)是δS和δT中至少有一個(gè)大于零。當(dāng)接觸發(fā)生時(shí),定心部與陽線的干涉量為

δ=max(δS,δT)

(14)

1.4 定心部與陽線的接觸應(yīng)力

為了計(jì)算定心部與陽線的接觸應(yīng)力,首先需要確定法向彈性接觸壓力。將彈丸和身管在接觸區(qū)域附近沿著定心部的圓柱面展開,如圖 6所示。定心部與陽線的彈性接觸壓力按二維問題計(jì)算,二維物體的輪廓即是圖 6中過陽線中線的縱向截面內(nèi)彈丸與身管的截面輪廓,即陰影部分的輪廓。

根據(jù)壓入陽線的定心部棱線數(shù)量,定心部與陽線的接觸狀態(tài)可分為兩類:不完全接觸和完全接觸。當(dāng)定心部只有一個(gè)棱線壓入陽線時(shí),定心部與陽線不完全接觸(見圖 7(a));當(dāng)定心部的兩個(gè)棱線都?jí)喝腙柧€時(shí),定心部與陽線完全接觸(見圖 7(b))。圖 7中:2a為接觸區(qū)域的長(zhǎng)度;2b為定心部在陽線長(zhǎng)度方向上的長(zhǎng)度

(15)

式中,β為膛線的纏角。等齊膛線的纏角是恒定的;漸速膛線和混合膛線的纏角是變化的,但是在定心部范圍內(nèi)變化很小。所以β取接觸區(qū)域中點(diǎn)處的纏角。當(dāng)不完全接觸時(shí),僅在接觸區(qū)域右端陽線輪廓的法線方向不連續(xù),因此接觸壓力在右端奇異,在左端連續(xù)地降至零。a隨著定心部與陽線的相互壓入深度的增大而增大。當(dāng)完全接觸時(shí),在接觸區(qū)域兩端陽線輪廓的法線方向都不連續(xù),接觸壓力在兩端都奇異。a不隨壓入深度變化。

在計(jì)算彈性接觸壓力前,先給出一些參數(shù)的含義和符號(hào)表示。如圖 8所示,定心部(物體1)在力F和力矩M的作用下以傾斜角度κ與陽線(物體2)發(fā)生接觸。彈炮間隙很小,κ≈0,所以認(rèn)為定心部輪廓的法線方向近似沿著豎直方向。

(16)

彈性邊界法向位移與干涉量存在以下關(guān)系

(17)

對(duì)于如圖 8所示的定心部?jī)A斜方向,式(17)右端括號(hào)內(nèi)取“-”號(hào);對(duì)于相反的傾斜方向,即定心部左側(cè)棱線先與陽線接觸時(shí),式(17)右端括號(hào)內(nèi)取“+”號(hào)。關(guān)于接觸壓力與彈性邊界的法向位移,假設(shè)以下兩個(gè)積分方程在接觸區(qū)域內(nèi)近似成立

(18)

(19)

式中,E1和E2為等效彈性模量,不僅與物體的材料有關(guān),還與物體的幾何形狀有關(guān)。將式(18)和式(19)分別除以E1和E2,然后相加,并令

(20)

可得

(21)

式(21)的解為

(22)

其中,

(23)

式(22)的分母表明接觸壓力具有方根奇異性。彈性接觸壓力與接觸力之間滿足

(24)

因此,式(22)事實(shí)上給出了接觸力F與接觸半長(zhǎng)度a的關(guān)系。而當(dāng)幾何形狀給定時(shí),接觸半長(zhǎng)度a應(yīng)只與干涉量δ相關(guān),所以需要引入F與δ的關(guān)系,即考察定心部與陽線的局部接觸剛度。

(25)

式中,K2(h2/a)為陽線的無量綱剛度函數(shù),括號(hào)中h2/a為身管的無量綱壁厚。對(duì)于定心部,如果彈丸內(nèi)壁相對(duì)于彈丸不發(fā)生徑向變形,接觸力與接觸中心位移應(yīng)具有與陽線類似的關(guān)系,即

(26)

式中,K1(h1/a)為定心部的無量綱剛度函數(shù),括號(hào)中h1/a為定心部的無量綱壁厚。事實(shí)上,彈丸是薄殼結(jié)構(gòu),其內(nèi)壁在接觸載荷下會(huì)向內(nèi)凹陷,因此定心部的接觸力與接觸中心位移的關(guān)系應(yīng)修正為

