李生魁

［摘? 要］ 文章從數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵出發(fā)，認(rèn)為初中生建模一般遵循“現(xiàn)實(shí)原型—實(shí)際模型—數(shù)學(xué)形式”的過(guò)程，并通過(guò)對(duì)建模的三個(gè)水平層次“再現(xiàn)、聯(lián)系與反思”的例析，提出培養(yǎng)學(xué)生的建模能力可分別從以下三方面著手：掌握標(biāo)準(zhǔn)模型，提升建模“再現(xiàn)”水平；借助現(xiàn)實(shí)問題，提升建?！奥?lián)系”水平；數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐，提升建?！胺此肌彼?

［關(guān)鍵詞］ 建模；再現(xiàn)；聯(lián)系；反思

數(shù)學(xué)存在于人類生活的方方面面，將生活知識(shí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程就是抽象數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，此過(guò)程需對(duì)生活現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)致入微的觀察. 因此，數(shù)學(xué)建模就是一種源自生活需要，解決生產(chǎn)問題的過(guò)程. 研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)注數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵對(duì)發(fā)展核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值與意義. 尤其對(duì)于初中生而言，建?？蓮臄?shù)學(xué)學(xué)科本身的價(jià)值著手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有深度的思考，體會(huì)數(shù)學(xué)與自然、社會(huì)的必然聯(lián)系，并感知數(shù)學(xué)的跨學(xué)科作用，為形成良好的建模能力夯實(shí)基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

建模屬于數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容之一. 但是，當(dāng)前仍有不少教師無(wú)法分辨出數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型思想以及建模活動(dòng)之間究竟存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系. 為此，研究者借助圖1揭露數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵為：將生活實(shí)際中的一些問題轉(zhuǎn)化成一些學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)問題來(lái)探索，也就是將原本不屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)范疇以內(nèi)的問題來(lái)探索與分析，并將探索而來(lái)的結(jié)論再轉(zhuǎn)譯到生活實(shí)際中去，實(shí)現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的深度融合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)為生活服務(wù)的真諦.

整體而言，數(shù)學(xué)建模循環(huán)模型是指學(xué)生基于模型來(lái)探索生活中事物的關(guān)系結(jié)構(gòu)，隨著對(duì)模型的分析與演繹，將所獲得的結(jié)論反演到生活實(shí)際中去，以更好地解決實(shí)際問題［1］. 就數(shù)學(xué)本身而言，建模就是將生活實(shí)際數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也就是通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化與提煉生活實(shí)際問題，使之成為數(shù)學(xué)問題，此為初步建構(gòu)模型的過(guò)程. 從廣義的角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)模型涵蓋了公式、定理、概念等，基于狹義的角度分析，數(shù)學(xué)模型是反映特定事物的一種特殊結(jié)構(gòu)形式.

建模過(guò)程分析

初中階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的社會(huì)閱歷與生活經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的建模能力. 從建模內(nèi)容的角度來(lái)分析，此階段學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，一般遵循“現(xiàn)實(shí)原型—實(shí)際模型—數(shù)學(xué)形式”的過(guò)程.

現(xiàn)實(shí)原型是指一些真實(shí)的生活實(shí)際問題，這一類情境常常呈現(xiàn)出雜亂無(wú)章的亂象，令人無(wú)從下手；實(shí)際模型亦可稱為現(xiàn)實(shí)模型，是指將現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行簡(jiǎn)化與梳理，形成更加精準(zhǔn)、簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式，因此實(shí)際模型已經(jīng)初步具備條理性；數(shù)學(xué)形式是指對(duì)模型的假設(shè)與簡(jiǎn)化，并借助簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)或文字語(yǔ)言描述其關(guān)系的一種模式. 遍覽各種版本的初中數(shù)學(xué)教材，其中所呈現(xiàn)的一些實(shí)際問題，基本都是編者根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活提煉而來(lái)，包含了大量現(xiàn)實(shí)原型與實(shí)際模型，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中加以梳理，可將它們形成標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)形式.

