吳春艷 宋曉書 呂兵 賀啟亮

本文研究了開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中， 含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)兩超導(dǎo)量子比特間的幾何量子關(guān)聯(lián)和量子相干性的影響. 我們發(fā)現(xiàn)， 加入磁場(chǎng)之后， 幾何量子關(guān)聯(lián)被凍結(jié)的現(xiàn)象會(huì)出現(xiàn)， 并且凍結(jié)的時(shí)間會(huì)隨著含時(shí)電磁場(chǎng)的加入而得到延長. 利用跡距離的方法， 我們探討了含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)超導(dǎo)量子比特與環(huán)境之間量子信息流動(dòng)的影響， 我們發(fā)現(xiàn)含時(shí)電磁場(chǎng)可以抑制環(huán)境的影響， 降低超導(dǎo)量子比特與環(huán)境之間的量子信息流動(dòng).

開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)； 幾何量子關(guān)聯(lián)； 量子相干性； 含時(shí)電磁場(chǎng)

O431.2 A 2024.014003

Control of the frozen geometric quantum correlation and quantum ?coherence in dissipative superconducting quantum circuit

WU Chun-Yan， SONG Xiao-Shu， L Bing， HE Qi-Liang

（School of Physics and Electronics， Guizhou Normal University， Guiyang 550001， China）

We investigate the influence of time-dependent electromagnetic field on the geometric quantum correlation and quantum coherence between two superconducting qubits in an open superconducting quantum circuit system. It is shown that the freezing of geometric quantum correlation will occur after the addition of magnetic field， and the freezing time will be extended with the addition of time-dependent electromagnetic field. In addition， the influence of time-dependent electromagnetic field on the quantum information flow between superconducting qubits and the environment is discussed by using trace distance method. It is found that the time-dependent electromagnetic fields can suppress the effect of the environment and slow down the exchange of the quantum information flows between the superconducting qubits and the environment.

Open superconducting quantum circuit system；Geometric quantum correlation；Quantum coherence；Time-dependent electromagnetic field

1 引 言

近年來， 隨著宏觀固態(tài)物理實(shí)驗(yàn)的快速發(fā)展， 基于約瑟夫遜結(jié)的超導(dǎo)電路系統(tǒng)已經(jīng)成為了理論和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn)， 引起了人們的廣泛關(guān)注 ?［1-5］ . 超導(dǎo)電路系統(tǒng)具備許多天然原子所不具備的有趣性質(zhì)， 這使其成為了量子信息和量子計(jì)算領(lǐng)域的很有前途的候選者之一. 在實(shí)驗(yàn)上， 超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)已經(jīng)展示了其具有宏觀的量子相干性和可集成性， 并且可在一定的條件下實(shí)現(xiàn)雙量子位門和量子混合系統(tǒng) ?［6-8］ . 正是由于超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)所具有的可控性和集成性， 一些研究人員提出， 具有公共數(shù)據(jù)總線的耦合超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)可以用于實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜的量子信息任務(wù) ?［9-11］ .

另一方面， 穩(wěn)定的量子資源對(duì)量子信息任務(wù)的有效執(zhí)行是至關(guān)重要的. 然而， 一個(gè)真正的量子系統(tǒng)會(huì)不可避免地與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用從而導(dǎo)致退相干. 退相干的發(fā)生也意味著開放系統(tǒng)中包含的量子關(guān)聯(lián)將因環(huán)境擾動(dòng)和量子波動(dòng)而消失. 所以， 退相干成為量子信息任務(wù)有效執(zhí)行中最大的挑戰(zhàn)之一. 近年來， 人們對(duì)于開放系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)研究越來越有興趣. 各種退相干通道中的量子關(guān)聯(lián)的變化行為的研究， 可能有助于我們實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中的量子信息任務(wù) ??［12，13］ . 此外， 許多研究者致力于尋找不同的方法來控制退相干動(dòng)力學(xué) ?［14-16］ 以及產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)量子關(guān)聯(lián) ?［17-20］ 的方案.