(27)

式中,η為定心部的剛度折減系數(shù)。將式(25)、式(27)代入式(17),得

(28)

令

(29)

則

(30)

文獻(xiàn)[37]認(rèn)為碰撞力只與彈丸剛度有關(guān),然而根據(jù)(30)式,定心部和陽線的接觸剛度同時(shí)受定心部壁厚和身管壁厚影響。軸-孔協(xié)調(diào)接觸是與定心部-身管接觸相類似的情形,文獻(xiàn)[38-39]從理論分析、數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)驗(yàn)證3個(gè)方面證明軸-孔接觸剛度隨孔的壁厚變化?，F(xiàn)代火炮身管是變截面的,所以在彈丸發(fā)射過程中,定心部-陽線接觸剛度隨著彈丸的膛內(nèi)行程改變。

當(dāng)定心部與陽線不完全接觸時(shí),p(?a)=0,于是λ*=1,此時(shí)

(31)

將式(30)、式(31)聯(lián)立,得方程

(32)

式(32)給出了不完全接觸時(shí)干涉量δ與接觸區(qū)域半長(zhǎng)度a之間的隱式關(guān)系。令式(32)中的a等于定心部的半長(zhǎng)度b,這時(shí)滿足式(32)的δ是一個(gè)臨界值,記為δcr。該臨界值可顯式地寫為

(33)

當(dāng)δ≤δcr時(shí),定心部與陽線是不完全接觸狀態(tài),a為式(32)的解。式(32)是隱式方程,需要使用數(shù)值方法求解。當(dāng)δ>δcr時(shí),定心部與陽線是完全接觸狀態(tài),a=b。確定了接觸區(qū)域的半長(zhǎng)度后,將之代入式(22)計(jì)算壓力分布。

下面計(jì)算定心部與陽線的接觸應(yīng)力。如圖9所示,灰色曲面是定心部的局部,曲線CD是與定心部發(fā)生接觸的陽線段,它與圖 5中曲線ST的關(guān)系取決于定心部與陽線的接觸狀態(tài)。當(dāng)定心部與陽線完全接觸時(shí),曲線CD就是曲線ST;當(dāng)定心部與陽線不完全接觸時(shí),曲線CD只是曲線ST上的一段。例如,定心部先與點(diǎn)T發(fā)生接觸,則點(diǎn)D就是點(diǎn)T,xC0,B=xD0,B-2acosβ;反之,定心部先與點(diǎn)S發(fā)生接觸,則點(diǎn)C就是點(diǎn)S,xD0,B=xC0,B+2acosβ。將曲線CD沿著彈丸半徑方向投影到定心部的圓柱面上,得到曲線GH。陽線上任意一點(diǎn)J的投影是點(diǎn)K。點(diǎn)J相對(duì)于點(diǎn)K的速度為vKJ,它可以分解為法向相對(duì)速度vKJn和切向相對(duì)速度vKJt。定心部在點(diǎn)K處受到的接觸應(yīng)力為fK,相應(yīng)地,陽線在點(diǎn)J處受到的接觸應(yīng)力為fJ,fJ=-fK。與相對(duì)速度類似,fK分解為法向應(yīng)力fKn和切向應(yīng)力fKt。

碰撞過程中往往伴隨著能量損失,能夠引起能量損失的因素包括應(yīng)力波傳播、塑性變形、材料阻尼、聲輻射與熱傳導(dǎo)等[40-41]?？梢娔芰繐p失是一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)象,充分考慮各種損耗因素是很困難的工作。在接觸力的連續(xù)分析方法中,引入阻尼力來考慮能量的損失[42-45]。阻尼力除了與物體的相對(duì)碰撞速率成正比,一般還與彈性接觸力成正比。后者的目的是使接觸力在物體相互分離前連續(xù)地降至零,避免兩物體黏著。因此,法向應(yīng)力按式(34)計(jì)算

(34)

式中:c為阻尼系數(shù);eKn為定心部圓柱面在點(diǎn)K處的單位法向量,指向定心部外;vref=1 m/s,其作用是使c成為一個(gè)無量綱數(shù)。彈性接觸壓力p的計(jì)算方法已經(jīng)由式(22)給出了。計(jì)算彈性接觸壓力時(shí),橫坐標(biāo)取

