郭文杰, 柴天建, 顏建偉, 洪 顯

(華東交通大學(xué) 軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能檢測(cè)與保障國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南昌 330013)

開口板是一種典型的工程結(jié)構(gòu)形式,廣泛應(yīng)用于船舶、鐵道、建筑、機(jī)械等領(lǐng)域,例如隱身艦船集成化上層建筑的設(shè)備口開孔[1]、軌道板開口內(nèi)置鋼彈簧浮置減振板[2]。開口板會(huì)引起動(dòng)力學(xué)性能的變化,存在與開口附近設(shè)備產(chǎn)生共振的風(fēng)險(xiǎn),還與向周圍輻射的噪聲有直接關(guān)系。開口尺寸、形狀和邊界條件是開口板振動(dòng)特性影響的重要因素[3],因此研究開口板結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性,對(duì)工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)際意義。

針對(duì)開口板振動(dòng)問題,主要有半解析法和數(shù)值方法[4-5]。數(shù)值方法主要為有限單元法,邱昌林等[6]采用有限元法研究了鋼板開圓形口時(shí)的自振頻率,張媛等利用有限元分析了不同開口尺寸對(duì)薄板自振頻率的影響。傳統(tǒng)能量法(如瑞利里茲法[7-9])在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中被廣泛使用,它提供了一種快速而精確的方法來推導(dǎo)和求解給定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。例如Mundkur等[10]基于瑞利里茲法使用正交多項(xiàng)式函數(shù)分析了開口板的振動(dòng)。Avalos等[11]應(yīng)用Rayleigh-Ritz法對(duì)開兩矩形口的矩形板進(jìn)行計(jì)算,分析了不同大小、開口位置等對(duì)固有頻率的影響。Larrondo等[12]應(yīng)用Rayleigh-Ritz法對(duì)變厚度矩形多開口平板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析,并對(duì)不同開口位置,開口大小對(duì)頻率的影響進(jìn)行分析。瑞利里茲方法依賴于位移形函數(shù)[13-14],形函數(shù)必須滿足問題的各種約束條件。一些研究人員采用人工彈簧法[15-17]處理邊界條件,將約束問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束問題,例如:王旻昊等[18]采用人工彈簧法模擬邊界條件,計(jì)算得到開口板的固有頻率和響應(yīng)振型,并討論了開口尺寸和邊界條件對(duì)自振特性的影響;張俊等采用人工彈簧模型模擬不同的邊界條件。位移容許函數(shù)會(huì)影響求解精度和準(zhǔn)確性,改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法[19]可以克服傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在邊界處不連續(xù)線性,可以適應(yīng)結(jié)構(gòu)的一般邊界條件。例如:邱永康等[20]利用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法作為開口板位移場(chǎng)的形函數(shù),分別研究了復(fù)雜邊界條件下單開口和多開口矩形板的自振特性;Shi等[21]應(yīng)用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法對(duì)一般邊界條件下多個(gè)矩形開口的矩形板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析,計(jì)算了內(nèi)部開口和外部開口的固有頻率,并得出了振型圖。

人工彈簧-瑞利里茲法,將有邊界約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題,對(duì)于邊界約束的處理具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)點(diǎn)。人工彈簧-瑞利里茲法是一類有參數(shù)方法,模型的收斂性在很大程度上取決于彈簧剛度的值。彈簧剛度越大,高階模式的收斂性越好,但當(dāng)彈簧剛度取值過大時(shí)可能導(dǎo)致矩陣奇異問題[22]。此外,形函數(shù)的選擇也是影響瑞利里茲法求解精度的關(guān)鍵因素?，F(xiàn)有研究中常采用的位移形函數(shù)有切比雪夫多項(xiàng)式級(jí)數(shù)[23]等和改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)作為全局性函數(shù),在計(jì)算非開口板或厚度連續(xù)變化板時(shí)具有較好的收斂性,但在計(jì)算非連續(xù)變化板厚的開口板時(shí),則需要更多的級(jí)數(shù)項(xiàng)才能滿足計(jì)算精度。

