冉 娜，楊 祺

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

D是復(fù)數(shù)域內(nèi)的一鄰域，F(xiàn)為區(qū)域D內(nèi)的一亞純函數(shù)族，{fn}為函數(shù)列，{fnv}為函數(shù)列{fn}的子序列，若?{fn}?F，均?{fnv}在區(qū)域D內(nèi)按球距內(nèi)閉一致收斂到一個(gè)亞純函數(shù)或者∞，則稱F在區(qū)域D內(nèi)是正規(guī)的[1-3]。

用σ(x，y)表示x和y的球面距離[4]。2013年，雷春林等在文獻(xiàn)[5]中證明了定理A。

定理A設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一亞純函數(shù)族，a≠0，b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，n≥2，k為兩個(gè)正整數(shù)，若對(duì)于定義在D內(nèi)的?f∈F，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1，且滿足

f+a(f(k))n≠b，

(1)

則F在區(qū)域D上正規(guī)。

2021年，曾翠萍等考慮到分擔(dān)值的情形，將定理A進(jìn)行了推廣，在文獻(xiàn)[6]中證明了定理B。

定理B設(shè)n≥2，k是兩個(gè)正整數(shù)，a≠0，b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，且滿足：

(1)對(duì)于?f∈F，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1；

(2)對(duì)于?f∈F，f(k)(z)的零值點(diǎn)不是f(z)的b值點(diǎn)；

(3)對(duì)于F內(nèi)的任意兩個(gè)函數(shù)f和g，f+a(f(k))n和g+a(g(k))n分擔(dān)b，則F在區(qū)域D上正規(guī)。

基于以上的研究，文章將定理A和定理B中的f(k)換成關(guān)于f的微分多項(xiàng)式L(f)，這里L(fēng)(f)=f(k)(z)+a1f(k-1)(z)+…+akf(z)，ai(z)，i=1，2，…，k，是區(qū)域D上的全純函數(shù)，得到了兩個(gè)新的有關(guān)微分多項(xiàng)式的正規(guī)定則。

1 一些引理

引理1[7]單位圓Δ內(nèi)，設(shè)F是該區(qū)域內(nèi)的一族亞純函數(shù)，?f∈F的零點(diǎn)重級(jí)均≥k。若F在Δ內(nèi)不正規(guī)，則對(duì)0≤α≤k，存在

(1)一個(gè)數(shù)0

(2)一個(gè)點(diǎn)列：|zj|

(3)一個(gè)函數(shù)列fj∈F，

(4)一個(gè)正數(shù)列ρj→0+，

引理2[8]若全純函數(shù)f的球面導(dǎo)數(shù)f#在上有界，則f的級(jí)至多為1。

引理3[9]若超越亞純函數(shù)f≠0，且a(≠0)為有窮復(fù)數(shù)，n≥2為正整數(shù)，則f+a(f(k))n有無窮多個(gè)零點(diǎn)。

引理4[10]設(shè)有理函數(shù)f≠0，a(≠0)為有窮復(fù)數(shù)，k、n為兩個(gè)正整數(shù)，滿足n≥2，則f+a(f(k))n至少存在nk+1個(gè)零點(diǎn)。

(2)

其中c和d為兩個(gè)不同的復(fù)常數(shù)。

2 主要結(jié)果及定理證明

定理1設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一亞純函數(shù)族，a≠0，b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，n、k為兩個(gè)正整數(shù)，n≥2，若對(duì)于定義在D內(nèi)任意f∈F，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1，且滿足

(3)

則F在區(qū)域D上正規(guī)。

證明不失一般性，令D=Δ，設(shè)F為單位圓Δ內(nèi)的一亞純函數(shù)族，若F在Δ內(nèi)不正規(guī)，則至少存在一點(diǎn)z0∈Δ，使得F在z0處不正規(guī)，接下來，將分兩種情況討論。

情形1b=0

根據(jù)引理1可知，?fj∈F，zj→z0，ρj→0+使得

(4)

又根據(jù)式(4)知

(5)

故由Hurwitz定理知，g+a(g(k))n≡0，則g是一個(gè)整函數(shù)，根據(jù)引理2可知，g的級(jí)至多為1，又因?yàn)間≠0，故可令g=ecζ+d，c、d為兩個(gè)復(fù)數(shù)，c≠0，因此

ecζ+d+a(ckecζ+d)n=ecζ+d{1+acnk(ecζ+d)n-1}≡0，

(6)