(35)

切向應(yīng)力即摩擦力,計(jì)算式為

(36)

式中:eKt為切向相對(duì)速度方向上的單位向量;μ為摩擦因數(shù),由修正的Coulomb摩擦模型計(jì)算[46]。

將法向接觸應(yīng)力和切向接觸應(yīng)力相加,最終得到接觸應(yīng)力fK。式(34)、式(36)表明,fK主要與彈性接觸壓力p成比例,因而也具有方根奇異性。fK方向取反即得fJ。

1.5 定心部與陽線受到的接觸載荷

定心部與陽線受到的接觸載荷是接觸應(yīng)力在接觸區(qū)域內(nèi)的曲面積分。因?yàn)榧僭O(shè)接觸應(yīng)力在陽線的寬度方向上不變,曲面積分可轉(zhuǎn)化為曲線上的積分。首先討論定心部受到的接觸載荷。如圖 10(a),深灰色矩形是接觸區(qū)域。接觸應(yīng)力對(duì)彈丸坐標(biāo)系原點(diǎn)Op的力和力矩分別為

(37)

(38)

式中:wn為陽線的法向?qū)挾?它與陽線的端面寬度w1的關(guān)系是wn=w1cosβ;l為曲線GH的自然坐標(biāo)。曲線GH上點(diǎn)K處的切向量drK,P/dxJ0,B是曲線CD上點(diǎn)J處的切向量drJ,P/dxJ0,B在定心部上的投影,自然坐標(biāo)l對(duì)xJ0,B的導(dǎo)數(shù)為

(39)

利用式(39)可將式(37)、式(38)改寫為

(40)

(41)

圖10(b)繪制了陽線上接觸區(qū)域內(nèi)受到的接觸應(yīng)力。因?yàn)槿嵝陨砉苡捎邢迒卧ń?陽線受到的接觸載荷需轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)載荷列陣,即

圖1 接觸壓力的簡(jiǎn)化 Fig.1 The simplification of the contact-pressure

圖2 炮膛的簡(jiǎn)化Fig.2 The simplification of a bore

圖3 身管和彈丸的運(yùn)動(dòng)學(xué)Fig.3 Kinematics of a barrel and a projectile

圖4 身管的有限單元離散模型。Fig.4 A finite-element discretization of a barrel.

圖5 定心部與陽線的接觸檢測(cè)Fig.5 Contact detection of a bourrelet and a rifling land

圖6 沿定心部圓柱面展開的彈丸與身管Fig.6 A projectile and a barrel spread out along the cylindrical surface of the bourrelet

圖7 接觸類型Fig.7 Contact type

圖8 計(jì)算彈性接觸壓力的示意圖Fig.8 A sketch for calculating the elasticity contact pressure

圖9 計(jì)算接觸應(yīng)力的示意圖Fig.9 A sketch for calculating the contact stress

圖10 定心部上和陽線上的接觸應(yīng)力Fig.10 Contact stress on the bourrelet and rifling land

圖11 靜態(tài)接觸問題的幾何與邊界條件Fig.11 The geometry and boundary conditions of a static contact problem

(42)

式中:QB為接觸載荷的節(jié)點(diǎn)載荷列陣;s為曲線CD的自然坐標(biāo),它對(duì)xJ0,B的導(dǎo)數(shù)為

(43)

將式(43)代入式(42),得

(44)

式(40)、式(41)和式(44)中的積分由數(shù)值積分方法計(jì)算近似值。3個(gè)被積函數(shù)因?yàn)閒J、fK的存在而具有方根奇異性,數(shù)值積分方法選取第一類Chebyshev-Gauss公式。首先引入變換

(45)

將三式的積分化成標(biāo)準(zhǔn)形式

(46)

(47)

(48)

式(46)～式(48)的數(shù)值積分格式為

(49)

(50)

(51)

式(49)～式(51)中,ξi是第一類Chebyshev-Gauss積分的節(jié)點(diǎn)

(52)

ωi為權(quán)重系數(shù)

(53)

式(49)～式(51)給出的是單根陽線的接觸載荷。對(duì)所有陽線遍歷求和,即得定心部與整個(gè)炮膛的接觸載荷。

2 參數(shù)擬合與辨識(shí)