如上所述， 國內(nèi)外研究者在幾何量子關(guān)聯(lián)度量 ?［21-23］ 、開放系統(tǒng)中量子相干性特性研究 ?［24-27］ 以及基于超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)的量子信息任務(wù)實(shí)現(xiàn) ?［28-30］ 等方面都開展了許多研究工作， 但是對(duì)于利用含時(shí)電磁場(chǎng)在開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中延長幾何量子關(guān)聯(lián)被凍結(jié)時(shí)間， 以及增大系統(tǒng)中超導(dǎo)量子比特間的量子相干性還未見相關(guān)報(bào)道. 基于此， 本文針對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)， 研究了利用含時(shí)電磁場(chǎng)延長幾何量子關(guān)聯(lián)被凍結(jié)時(shí)間， 以及增大系統(tǒng)中超導(dǎo)量子比特間量子相干性的可能.

首先， 基于開放環(huán)境下系統(tǒng)隨時(shí)間演化的馬爾科夫主方程， 本文運(yùn)用超算符計(jì)算方法， 獲得了兩超導(dǎo)量子比特隨時(shí)間演化的約化密度矩陣， 同時(shí)根據(jù)幾何量子關(guān)聯(lián)的度量方法， 分析和對(duì)比了系統(tǒng)參數(shù)以及含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)兩超導(dǎo)量子比特間幾何量子關(guān)聯(lián)的影響. 研究表明， 系統(tǒng)中出現(xiàn)了幾何量子關(guān)聯(lián)被凍結(jié)的現(xiàn)象， 并且被凍結(jié)的時(shí)間隨著LC電路初始相干態(tài)參數(shù)的增大而減小. 而且當(dāng)加入含時(shí)電磁場(chǎng)后， 系統(tǒng)中幾何量子關(guān)聯(lián)被凍結(jié)的時(shí)間增加. 其次， 利用相對(duì)熵量子相干性， 探討了超導(dǎo)量子比特間量子相干性隨含時(shí)電磁場(chǎng)參數(shù)的變化. 研究發(fā)現(xiàn)隨著含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加， 超導(dǎo)量子比特間量子相干性衰減的速率減小， 穩(wěn)態(tài)量子相干性提高. 最后， 借助跡距離的方法， 分析和討論了含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)與環(huán)境之間量子信息流動(dòng)的影響. 結(jié)果顯示， 含時(shí)電磁場(chǎng)可以抑制超導(dǎo)量子比特與環(huán)境之間的量子信息流動(dòng)， 降低環(huán)境對(duì)超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)的影響， 從而保護(hù)超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)初始具有的量子性質(zhì).

2 ??含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)幾何量子關(guān)聯(lián)突然轉(zhuǎn)變的影響

本節(jié)分析了加入含時(shí)電磁場(chǎng)后超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中兩超導(dǎo)比特之間幾何量子關(guān)聯(lián)的變化. 幾何量子關(guān)聯(lián)是基于Schatten 1-范數(shù) ?［23］ 的量子discord的幾何度量來進(jìn)行定義的， 對(duì)于兩體系統(tǒng) ρ ?ab ?（其中 a 和 b 分別代表兩個(gè)子系統(tǒng)）， 1-范數(shù)幾何量子關(guān)聯(lián)可以用量子態(tài) ρ ?ab ?與離它的最近的經(jīng)典量子態(tài) ρ c ?ab ?之間的跡距離來進(jìn)行定義 ?［22，23］ ， 其表達(dá)式可以寫為：

D（ρ ?ab ）= ?min ???ρ c ?ab ∈ρ 0 ?‖ρ ?ab -ρ c ?ab ‖ 1 ?（1）

而其在子系統(tǒng) a 上進(jìn)行局域測(cè)量之后的經(jīng)典關(guān)聯(lián)可以表示為 ?［22，23］ ：

C= ?max ???ρ c ?ab ∈ρ 0 ?‖ρ c ?ab -π ?ab ‖ 1 ?（2）

式中， ?ρ 0 表示局部測(cè)量下量子discord為零的經(jīng)典量子態(tài); ?π ?ab ?是單體部分的量子態(tài)直積形式; ??‖M‖ 1= Tr（ M +M ） 表示Schatten1-范數(shù). 一般來說， 與量子態(tài) ρ ?ab ?對(duì)應(yīng)的經(jīng)典量子態(tài) ρ c ?ab ?形式可以表示為 ρ ?c ?ab =∑ ???j|ξ ?j> ?a<ξ ?j| ρ ?b（j） .

