王樂洋,胡芳芳

(1.東華理工大學(xué) 自然資源部環(huán)鄱陽湖區(qū)域礦山環(huán)境監(jiān)測與治理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南昌 330013; 2.東華理工大學(xué) 測繪與空間信息工程學(xué)院,南昌 330013)

加性乘性混合型誤差模型在大地測量領(lǐng)域前進(jìn)的步伐未曾停止。在20世紀(jì)早期,Helmert[1-2]首次提及了加性誤差模型,引入了大地測量觀測標(biāo)準(zhǔn)誤差的概念;到20世紀(jì)中期,考慮到觀測誤差的比值是恒定的而不是方差,Kneissl[3-4]引入了乘性誤差模型的概念;20世紀(jì)80年代,Wübbena[5-7]提出了用于GPS觀測調(diào)整的組合模型的概念,將加性誤差模型和乘性誤差模型擴(kuò)展為允許在單一模型中考慮兩種類型誤差的加性乘性混合型誤差模型。

此后學(xué)者對于加性乘性混合型誤差模型的研究不斷深入[8-15]。文獻(xiàn)[8]通過改變直線擬合算例中點(diǎn)的質(zhì)量驗(yàn)證了文中所提出的偏差改正最小二乘方法與擬似然函數(shù)法的等價(jià)性,同時(shí)還驗(yàn)證了該方法具有二階無偏性。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)出了文獻(xiàn)[8]中所提出方法的精度評定公式,通過模擬一個(gè)用激光雷達(dá)測量的滑坡模型驗(yàn)證了偏差改正加權(quán)最小二乘方法比普通最小二乘方法的性能要好很多。文獻(xiàn)[10]通過模擬的直線擬合模型和數(shù)字高程模型(digital elevation model,DEM)驗(yàn)證了Sterling插值方法可以使乘性隨機(jī)誤差模型的精度評定方法的精度達(dá)到二階。文獻(xiàn)[11]增加了一個(gè)真實(shí)的病態(tài)DEM數(shù)據(jù)案例來驗(yàn)證文中提出的比例無跡變換(scaled unscented transformation, SUT)精度評定方法能夠得到更準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)且該算法在大地測量領(lǐng)域的適用性也更強(qiáng)。文獻(xiàn)[12]和[13]通過模擬的直線擬合模型和DEM模型驗(yàn)證了更加符合現(xiàn)代大地測量手段的加性乘性混合型誤差模型的參數(shù)求解方法的有效性,其中偏差改正加權(quán)最小二乘法是二階近似無偏的,精度最好。之后,文獻(xiàn)[14]和[15]將加性乘性混合型誤差模型和智能優(yōu)化算法相結(jié)合,通過模擬的直線擬合模型和改進(jìn)的DEM模型驗(yàn)證了兩者相結(jié)合后可以得到更快的收斂速度、更優(yōu)的參數(shù)估值和更合理的精度信息。

以上對于加性乘性混合型誤差模型的參數(shù)估計(jì)方法的算例當(dāng)中鮮少提及使用測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差算例來進(jìn)行驗(yàn)證。測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型用于測量邊長的測距儀的標(biāo)準(zhǔn)精度可以表示為:σSi=a+bSi,其中a和b可以很好的對應(yīng)于加性乘性混合型誤差模型當(dāng)中的加性隨機(jī)誤差和乘性隨機(jī)誤差。測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型是大地測量領(lǐng)域廣泛采用的數(shù)學(xué)模型,是一種利用邊長測量的觀測方法,其主要應(yīng)用于對由大量測量邊長組成的測邊網(wǎng)進(jìn)行處理。顯而易見,距離測量相對操作簡單可行,每一條邊長的觀測時(shí)間均較短,同時(shí)測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型被廣泛應(yīng)用于確定區(qū)域內(nèi)各個(gè)測量點(diǎn)的坐標(biāo),這對于地圖繪制、土地規(guī)劃和建筑工程等領(lǐng)域具有極大的實(shí)用價(jià)值。此外,該模型還能夠有效地校正測量誤差,提高測量精度。因此,對于測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合型誤差模型解算的研究十分有必要。

1 加性乘性混合型誤差模型及其求解

已有文獻(xiàn)中研究的加性乘性混合型誤差模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[12]:

y=f(β)⊙(1+εm)+εa.