第1章的接觸模型中待確定的參數(shù)或函數(shù)有等效彈性模量E1、E2、無量綱剛度函數(shù)K1、K2、剛度折減系數(shù)η和阻尼系數(shù)c。本章以某火炮為155 mm例,確定這些參數(shù)與函數(shù)。其中,等效彈性模量和無量綱剛度函數(shù)根據(jù)一組靜態(tài)接觸問題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合,剛度折減系數(shù)和阻尼系數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)、使用參數(shù)辨識(shí)方法確定。

2.1 擬合等效彈性模量與無量綱剛度函數(shù)

使用ABAQUS軟件完成一組靜態(tài)接觸問題的數(shù)值計(jì)算,產(chǎn)生的數(shù)據(jù)用于擬合等效彈性模量和無量綱剛度函數(shù)。這些參數(shù)或函數(shù)描述的是定心部與陽線的局部接觸剛度,所以數(shù)值計(jì)算所用的幾何不必包含完整的彈丸和身管。如圖 11所示,將彈丸和身管沿著定心部和圓柱面展平,模型的幾何在軸線方向只取關(guān)于定心部中心對(duì)稱、5倍于定心部長(zhǎng)度的范圍,在圓周方向只取一根膛線的范圍。定心部的傾斜角度取κ=0.002 rad和κ=0.005 rad兩個(gè)角度,身管的外圓半徑在110～180 mm內(nèi)間隔10 mm取值,即一共16種尺寸組合。彈丸材料與身管材料的力學(xué)參數(shù)相同,彈性模量為206 GPa,Poisson比為0.3。在定心部表面與陽線表面之間添加接觸載荷。使用增廣Lagrange乘子法,剛度縮放因子設(shè)置為1 000。在身管的外壁處(底部邊界)約束豎直方向的位移;在彈丸和身管的左右/前后邊界處約束左右/前后方向的水平位移;彈丸內(nèi)壁(頂部邊界)強(qiáng)制施加豎向位移,位移從0～0.5 mm線性地增加。為了捕捉兩種接觸狀態(tài)切換的過程,輸出了20個(gè)時(shí)間幀的過程數(shù)據(jù)。劃分網(wǎng)格時(shí)選擇完全積分的一階六面體單元。為了提高端部接觸壓力的計(jì)算精度,在端部布置細(xì)化的網(wǎng)格,如圖12所示。

圖12 有限元網(wǎng)格劃分Fig.12 Finite element meshing

在不完全接觸階段,λ*=1,由式(23)

(54)

在接觸模型中,E*是獨(dú)立于載荷的一個(gè)參數(shù),但是根據(jù)數(shù)值結(jié)果,它隨著接觸區(qū)域的長(zhǎng)度變化。為了簡(jiǎn)化模型,只取當(dāng)干涉量達(dá)到臨界值時(shí)的計(jì)算值。對(duì)16種尺寸組合的計(jì)算值取算術(shù)平均,得E*=3.222×1011Pa。

由式(18)、式(19)可知

(55)

因此只要確定兩個(gè)x方向梯度的比值,再結(jié)合式(20),即可確定E1和E2。根據(jù)數(shù)值結(jié)果,定心部和陽線在接觸區(qū)域內(nèi)的輪廓可近似為二次曲線,用過輪廓端點(diǎn)的割弦斜率作為梯度的平均值。對(duì)16種尺寸組合的結(jié)果取算術(shù)平均,得E1=8.073×1011Pa,E2=5.362×1011Pa。

在靜態(tài)接觸問題的數(shù)值計(jì)算中,對(duì)彈丸內(nèi)壁上的節(jié)點(diǎn)施加的是相同的強(qiáng)制位移,所以彈丸內(nèi)壁不發(fā)生徑向變形。無量綱剛度函數(shù)可從式(25)、式(26)得出。圖13繪制了無量綱剛度函數(shù)與無量綱壁厚的關(guān)系。圖13中每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一種尺寸組合的一個(gè)時(shí)間幀,共計(jì)320個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。用冪函數(shù)擬合兩個(gè)無量綱剛度函數(shù),結(jié)果如圖13中曲線所示。圖 13(b)中數(shù)值結(jié)果的數(shù)據(jù)點(diǎn)集中在擬合曲線附近,說明1.4節(jié)中借助量綱分析法得出的接觸力與接觸中心位移的關(guān)系是合理的。無量綱剛度函數(shù)的擬合表達(dá)式分別為