本文以能量法為基本框架,采用線性表達(dá)法(linear expression method,LEM)來處理各種邊界條件,將有邊界約束問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束問題?；舅悸肥峭ㄟ^高斯消元法找到約束條件矩陣中線性無關(guān)的列向量,將位移形函數(shù)的未知系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性無關(guān)系數(shù)列向量的線性表達(dá),從而將有約束問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束問題;根據(jù)能量法基本原理,構(gòu)建了拉格朗日能量泛函,并對(duì)位移形函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行變分求極值,將振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化成求解特征值和特征向量的問題。與人工彈簧法相比,不需要設(shè)置彈簧剛度等參數(shù),避免了矩陣可能奇異的問題。選取高斯小波函數(shù)[24-25]作為開口板的位移形函數(shù),以確保能夠準(zhǔn)確捕捉開口位置處的局部化特征。以四邊簡(jiǎn)支和四邊固定的開口板為例進(jìn)行分析,結(jié)合有限元方法計(jì)算結(jié)果,討論解的收斂性和準(zhǔn)確性。研究了不同開口尺寸、形狀對(duì)自振頻率的影響。計(jì)算了不同邊界約束條件下多開口板的自振頻率。線性表達(dá)法使用簡(jiǎn)便,編程快捷,可廣泛應(yīng)用于有約束問題分析中。

1 理論分析

1.1 開口矩形板的力學(xué)模型

本文以矩形薄板中心開圓孔為具體研究對(duì)象,以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖1所示。板長(zhǎng)2a,寬2b,厚度h。定義邊界條件表示符號(hào)如下:固定邊界C,簡(jiǎn)支邊界S,自由邊界F,從左側(cè)開始,逆時(shí)針順序表示四邊邊界約束。例如:SFSF表示左右邊簡(jiǎn)支,上下邊自由;SSSS表示四邊自由。

圖1 矩形開口板示意圖Fig.1 Schematic diagram of rectangular open plate

1.2 位移形函數(shù)

假設(shè)離面位移w表示為基函數(shù)ξi(x,y)和一組權(quán)重系數(shù)dk(t)的組合,即

w(x,y,t)=dTξ(x,y)

(1)

其中,

ξ(x,y)=φ(x)?ψ(y),
φ=[φ1(x),φ2(x),…,φi(x),…,φm(x)]T,
ψ=[ψ1(y),ψ2(y),…,ψi(y),…,ψn(y)]T

式中: ?為克羅內(nèi)克積;φ為x方向的容許梁函數(shù);ψ為y方向的容許梁函數(shù)。

針對(duì)開口板厚度局部突變,本文采用具有局域化特性的高斯小波函數(shù)描述位移形函數(shù)[26-27],以捕捉厚度變化區(qū)域的波動(dòng)特征。據(jù)此,基函數(shù)φi(x)、ψi(y)表示為

(2)

式中:p、q為x和y方向的伸縮因子;k、r為平移因子。

本節(jié)以x方向形函數(shù)φi(x)為例,對(duì)高斯小波函數(shù)式(2)分析。如圖2所示,當(dāng)平移因子k=0時(shí),高斯小波函數(shù)的支撐范圍為[-4×2-p, 4×2p],伸縮因子p取值越大,支撐范圍越小,函數(shù)的分辨率越高[28-29]。為使函數(shù)支撐范圍分辨率滿足結(jié)構(gòu)的尺寸要求,伸縮因子需滿足式(3)的限制條件。

圖2 不同伸縮因子對(duì)應(yīng)的高斯曲線Fig.2 Gaussian curves corresponding to different scaling factors

(3)

式中, ceil(·)為向上取整數(shù)。

圖3所示,當(dāng)p=0時(shí),高斯小波函數(shù)的支撐范圍為[-4+k,4+k],隨著平移因子增大,支撐范圍從左側(cè)移到右側(cè)。為使函數(shù)支撐范圍覆蓋結(jié)構(gòu)的尺寸,平移因子需滿足式(4)的限制條件。

圖3 不同平移因子對(duì)應(yīng)的高斯曲線Fig.3 Gaussian curves corresponding to different translation factors

(4)

式中, floor(·)為向下取整數(shù)。

1.3 運(yùn)動(dòng)方程的建立

根據(jù)Kirchhoff-Love薄板理論,開口板的彎曲應(yīng)變能為

(5)

令

式中:D=(Eh3)/[12(1-μ2)],E和μ分別為薄板材料彈性模量和泊松比;K為整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的剛度矩陣。

厚度函數(shù)h(x,y)為

(6)

式中:p(x0,y0)為圖1所示開口板坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo);S為圓孔開口區(qū)域。

開口板的動(dòng)能為

(7)