(1)

式中:y∈Rn×1表示觀測值向量;f(β)表示未知參數(shù)的函數(shù);β∈Rt×1表示未知參數(shù)向量;n為觀測值數(shù)量,t為未知參數(shù)個(gè)數(shù); ⊙表示向量或矩陣的哈達(dá)瑪乘積符號;1∈Rn×1表示元素全為1的列向量;εm∈Rn×1表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)乘性誤差列向量;εa∈Rn×1表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)加性誤差列向量。

y=Aβ⊙(1+εm)+εa.

(2)

E(y)=Aβ.

(3)

由式(2)和式(3)可得觀測值y的方差協(xié)方差陣為:

Dy=E[(y-E(y))(y-E(y))T]T=

(4)

將最小二乘準(zhǔn)則應(yīng)用到式(2)的加性乘性混合型誤差模型當(dāng)中,可以得到目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為[13]:

min:F(β)=(y-Aβ)TP(y-Aβ).

(5)

(6)

(7)

式中:

(i=1,2,…,t).

(8)

(9)

單位權(quán)中誤差的估計(jì)式為:

(10)

2 測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合型誤差模型解算

測邊網(wǎng)是一種測量地面上點(diǎn)的方法,然而由于儀器誤差、環(huán)境條件和人為因素等各種因素的影響,測量數(shù)據(jù)可能存在誤差。為了提高測量精度,需要進(jìn)行坐標(biāo)平差。而坐標(biāo)平差則是指在已知部分點(diǎn)的坐標(biāo)和測量距離的情況下,通過數(shù)學(xué)方法計(jì)算出其余點(diǎn)的坐標(biāo),使得測量距離的觀測值與計(jì)算值之間的差異最小。

測邊網(wǎng)由一系列相互連接的點(diǎn)組成。其中,一些點(diǎn)的坐標(biāo)事先已知,而其他點(diǎn)的坐標(biāo)未知。已知點(diǎn)稱為控制點(diǎn),未知點(diǎn)稱為掛點(diǎn)。相鄰點(diǎn)之間的距離和角度測量是測邊網(wǎng)的基礎(chǔ)。本文將選用參考文獻(xiàn)[16]中的例7～10來進(jìn)行計(jì)算,該測邊網(wǎng)的基本計(jì)算步驟如下[16]:

1)根據(jù)所給已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知測距邊長的信息,由邊長交會計(jì)算出待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)。如圖1所示,A,B,C,D為4個(gè)已知點(diǎn),P1,P2,P3,P4為4個(gè)待求點(diǎn),1～13為通過測距儀觀測得到的13條邊長,分別記為L1～L13,則待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)為:

圖1 測邊網(wǎng)示意圖

(11)

2)由已知點(diǎn)坐標(biāo)和求解得到的待定點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),列出整個(gè)網(wǎng)的誤差方程,誤差方程的個(gè)數(shù)對應(yīng)測距儀所測得的邊長的個(gè)數(shù)。其中邊L2即邊AP1的誤差方程為:

(12)

(13)

其中:

l4=L4-SP1P2。

同理,可得到邊長L5,L9,L10,L12的誤差方程。

4)由步驟1)～3)所求得的信息組成法方程求解待定點(diǎn)的坐標(biāo)改正值。根據(jù)步驟1)列出所有的誤差方程后可得到誤差和方程:

(14)

5)將待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)與待定點(diǎn)的坐標(biāo)擬合值相加得到待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值結(jié)果,求解單位權(quán)中誤差。

3 算例與分析

本文選用文獻(xiàn)[16]中的例7～10,采用測距精度為σs=3+1×10-6S的某測距儀觀測了13條邊長(S為測量邊長)。表1為已知點(diǎn)坐標(biāo),表2為觀測邊長。