圖13 擬合定心部和陽線的無量綱剛度函數(shù)Fig.13 Fit the dimensionless stiffness function of the bourrelet and rifling land

圖14 前定心部與身管的接觸力(虛線文獻(xiàn)[26]的仿真,實(shí)線本文接觸模型)Fig.14 Contact force between the front bourrelet and barrel (Dashed lines-the simulation in reference [26]; solid lines-the contact model in current paper)

(56)

(57)

兩者的R2分別為0.998和0.987。

2.2 辨識(shí)剛度折減系數(shù)和阻尼系數(shù)

剛度折減系數(shù)和阻尼系數(shù)是兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù),很難通過理論分析計(jì)算它們的數(shù)值。2.2節(jié)運(yùn)用參數(shù)辨識(shí)方法反求這兩個(gè)參數(shù)。

首先建立參數(shù)辨識(shí)問題。將待辨識(shí)參數(shù)寫成列矩陣的形式

I={ηc}T

(58)

(59)

式中,τ為一次完整碰撞過程的時(shí)長(zhǎng)。參數(shù)辨識(shí)的目的是在給定范圍內(nèi)尋求使誤差函數(shù)最小的待辨識(shí)參數(shù),即是求解以下問題

(60)

使得

Ilb≤I≤Iub

(61)

式中,Ilb、Iub為待辨識(shí)參數(shù)的上、下邊界。

文獻(xiàn)[26]提供了4種橫向初速度下前定心部與身管相撞的接觸力歷程。選取其中初速度v0=5.1 m/s時(shí)的接觸力作為參數(shù)辨識(shí)問題的輸入數(shù)據(jù),其他3組數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證本文接觸模型及參數(shù)擬合、辨識(shí)的結(jié)果。式(60)可視作一個(gè)優(yōu)化問題。使用遺傳算法求解的結(jié)果為η=0.044 8,c=0.008 8。

使用本文的接觸模型計(jì)算了四種橫向初速度下前定心部與身管相撞的接觸力,與文獻(xiàn)仿真數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果見圖 14。可以看出,本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果在時(shí)間寬度和接觸力幅值上相符合。接觸模型計(jì)算的接觸力曲線在峰值之后有一段凹陷,文獻(xiàn)中的結(jié)果也有相近的變化趨勢(shì)。

表1列出了按式(59)計(jì)算的誤差函數(shù)值。參數(shù)辨識(shí)只使用了v0=5.1 m/s的仿真結(jié)果,而4種橫向初速度的誤差函數(shù)水平相當(dāng),表明經(jīng)過標(biāo)定的接觸模型適用于典型橫向速度范圍內(nèi)定心部-身管接觸問題,驗(yàn)證了本文接觸模型及其參數(shù)擬合、辨識(shí)方法的正確性。與仿真結(jié)果不同的是,本文的接觸模型將彈丸描述成剛體,圖 14中的接觸力曲線光滑,沒有復(fù)現(xiàn)出接觸力波動(dòng)的現(xiàn)象。使用剛體彈丸模型只能計(jì)算接觸力的主要成分。

表1 誤差函數(shù)

3 數(shù)值算例與分析討論

本章將接觸模型運(yùn)用于彈丸發(fā)射過程的計(jì)算。為了排除身管后坐引起的擾動(dòng),將身管尾部端面固定。身管坐標(biāo)系的xB軸水平,zB軸豎直向上,即身管是一根懸臂梁。初始時(shí)刻彈丸坐標(biāo)系的姿態(tài)與身管坐標(biāo)系的姿態(tài)相同。整個(gè)系統(tǒng)在重力作用下達(dá)到靜平衡后,彈丸在火藥燃?xì)鈮毫Φ耐苿?dòng)下向前運(yùn)動(dòng)。燃?xì)鈮毫?shù)據(jù)來自內(nèi)彈道程序的計(jì)算結(jié)果。不考慮擠進(jìn)過程,即彈丸啟動(dòng)時(shí)彈帶已完全嵌入膛線。彈帶與身管的接觸載荷簡(jiǎn)化為彈簧阻尼力元。為了保障彈丸順暢地運(yùn)動(dòng),定心部和炮膛的總間隙設(shè)為0.2 mm。