式中:ρ為薄板材料的密度;M為整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣。

整體結(jié)構(gòu)的能量泛函可表示為

(8)

1.4 利用線性表達(dá)法考慮邊界條件

四邊簡(jiǎn)支開口板的邊界條件如下

w(x,y,t)|x=±a=0,w(x,y,t)|y=±b=0

(9)

式(9)意味著形函數(shù)(1)中的權(quán)重系數(shù)d并非是獨(dú)立的,而是存在線性相關(guān)性。

傳統(tǒng)的能量法,通常采用構(gòu)造滿足位移邊界條件的位移函數(shù)w(x,y)[30],將自由振動(dòng)的二階微分方程問題轉(zhuǎn)化為特征值和特征向量的求解。傳統(tǒng)能量法的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的位移函數(shù)w(x,y),而對(duì)于一些邊界條件的假設(shè)位移函數(shù)如自由邊界則具有相當(dāng)?shù)碾y度。本文提出線性表達(dá)方法,將邊界約束條件和位移函數(shù)分離,因此基函數(shù)的選擇具有高度自由性。

將邊界約束條件式(9)代入形函數(shù)式(1)中得到

(10)

令

本文采用高斯消元法將約束矩陣轉(zhuǎn)化為階梯型矩陣,得到線性無關(guān)的列向量,即獨(dú)立的權(quán)重系數(shù)。將未知系數(shù)中的線性相關(guān)系數(shù)由線性無關(guān)系數(shù)線性表達(dá)。

具體過程是,首先對(duì)G使用高斯消元法,形成簡(jiǎn)化的行階梯形矩陣H。初等行變換不會(huì)影響解的結(jié)果,所以Gd=0和Hd=0是等價(jià)的。其次采用列變換將H矩陣中每行首個(gè)為1的列向量變換到前M列,變換后矩陣為F

F=HIrow

(11)

F=[PQ]

(12)

由于H矩陣的列位置發(fā)生了變換,d向量的行也要進(jìn)行相應(yīng)變換,變換后矩陣

γ=Irowd

(13)

得到變換后的向量為γ,將γ向量拆分為兩部分,前M行為α向量,后(mn-M)行為β矩陣。

(14)

因?yàn)?/p>

Hd=HIrowIrowd=Fγ

(15)

所以Gd=0和Fγ=0是等效的,Gd=0可拆成兩部分相加

P·α+Q·β=0

(16)

因?yàn)镻矩陣是可逆的,故α可以由β線性表示

α=P-1·Q·β=0

(17)

結(jié)合式(13)、式(14)可得

(18)

式中,I為(mn-M)維的單位矩陣。將式(18)進(jìn)行變換,便能將d由β表示。

(19)

令

則有

d=Z·β

(20)

將式(16)代入式(8),得到總能量泛函

(21)

(22)

由于d是與時(shí)間相關(guān)的未知系數(shù),定義與時(shí)間相關(guān)的未知系數(shù)β(t)=αeiωt,ω為振動(dòng)的圓頻率。特征方程可根據(jù)式(19)寫出

(23)

2 收斂性與準(zhǔn)確性驗(yàn)證

本章進(jìn)行收斂性和精度分析。以鋼材為例,密度ρ=7 850 kg/m3,泊松比μ=0.3,彈性模量E=210 GPa;矩形板長(zhǎng)2a=0.5 m,寬2b=0.4 m,圓孔半徑r=0.1 m,厚h=0.005 m。根據(jù)式(3),伸縮因子滿足p≥4,q≥5時(shí)解是收斂的。不失一般性,將x、y方向的伸縮因子取相同值,p=q。分析SSSS邊界條件下的固有頻率隨伸縮因子變化關(guān)系。

當(dāng)p=q=1時(shí),低階固有頻率能收斂至解析解,當(dāng)p=q=5,高階固有頻率也能收斂至解析解,如表1所示。

表1 未開口板固有頻率隨伸縮因子變化Tab.1 The natural frequency of an unopened plate varies with the expansion factor 單位:Hz

當(dāng)p=q=5時(shí),固有頻率達(dá)到收斂,證明了式(3)的合理性,如表2所示。

表2 開口板固有頻率隨伸縮因子變化Tab.2 The natural frequency of an open plate varies with the expansion factor 單位:Hz