開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)是由兩個(gè)超導(dǎo)量子比特與一個(gè)共同的耗散數(shù)據(jù)總線進(jìn)行耦合構(gòu)成的. 這里的數(shù)據(jù)總線是由 LC 電路組成. 含時(shí)電磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)超導(dǎo)量子比特. 超導(dǎo)量子比特與 LC 電路之間的相互作用已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上被證實(shí) ?［2］ . 整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為 ?［3］ （如圖1所示， 設(shè) ?=1）：

H 0=ωa +a+∑ ?j=a，b ??ω 0 2 （σ ?z j+g 0aσ ?+ j+ ?λ 0e ??-iω ct σ ?+ j）+h.c. ?（3）

這里， 算符 σ + j=|e> j j j j j 和 |e> j 是第 j 個(gè)超導(dǎo)量子比特的基態(tài)與激發(fā)態(tài); ?ω=1/ LC ?是 LC 電路的頻率; ?ω c 是含時(shí)電磁場(chǎng)的頻率; ?ω 0 是超導(dǎo)量子比特的頻率， 其表達(dá)式為：

ω 0= 1 2 ?J 2 0 （Φ ?e - Φ 0 2 ） ?2+T 2 ?RL ???（4）

此處， ?Φ ?e是bias flux， ?J 0 是環(huán)路電流， 參數(shù) T ?RL ?指的是超導(dǎo)比特兩個(gè)勢(shì)阱之間的隧道耦合強(qiáng)度 ?［31］ . ?a ?和 a 是 LC 電路的升降算符， 被定義為 ?［3］

a = Cω φ+i ?1 Cω ?Q ， ?a= Cω φ-i ?1 Cω ?Q ?（5）

φ 是通過 LC 電路的磁通量， ?Q 是 LC 電路電容 C 的存儲(chǔ)電荷， ?L 是 LC 電路的自感. 磁通量 φ 和電荷 Q 滿足對(duì)易關(guān)系 ?Q，φ =i . ?λ 0 是含時(shí)電磁場(chǎng)與超導(dǎo)比特之間的相互作用強(qiáng)度， ?g 0 是超導(dǎo)比特與 LC 電路之間的耦合強(qiáng)度， 可以表示為

g 0=M ?ω 2L ?〈e J 0 g〉 ?（6）

M 是超導(dǎo)量子比特與 LC 電路耦合的互感.

利用文獻(xiàn)［3］中相同的方法， 在墜飾態(tài)表象下并考慮dispersive極限 ?［32］ ， 哈密頓量 H 0 可以被重新寫成

H T= Ω ?{∑ ?j=a，b ?（ |+〉 ??j〈+|aa +- |-〉 ??j〈-|a +a）+ ??（σ ～ ?+ ?aσ ～ ??- b+σ ～ ??- aσ ～ ??+ b} ?（7）

其中， ???|+〉 ?j= cos η |e〉 ?j+ sin η |g〉 ?j ， ??|-〉 ?j=- sin η |e〉 ?j+ cos η |g〉 ?j 表示第 j 個(gè)量子比特的墜飾態(tài)， ?σ ～ ?+ j=|+> j<-| ， ?σ ～ ?- j=|-> j<+| ， ???Ω ?= g 0 ?cos ??2η ?Δ 2+4λ 2 +ω c-ω ?， ??tan η= 2λ ω 0-ω c ?， ?Δ=ω 0-ω c .