建模水平劃分

第一層，再現(xiàn).

當(dāng)學(xué)生面對(duì)自己認(rèn)知范圍內(nèi)的情境或問題時(shí)，能在短時(shí)間內(nèi)快速甄別出其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，并借助該模型來(lái)處理問題，屬于數(shù)學(xué)模型的“再現(xiàn)”過(guò)程，這是建模水平的最基本的層級(jí). 如常見的銷售類問題：一條褲子先按照成本價(jià)提高50%進(jìn)行標(biāo)價(jià)，銷售時(shí)給顧客打八折，這條褲子的贏利為28元，那么這條褲子的成本價(jià)是多少？

此為從學(xué)生生活實(shí)際提取來(lái)的問題，該情境將學(xué)生帶入現(xiàn)實(shí)生活中，并借助銷售類問題所涉及的標(biāo)價(jià)、售價(jià)、折扣與贏利等關(guān)鍵詞啟發(fā)學(xué)生的思維，同時(shí)，這些關(guān)鍵詞也是學(xué)生分析并解決問題的主要依據(jù).

想要弄清問題中多個(gè)關(guān)鍵詞所表達(dá)的實(shí)際含義，就需要在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確地表達(dá)出成本、售價(jià)與贏利之間的關(guān)系. 因此，解決這個(gè)問題最直接的方法就是構(gòu)建方程模型，學(xué)生直接套用標(biāo)準(zhǔn)模型就能順利解決問題，因此，此過(guò)程屬于數(shù)學(xué)建模的“再現(xiàn)”層級(jí).

第二層，聯(lián)系.

數(shù)學(xué)模型的“聯(lián)系”是指在稍復(fù)雜的問題背景下，通過(guò)對(duì)知識(shí)的組合、遷移與轉(zhuǎn)化，借助標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行組合與變形，以解決實(shí)際問題的過(guò)程. 如某種傳染病疫情暴發(fā)之后，“方艙醫(yī)院”成了家喻戶曉的一個(gè)名詞，那么修建方艙醫(yī)院會(huì)涉及不少信息，教師可借助PPT展示如下內(nèi)容：

為了應(yīng)對(duì)突發(fā)疫情，某地準(zhǔn)備建立一個(gè)方艙醫(yī)院，具體信息如下：①方艙醫(yī)院主要由病房、醫(yī)療功能區(qū)、醫(yī)療廢棄物處置區(qū)以及技術(shù)保障區(qū)四部分組成；②預(yù)期整個(gè)方艙的面積為8萬(wàn)平方米；③醫(yī)療廢棄物處置區(qū)占到整個(gè)方艙面積的5%；④病房的整體面積是該方艙醫(yī)院技術(shù)保障區(qū)面積的4倍；⑤病房面積和醫(yī)療功能區(qū)面積之和占整個(gè)醫(yī)院總面積的85%以下. 那么，該方艙醫(yī)院的醫(yī)療功區(qū)最大面積是多少？

這是一個(gè)源自生活實(shí)際的問題，情境中呈現(xiàn)的信息雖然很多，但并不全面，有很多信息需要學(xué)生在原有信息的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行假設(shè)、抽象或簡(jiǎn)化，并借助簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示待求面積. 由此可以看出，此情境涵蓋了兩個(gè)模型，分別為“方程模型”與“不等式模型”，學(xué)生只要直接進(jìn)行模型的組合就能順利解決問題. 由此可確定，此為處于“聯(lián)系”水平的數(shù)學(xué)建模問題.

第三層，反思.