以SSSS和CCCC邊界條件下的開圓口的矩形板為例,進(jìn)行準(zhǔn)確性驗(yàn)證。圓形開口半徑為r=0.1 m。將線性表達(dá)方法計(jì)算結(jié)果與有限元(finite element method,FEM)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。采用的有限元軟件為COMSOL,單元類型為板,結(jié)果如表3和表4所示。誤差計(jì)算公式為

表3 SSSS邊界下開圓口矩形板固有頻率對(duì)比

表4 CCCC邊界下開矩形口矩形板固有頻率對(duì)比

(24)

式中:fLEM為線性表示方法的結(jié)果;fFEM為有限元計(jì)算結(jié)果。

為了驗(yàn)證振型模態(tài)圖的準(zhǔn)確性, SSSS邊界條件下LEM和FEM繪制的模態(tài)圖,如圖4所示。LEM與FEM得到的固有頻率吻合良好,最大誤差不超過2%,見表3、表4。LEM與FEM得到的振型圖基本一致,見圖4。綜合固有頻率和振型圖的對(duì)比,說明LEM具有較高的準(zhǔn)確性。

圖4 SSSS邊界開矩形口板模態(tài)圖Fig.4 Modal diagram of SSSS boundary plate with rectangular opening

3 開口尺寸對(duì)振動(dòng)性能的影響

為研究開口尺寸對(duì)開口板自振特性的影響,采用LEM對(duì)不同開口尺寸薄板的自振頻率進(jìn)行計(jì)算,分析開口尺寸對(duì)自振頻率的影響規(guī)律。

在CCCC和SFSF邊界條件下,研究開口半徑r與開口板自振頻率f的關(guān)系。矩形板長(zhǎng)2a=0.5 m,寬2b=0.4 m,厚h=0.005 m;圓孔中心與板中心重合,開口半徑從r=0(無開口),0.005 m、0.010 m、0.001 5 m、…、0.150 m。最大開口半徑為0.15 m,當(dāng)開口尺寸繼續(xù)增大,薄板理論不再適用。將開口半徑與固有頻率關(guān)系繪制成圖,如圖5所示。

圖5 不同邊界下開口半徑與固有頻率關(guān)系Fig.5 Relationship between opening radius and natural frequency under different boundaries

由圖5可知,當(dāng)開口尺寸較小時(shí),開口對(duì)各階固有頻率的影響較小?？赡艿慕忉屖?固有頻率和結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和應(yīng)變能有關(guān),其中動(dòng)能與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和速度相關(guān),應(yīng)變能與結(jié)構(gòu)剛度有關(guān)。當(dāng)開口較小時(shí),對(duì)質(zhì)量和剛度影響都較小,所以對(duì)固有頻率的影響較小。小開口板的頻率和模態(tài)可近似為未開口板進(jìn)行分析。

在CCCC邊界條件下,1階固有頻率隨著開口尺寸增大而增大,2階、3階、4階固有頻率隨著開口增大先減小后增大,見圖5(a)。根據(jù)未開口矩形板振型圖6,可能的解釋是,在1階振型中,中心開口位于振動(dòng)峰谷位置,開口對(duì)動(dòng)能影響比應(yīng)對(duì)變能影響大,從而導(dǎo)致1階固有頻率隨著開口尺寸增大而增大。2階、3階、4階振型中,中心開口位于節(jié)線位置,開口對(duì)動(dòng)能影響比應(yīng)對(duì)變能影響小;隨著開口尺寸增大,逐漸接近峰谷位置,對(duì)動(dòng)能影響比應(yīng)對(duì)變能影響大,從而導(dǎo)致固有頻率隨著開口增大先減小后增大。

在SFSF邊界條件下,1～4階固有頻率隨著開口增大而減小,見圖5(b)。根據(jù)未開口矩形板振型圖7,并與CCCC邊界條件下進(jìn)行對(duì)比,可能的解釋是:1階振型中,振動(dòng)峰谷為一帶狀區(qū)域,不完全集中在中心位置,中心開口對(duì)動(dòng)能影響比應(yīng)對(duì)變能影響小;SFSF邊界下整體剛度比CCCC邊界下小,隨著開口增大,對(duì)動(dòng)能影響一直比應(yīng)對(duì)變能影響小,沒有出現(xiàn)CCCC邊界下固有頻率隨著開口增大先減小后增大現(xiàn)象。

4 開口形狀對(duì)振動(dòng)性能的影響

為研究開口形狀對(duì)自振特性的影響。采用LEM對(duì)不同開口形狀薄板的自振頻率進(jìn)行計(jì)算,分析開口形狀對(duì)自振頻率的影響規(guī)律。