圖15是計(jì)算得到的彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)彈丸回轉(zhuǎn)軸的擺動(dòng)軌跡,彈丸質(zhì)心在其yP軸上偏移量e為-0.15 mm。圖15與文獻(xiàn)[47]給出的彈丸膛內(nèi)擺動(dòng)軌跡測(cè)試結(jié)果(文獻(xiàn)圖5)在兩個(gè)方面相符。首先,彈軸擺動(dòng)的范圍相符,橫向、縱向擺角的幅度均約為8′。其次,擺動(dòng)軌跡具有相同的演化模式:彈軸在起點(diǎn)以橫向擺動(dòng)為主,至終點(diǎn)時(shí)彈軸以類圓周方式擺動(dòng)?？梢娛褂帽疚牡慕佑|模型能較準(zhǔn)確地反映彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,驗(yàn)證了接觸模型的有效性。

圖15 彈丸膛內(nèi)擺動(dòng)軌跡Fig.15 A swinging trajectory of projectile in bore

圖16 前定心部受到的橫向接觸力(極坐標(biāo)圖中是從彈尾看到的橫向力矢端在彈丸坐標(biāo)系中的軌跡)Fig.16 Lateral contact force on the front bourrelet (The polar diagrams present the trajectories of vector tip of the lateral force in the projectile frame when one facing the projectile bottom)

圖17 前定心部最大橫向力與彈丸質(zhì)心偏移量的關(guān)系Fig.17 The maximum lateral force on the front bourrelet vs. mass-center bias of the projectile

考慮彈丸質(zhì)心在zP軸方向上的偏移,偏移量e在-0.2～0.2 mm內(nèi)每隔0.05 mm取值。計(jì)算結(jié)果表明,內(nèi)彈道過程中后定心部不與炮膛發(fā)生接觸。圖 16繪制了前定心部受到的橫向接觸力歷程曲線,可以看到橫向力在彈丸發(fā)射時(shí)周期性地波動(dòng),表明彈丸軸線在膛內(nèi)擺動(dòng)。前定心部與炮膛的接觸類型可分為貼膛和碰撞兩類。這里根據(jù)彈丸軸線的擺動(dòng)現(xiàn)象給出這兩類接觸類型的定量區(qū)分方式:如果彈丸軸線在接觸時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)周期以上的擺動(dòng)(不含一個(gè)周期),則定心部發(fā)生貼膛接觸;否則定心部發(fā)生碰撞接觸。當(dāng)e=-0.2 mm、-0.15 mm、-0.1 mm時(shí),前定心部始終與炮膛接觸,這種屬于貼膛接觸。當(dāng)e=-0、+0.05 mm時(shí),前定心部與炮膛斷續(xù)接觸,這種屬于碰撞接觸。當(dāng)e=-0.05 mm、+0.1 mm、+0.15 mm、+0.2 mm時(shí),兩種接觸類型都會(huì)出現(xiàn),定心部首先與炮膛碰撞接觸,在內(nèi)彈道中后期轉(zhuǎn)為貼膛接觸。彈丸質(zhì)心的偏移量越大,前定心部越可能以貼膛的方式與炮膛接觸。在貼膛接觸時(shí),前定心部受到的橫向力相對(duì)彈丸的擺動(dòng)角度范圍在60°以內(nèi),所以前定心部大約以一半固定的圓周與炮膛接觸;另一方面,彈丸質(zhì)心偏移量的絕對(duì)值越大,則前定心部受到的最大橫向力越大(如圖 17所示),結(jié)果導(dǎo)致,質(zhì)心偏移量較大的彈丸的前定心部可能在一側(cè)出現(xiàn)磨損刻痕(文獻(xiàn)[19],圖8),刻痕深度與質(zhì)心偏移量呈正相關(guān)。這種不對(duì)稱的刻痕會(huì)對(duì)彈丸的氣動(dòng)特性帶來不利影響。

如1.1節(jié)所述,定心部與炮膛的接觸屬于協(xié)調(diào)接觸,不存在“接觸點(diǎn)”。根據(jù)靜力等效的原則定義這樣一個(gè)接觸力的等效接觸點(diǎn):當(dāng)接觸力集中于這一點(diǎn)作用于彈丸時(shí),它對(duì)彈丸坐標(biāo)系原點(diǎn)的力矩等于分布的接觸應(yīng)力對(duì)彈丸坐標(biāo)系原點(diǎn)產(chǎn)生的力矩,并且這一點(diǎn)位于定心部表面的接觸區(qū)域內(nèi)。記這一點(diǎn)為U,它在彈丸坐標(biāo)系中的坐標(biāo)應(yīng)滿足如下方程組