數(shù)學(xué)建模的“反思”是指在異常復(fù)雜的問題情境中，通過(guò)檢驗(yàn)、類比、評(píng)價(jià)與模型的改建等，用創(chuàng)造性的方法解決問題的過(guò)程. 如水是生命的源泉，但地球上的水資源并不充足，因此我們?cè)谌粘Ｉ钪袘?yīng)盡可能地節(jié)約用水. 有人提出“洗澡時(shí)應(yīng)盡可能淋浴，可以節(jié)水”. 真相是怎樣的呢？現(xiàn)在一起來(lái)看下面這個(gè)問題：

如果家里有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高（內(nèi)部測(cè)量）分別為1.3 m、0.7 m、0.7 m的長(zhǎng)方體浴缸，假設(shè)泡澡水深恒為0.5 m；還有一個(gè)淋浴房，淋蓬頭的水速可調(diào)節(jié)，分別為15 L/min與10 L/min. 請(qǐng)問淋浴與泡澡兩種方式，哪種更節(jié)水？

洗澡是學(xué)生異常熟悉的生活場(chǎng)景，在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上拓展“洗澡”這個(gè)問題，通過(guò)對(duì)關(guān)鍵信息的探索與分析，不難發(fā)現(xiàn)想要從真正意義上了解哪種洗澡方式更節(jié)水，就要考慮水流速度與沐浴時(shí)間等綜合因素，此為解決問題的關(guān)鍵. 對(duì)于一個(gè)源自學(xué)生生活的實(shí)際問題，可通過(guò)假設(shè)并借助相應(yīng)的模型來(lái)分析與探索問題. 當(dāng)然，此過(guò)程對(duì)學(xué)生的思維要求較高，屬于建模水平的較高層次，即“反思”水平層級(jí). 處理好這個(gè)問題，對(duì)于學(xué)生個(gè)體建模思想的發(fā)展具有重要的價(jià)值與意義.

大部分教材所呈現(xiàn)的模型類問題均屬于“再現(xiàn)”水平，利用這一類模型來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力具有重要價(jià)值. 鑒于此，教師在教學(xué)實(shí)踐中，需引導(dǎo)學(xué)生在積極思考與類比中發(fā)展反思能力與建模水平，為培育創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)做鋪墊.

培養(yǎng)建模能力的策略

1. 掌握標(biāo)準(zhǔn)模型，提升數(shù)學(xué)建模

“再現(xiàn)”水平

模型思想是促進(jìn)生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶，數(shù)學(xué)建模與解模對(duì)培育數(shù)學(xué)方程、函數(shù)思想等具有特殊意義，它不僅能體現(xiàn)出生活事物間存在的數(shù)量關(guān)系，還能借助數(shù)學(xué)符號(hào)建立一些模型，讓學(xué)生深入理解問題的結(jié)論與結(jié)論所蘊(yùn)含的實(shí)際意義.

為了讓學(xué)生能順利建構(gòu)模型思想，編者在撰寫教材時(shí)，常會(huì)關(guān)注到生活實(shí)際中的一些現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識(shí)間存在的關(guān)聯(lián)性，并通過(guò)應(yīng)用類的生活現(xiàn)實(shí)問題引導(dǎo)學(xué)生用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問題. 學(xué)生因親歷用知識(shí)解決實(shí)際問題的過(guò)程而實(shí)現(xiàn)初步建模，感知到數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值與意義［2］.

從內(nèi)容上來(lái)分析，學(xué)生常將大部分時(shí)間用在數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部學(xué)習(xí)上，如概念、定理、性質(zhì)等，這些可作為標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行教學(xué)，為解決實(shí)際問題服務(wù). 如圖2，從建模的過(guò)程來(lái)分析，數(shù)學(xué)建模涉及的內(nèi)容相當(dāng)多. 因此，實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際模型的探索與分析，借助數(shù)學(xué)符號(hào)描述模型，促使學(xué)生深度參與建模過(guò)程，理解建模原理，從真正意義上提升建模能力.

2. 借助現(xiàn)實(shí)問題，提升數(shù)學(xué)建模

“聯(lián)系”水平

讓學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界以及用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一，也是發(fā)展核心素養(yǎng)的主要通道［3］. 數(shù)學(xué)建模其實(shí)就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程. 鑒于教材布局的局限性，教師可充分挖掘現(xiàn)實(shí)世界中的一些生活實(shí)際問題來(lái)彌補(bǔ)教材中缺少用實(shí)際模型類問題發(fā)展學(xué)生“聯(lián)系”水平的缺陷，如在課堂中引入一些逼真、豐富的生活或問題情境等.