在CCCC和SSSS邊界條件下,矩形板長(zhǎng)2a=0.5 m,寬2b=0.4 m,厚h=0.005 m,開口面積s=0.02 m2,矩形孔長(zhǎng)寬比a′/b′=ka,橢圓孔長(zhǎng)軸與短軸比r1/r2=kr。不同長(zhǎng)寬比ka、長(zhǎng)短軸比kr與自振頻率關(guān)系如圖8、圖9所示。

圖8 CCCC邊界下長(zhǎng)短軸比kr與自振頻率關(guān)系Fig.8 Relationship between the long to short axis ratio kr and natural frequency under CCCC boundary

圖9 SSSS邊界下長(zhǎng)寬比ka與自振頻率關(guān)系Fig.9 Relationship between aspect ratio ka and natural frequency under SSSS boundary

由圖8、圖9可知,在邊界條件和開口面積相同情況下,開口形狀對(duì)1階、4階自振頻率影響較小(為1%～3%),對(duì)2階、3階影響較大(為8%～20%)。根據(jù)未開口矩形板振型圖6,可能的解釋是:1階、4階峰谷沿x軸和y軸對(duì)稱,開口長(zhǎng)邊方向x軸和沿y軸對(duì)薄板的動(dòng)能影響較接近;而2階、3階峰谷只沿y軸或只沿x對(duì)稱,開口長(zhǎng)邊方向?qū)?dòng)能的影響差異較大。

隨著長(zhǎng)寬比ka、長(zhǎng)短軸比kr從0.5增大到2.0,1階自振頻率先增大后減小,2階頻率逐漸減小,3階頻率逐漸增大?？赡茉蚴?當(dāng)開口接近峰谷時(shí)自振頻率增加,開口遠(yuǎn)離峰谷時(shí)自振頻率減小。

5 多開口自振頻率計(jì)算

以不同開口數(shù)量的矩形板為例,與有限元結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證LEM計(jì)算多開口板時(shí)的準(zhǔn)確性。單元矩形板長(zhǎng)0.5 m,寬0.4 m,厚0.005 m,圓孔半徑0.05 m。開兩孔模型如圖10(a)所示,圓孔中心坐標(biāo)為(±0.125,0);開四孔模型如圖10(b)所示,圓孔中心坐標(biāo)為(±0.125,±0.10);計(jì)算結(jié)果如表5和表6所示。

表5 不同邊界下開兩圓孔矩形板固有頻率Tab.5 Natural frequencies of rectangular plates with 2 circular holes under different boundaries

圖10 多開口矩形板示意圖Fig.10 Schematic diagram of multi opening rectangular plate

由表5、表6可知:在不同邊界條件下,低階固有頻率誤差基本在1%以內(nèi);在CCCC邊界下,高階固有頻率最大誤差小于2.5%,高階固有頻率誤差大于低階誤差[31]。LEM在計(jì)算多開口矩形板自振頻率準(zhǔn)確可靠。

6 結(jié) 論

基于能量法原理,采用高斯小波函數(shù)作為位移函數(shù),提出利用線性表達(dá)方法(LEM)處理邊界條件,解耦了邊界條件與位移形函數(shù)。首先以四邊簡(jiǎn)支條件下開圓口薄板為例驗(yàn)證了LEM的收斂性和準(zhǔn)確性,然后分析不同開口尺寸和不同開口形狀下開口薄板的自振頻率,最后分析了多開口矩形板自振頻率。通過本文的研究,得到如下結(jié)論:

(1) 高斯小波函數(shù)中伸縮因子的取值與解的收斂性相關(guān),當(dāng)函數(shù)支撐范圍小于板的邊長(zhǎng)時(shí)才能保證解收斂。

(2) 采用線性表達(dá)方法的不同邊界條件下單開口、多開口振動(dòng)計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好。

(3) 當(dāng)開口尺寸較小時(shí),開口對(duì)固有頻率的影響較小,小開口板的頻率和模態(tài)可近似為未開口板進(jìn)行分析。開口對(duì)各階自振頻率影響程度隨著模態(tài)圖的峰谷位置變化。

(4) 在邊界條件和開口面積相同情況下,隨著開口形狀與模態(tài)圖中峰谷重合范圍的不同,自振頻率產(chǎn)生不同影響。