(62)

式(62)一般有兩個(gè)解,取落在接觸區(qū)域中的那個(gè)解。圖 18給出了前定心部上的等效接觸點(diǎn)在彈丸坐標(biāo)系中的軸向位置隨時(shí)間變化的歷程曲線,圖18中還給出了前定心部的兩個(gè)棱及其中心的位置。等效接觸點(diǎn)軸向位置曲線的不連續(xù)部分對(duì)應(yīng)前定心部與炮膛脫離接觸的時(shí)期?？梢钥闯?等效接觸點(diǎn)的軸向位置既不固定位于前定心部中心,也不會(huì)落在前定心部的兩個(gè)棱線上,而是在前定心部中心前方的一小段范圍內(nèi)變化;它的位置變化與彈丸軸線的擺動(dòng)相關(guān)。等效接觸點(diǎn)軸向位置與前定心部中心之間的偏差表明,定心部?jī)A斜著與陽線接觸,導(dǎo)致接觸載荷關(guān)于前定心部中心不對(duì)稱。這可由文獻(xiàn)[19]的圖8(b)得到驗(yàn)證,圖中前定心部上的刻痕前深后淺,接觸載荷偏向定心部前端。等效接觸點(diǎn)的平均位置在xU,P=0.380 1mm處,如果保持橫向力的大小和方向不變,將它的作用點(diǎn)移動(dòng)到前定心部的中心,那么橫向力對(duì)彈丸質(zhì)心的擺動(dòng)力矩變化將達(dá)到9.62%;如果將橫向力的作用點(diǎn)移動(dòng)到前定心部的前棱和后棱上,那么擺動(dòng)力矩的變化將分別達(dá)到44.31%和63.56%。

圖18 等效接觸點(diǎn)在彈丸坐標(biāo)系中的軸向位置Fig.18 The axial location in the projectile frame of the equivalent contact point

4 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)用于線膛炮彈丸定心部與炮膛接觸問題的近似模型,其近似性體現(xiàn)在以下幾點(diǎn):

(1)將柔性身管簡(jiǎn)化成一維的Euler-Bernoulli梁;將彈丸視作剛體,引入半經(jīng)驗(yàn)的剛度折減系數(shù)來考慮定心部的局部柔性。

(2)將陽線表面抽象成一組空間曲線,簡(jiǎn)化陽線與定心部表面的接觸檢測(cè)。

(3)假設(shè)接觸壓力只沿著膛線的長(zhǎng)度方向變化;將彈丸與身管沿著定心部圓柱面展開,使用一個(gè)二維接觸問題的解析解計(jì)算定心部與陽線的接觸壓力。

(4)引入半經(jīng)驗(yàn)的阻尼系數(shù)以考慮碰撞過程中的能量損失。

使用擬合方法和參數(shù)辨識(shí)方法確定了接觸模型中的待定參數(shù),并將接觸模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了模型的正確性。最后將經(jīng)過標(biāo)定的接觸模型運(yùn)用于彈丸發(fā)射過程的計(jì)算。根據(jù)本文的工作內(nèi)容,可以得出以下結(jié)論:

(1)定心部和陽線的接觸剛度同時(shí)受定心部壁厚和身管壁厚影響。對(duì)于給定的彈種,定心部-陽線接觸剛度依彈丸的膛內(nèi)行程改變。

(2)只有前定心部與炮膛發(fā)生接觸,并且前定心部上的接觸區(qū)域相對(duì)固定。彈丸質(zhì)心的偏移量影響前定心部與炮膛的接觸方式。質(zhì)心偏移量越大,前定心部越可能發(fā)生貼膛接觸,所受的橫向接觸力也越大。極端條件下,前定心部會(huì)被陽線磨損出刻痕。

(3)按照靜力等效原則定義的前定心部與炮膛間的等效接觸點(diǎn)在彈丸軸線上的位置位于前定心部中心前方,并且隨著彈丸軸線的擺動(dòng)在小范圍內(nèi)變化。