然而，生活中的一些原型類問題由于沒有經(jīng)過(guò)整理與歸納，顯得雜亂無(wú)章，這就要求教師將問題進(jìn)行一定的梳理，并帶領(lǐng)學(xué)生分析其中的關(guān)系，明確問題的“主干”，消減無(wú)用的“枝丫”，理清問題的脈絡(luò)，由此便可順利提出合理的假設(shè)，從而用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)問題，為建立合適的模型奠定基礎(chǔ)，這是發(fā)展學(xué)生建模能力“聯(lián)系”水平的關(guān)鍵.

如以上關(guān)于“方艙醫(yī)院”的探索，就鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)自主閱讀的方式提煉信息，用數(shù)學(xué)的眼光與思維來(lái)觀察與探索解決問題的辦法. 此為將生活現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)進(jìn)行表征的過(guò)程，學(xué)生在此過(guò)程中不僅自主抽象出相應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)，還有效發(fā)展了數(shù)學(xué)建模的“聯(lián)系”水平.

3. 通過(guò)綜合實(shí)踐，提升數(shù)學(xué)建模

“反思”水平

借助所學(xué)知識(shí)探索實(shí)際問題，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐能力的主要途徑. 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的主要內(nèi)容有：創(chuàng)設(shè)與實(shí)際生活相似的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主思考與探索，設(shè)計(jì)相應(yīng)的解題方案，從中感知建模的整個(gè)歷程. 學(xué)生在建模過(guò)程中不斷提升自身的問題意識(shí)，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力，此為形成創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要渠道.

受應(yīng)試的影響，不少教師仍存在“知識(shí)本位”意識(shí)，教學(xué)中尤其關(guān)注數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、圖形與幾何的教學(xué)，而忽略綜合實(shí)踐的教學(xué). 殊不知，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐是讓學(xué)生從課堂中更好地了解現(xiàn)實(shí)生活的途徑，也是學(xué)生借助豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)思考現(xiàn)實(shí)生活的契機(jī)，利用好綜合實(shí)踐活動(dòng)，不僅能提升學(xué)生的建模水平，還能發(fā)展學(xué)生的反思力，讓學(xué)生進(jìn)一步感知并體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系.

在此背景下，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這個(gè)目標(biāo)凌駕于應(yīng)試之上，充分挖掘綜合實(shí)踐課程的教學(xué)意義，結(jié)合學(xué)生生活中的實(shí)際問題，常態(tài)化地組織綜合實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生形成“三會(huì)”能力，從而提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)學(xué)源自生活實(shí)際，又反過(guò)來(lái)應(yīng)用于生活實(shí)踐的真理.

針對(duì)以上關(guān)于“節(jié)水”的問題，可將條件信息中的一些數(shù)據(jù)剔除，進(jìn)而將問題的原始狀態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生：有人提出洗澡時(shí)用淋浴比用浴缸更節(jié)水，真是這樣嗎？此時(shí)，這個(gè)問題就成了一個(gè)典型的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐性問題. 想要解決這個(gè)問題，就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行搜集、整理、分析，并基于數(shù)學(xué)模型的視角進(jìn)行探索與思考. 學(xué)生親歷探索過(guò)程，基于“引模、建模、解模與驗(yàn)證模型”的歷程，有效提升建模的“反思”水平.

古希臘人提出：世界本就是一個(gè)簡(jiǎn)單且符合邏輯的能用數(shù)學(xué)所表達(dá)的世界. 這一認(rèn)識(shí)與如今試圖全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要聯(lián)系. 一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分了解學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平與建模的各個(gè)水平階層，設(shè)計(jì)出符合學(xué)情的教學(xué)方案，從真正意義上培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的建模能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）：自然界中的數(shù)學(xué)模型［M］. 長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

［2］鄭毓信. 數(shù)學(xué)抽象的基本準(zhǔn)則：模式建構(gòu)形式化原則［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1990（11）：9-11.

［3］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.