表1 已知點(diǎn)坐標(biāo) m

表2 觀測邊長 m

根據(jù)表1的已知點(diǎn)坐標(biāo)和表2的觀測邊長,通過勾股定理和邊長交會可以求解出4個(gè)待求點(diǎn)的近似坐標(biāo)分別為:P1(48 580.270,60 500.505)m,P2(48 681.390,55 018.279)m,P3(43 767.223,57 968.593)m,P4(40 843.219,64 867.875)m。根據(jù)待定點(diǎn)P1,P2,P3,P4的近似坐標(biāo)和已知點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)求解出組成誤差方程的相關(guān)數(shù)據(jù);若誤差方程計(jì)算過程中涉及到點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)則選用式(12)計(jì)算,其余誤差方程的計(jì)算選用式(13)。求得該算例的誤差方程為:

(15)

其中待求的誤差改正數(shù)和測量長度平差值的單位均為mm。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的例7～10的測距儀的標(biāo)準(zhǔn)精度σs=3+1×10-6S設(shè)置本算例中的加性乘性混合型誤差模型中的隨機(jī)乘性誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為1×10-3mm和隨機(jī)加性誤差標(biāo)準(zhǔn)差為3 mm,令單位權(quán)中誤差為10 mm,觀測值的方差協(xié)方差陣由式(4)計(jì)算得到。使用本文提到的測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合誤差模型的WLS和bcWLS方法對待定點(diǎn)P1,P2,P3,P4的坐標(biāo)平差值進(jìn)行計(jì)算,求解得到的坐標(biāo)改正值和單位權(quán)中誤差估值結(jié)果見表3,待求點(diǎn)點(diǎn)位中誤差結(jié)果見表4。

表3待求點(diǎn)坐標(biāo)改正值和單位權(quán)中誤差估值 mm

表4 待求點(diǎn)點(diǎn)位中誤差 mm

如表3可知,本文所推導(dǎo)測邊網(wǎng)平差模型的加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS方法所求得單位權(quán)估值與設(shè)定的真值更加接近,且三種方法中的bcWLS所求得的結(jié)果最優(yōu)。通過本文的WLS方法所求得的單位權(quán)估值比文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的單位權(quán)中誤差估值提高了25.304%,通過bcWLS所求得的單位權(quán)估值比文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的單位權(quán)中誤差估值提高了25.305%。通過本文的WLS和bcWLS方法所求得的待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值與文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的結(jié)果不相同,在點(diǎn)位P1和P2的x方向的坐標(biāo)改正值結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果相差明顯,在點(diǎn)位P2和P4的y方向的坐標(biāo)改正值結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果差距較小。

如表4可知,本文所推導(dǎo)的WLS和bcWLS所求得待定點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差更小,精度更高;這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[16]中的WLS所選用的權(quán)值與測距儀所測得的邊長有關(guān),這些邊長均是含有誤差的,而本文的WLS所選用的權(quán)值根據(jù)文獻(xiàn)[16]中所求得的結(jié)果進(jìn)行了一定的修正,bcWLS方法則進(jìn)一步修正了WLS方法中的偏差項(xiàng),因此通過bcWLS方法所求得的待定點(diǎn)坐標(biāo)中誤差最小,精度最高。

4 結(jié) 論

現(xiàn)代大地測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域當(dāng)中的誤差模型大多為加性乘性混合型誤差模型。為了使該模型在處理實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)更具有優(yōu)勢,本文首次引入加性乘性混合型誤差模型進(jìn)行測邊網(wǎng)平差。通過實(shí)驗(yàn)計(jì)算分析,表明加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS可以對根據(jù)測量值所得到的不正確的權(quán)值加以改正,通過本文所推導(dǎo)的WLS和bcWLS方法可以得到更準(zhǔn)確的坐標(biāo)改正值且得到的坐標(biāo)改正值精度更高。