當(dāng)n≥2時(shí)是不可能的，故而F在Δ內(nèi)正規(guī)。

情形2b≠0時(shí)

根據(jù)引理1可知，?fj∈F，zj→z0，ρj→0+使得

fj(zj+ρjζ)+a[L(fj(zj+ρjζ))]n-b→a(g(k))n-b。

(7)

若a(g(k))n≠b，根據(jù)Nevanlinna第二基本定理可知

(8)

又根據(jù)式(7)知

=fj(zj+ρjζ)+a[L(fj(zj+ρjζ))]n-b→a(g(k))n-b，

(9)

故g是一個(gè)k次多項(xiàng)式，又因?yàn)楦鶕?jù)已知條件知g的零點(diǎn)重級(jí)至少k+1，故矛盾。證畢。

定理2設(shè)n、k是兩個(gè)正整數(shù)，n≥2，a、b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，a≠0，F(xiàn)為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族，且滿足：

(1)對(duì)于?f∈F，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1；

(2)對(duì)于?f∈F，L(f)的零值點(diǎn)不是f(z)的b值點(diǎn)；

證明不失一般性，令D=Δ，設(shè)F為單位圓Δ內(nèi)的一亞純函數(shù)族，若F在Δ內(nèi)不正規(guī)，則至少存在一點(diǎn)z0∈Δ，使得F在z0處不正規(guī)，接下來，將分兩種情況討論。

情形1b=0

由定理?xiàng)l件知，對(duì)于D內(nèi)?f∈F有f≠0，否則，假設(shè)f=0，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1，則f(i)=0，i=1，2，…，k即L(f)=0，這與條件(2)矛盾。

若想證F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)，即證F在?z0∈D處正規(guī)。

對(duì)于D內(nèi)?f∈F，則有f(z0)+a[L(f(z0))]n=0或者f(z0)+a[L(f(z0))]n≠0，故存在δ>0，使得在Dδ={ζ：|ζ-ζ0|<δ}內(nèi)，f+a[L(f)]n至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)，由條件(c)知，?g∈F，g+a[L(g)]n至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)。

假設(shè)F在z0處不正規(guī)，根據(jù)引理1可知，?fj∈F，zj→z0，ρj→0+使得

(10)

gj(ζ)+[gj(k)(ζ)+ρja1(zj+ρjζ)gj(k-1)(ζ)+ …+

我們斷言g+a(g(k))n至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)。

D(ζ0，δ)={ζ：|ζ-ζ0|<δ}，

(11)

(12)

fj(zj+ρjζj)+a[L(fj(zj+ρjζj))]n=0，

(13)

(14)

又因?yàn)閒j+a[L(fj)]n在Dδ={ζ：|ζ-ζ0|<δ}內(nèi)至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)，從而

(15)

情形2b≠0時(shí)

對(duì)于D內(nèi)的?f∈F，則有f(z0)+a[L(f(z0))]n=b或者f(z0)+a[L(f(z0))]n≠b，故存在δ>0，使得在Dδ={ζ：|ζ-ζ0|<δ}內(nèi)，f+a[L(f)]n-b至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)，由分擔(dān)條件知，?g∈F，g+a[L(g)]n-b至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)。

假設(shè)F在z0處不正規(guī)，根據(jù)引理1可知，?fj∈F，zj→z0，ρj→0+使得

fj(zj+ρjζ)+a[L(fj(zj+ρjζ))]n-b→a(g(k))n-b。

(16)

類似于情況1的討論，a(g(k))n-b至多有一個(gè)不同的零點(diǎn)。

由于n≥2，故wn=b/a至少存在2個(gè)不同的根，不妨設(shè)g(k)≠b1，g(k)=b2至多只有一個(gè)不同的零點(diǎn)，若是g超越亞純函數(shù)，利用Nevanlinna理論，可得

(17)

因此T(r，g(k))=O(logr)+S(r，g(k))，矛盾。因此g為有理函數(shù)，因?yàn)間(k)≠b1，g的零點(diǎn)重級(jí)至少k+1。根據(jù)引理5知

(18)

其中：c和d為兩個(gè)不同的復(fù)常數(shù)且b1≠0。因此

(19)

其中：A≠0為復(fù)常數(shù)，從而g(k)(ζ)=b2存在至少k+1不同的零點(diǎn)，這與g(k)(ζ)=b2至多只有一個(gè)零點(diǎn)矛盾。

綜上所述，F(xiàn)在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。