考慮超導(dǎo)電路系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生相互作用， 也就是存在耗散， 其隨時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)方程可以利用主方程來進(jìn)行表示， 即

d ρ（t） ?d t =-i H ?T ，ρ（t） +γ（2aρ（t）a - ?a aρ（t）-ρ（t）a a） ?（8）

假設(shè)初始時(shí)兩超導(dǎo)量子比特被制備在Bell對(duì)角態(tài)， ?LC 電路被制備在相干態(tài)， 則整個(gè)超導(dǎo)系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以寫為

ρ（0）= 1 4 （I I+∑ 3 ?j=1 ?c ?jσ ?j σ ?j） |α><α| ??（9）

其中 ?c j ∈［0，1］ . 利用超算符方法 ?［33-35］ 并將（9）式代入， 可以求解主方程（8）， 在將 LC 電路求跡約化之后我們可以得到兩超導(dǎo)量子比特的約化密度矩陣.

ρ ??ab （t）= 1 4 （I I+∑ 3 ?j=1 ?c ～ ??j（t）σ ?j σ ?j） ?（10）

這里，

c ～ ??1，2 （t）= 1 2 （c 1+c 2）± 1 2 |c 1-c 2|·|f（t）| 2 ， ???c ～ ?3=c 3 ，

f（t）= exp ?-i Ω ?t+ i|α| 2 Ω ??γ+2i Ω ??（e ?-2（i2 Ω ?+γ）t -1） ??（11）

結(jié)合式（1）和式（3）， 我們可以獲得兩量子比特間的幾何量子關(guān)聯(lián)和經(jīng)典關(guān)聯(lián)為 ?［23］

D= median ?c ～ ?1（t），c ～ ?2（t），c ～ ?3（t） ??（12）

C= maximum ?c ～ ?1（t），c ～ ?2（t），c ～ ?3（t） ??（13）

在圖2中， 兩超導(dǎo)量子比特之間的幾何量子關(guān)聯(lián)和經(jīng)典關(guān)聯(lián)被畫為隨時(shí)間 t 演化的圖像. 從圖中我們可以看出幾何量子關(guān)聯(lián)（藍(lán)色實(shí)線）從初始時(shí)間到轉(zhuǎn)變時(shí)間 t ??1 保持不變， 但在該時(shí)刻后開始衰減. 這表明從經(jīng)典退相干到量子退相干的突然轉(zhuǎn)變現(xiàn)象將在開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中出現(xiàn)， 而幾何量子關(guān)聯(lián)將在轉(zhuǎn)變時(shí)間 t ??1 前保持不變. 從幾何量子關(guān)聯(lián)對(duì)應(yīng)的方程（12）中可以看出， 如果滿足minimum {c ～ ?1（t）}≤ c 3 ≤ maximum {c ～ ?1（t）} ， 突然轉(zhuǎn)變現(xiàn)象就會(huì)發(fā)生. 另外， 通過求解轉(zhuǎn)變時(shí)間滿足的方程

1 2 （c 1+c 2）+ 1 2 |c 1-c 2|·|f（t）| 2=c 3 ?（14）

我們可以得到轉(zhuǎn)變時(shí)間的最大值 t ??max ?=π/4 Ω ??， 從中可以發(fā)現(xiàn)最大轉(zhuǎn)變時(shí)間 t ??max ??與有效耦合常數(shù) ?Ω ??成反比關(guān)系. 另外， ?LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 對(duì)兩超導(dǎo)量子比特間幾何量子關(guān)聯(lián)的影響被展示在圖3中. 從圖中可以發(fā)現(xiàn)， 兩超導(dǎo)量子比特間幾何量子關(guān)聯(lián)保持不變的時(shí)間， 也就是被凍結(jié)的時(shí)間對(duì)于初始相干態(tài)參數(shù) α 很敏感， 它將會(huì)隨著初始相干態(tài)參數(shù) α 的增大而減小. 這說明可以通過減少初始相干態(tài)參數(shù) α 來延長幾何量子關(guān)聯(lián)保持不變的時(shí)間.

為了說明含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中幾何量子關(guān)聯(lián)凍結(jié)時(shí)間的影響， 圖4展示了在不同強(qiáng)度的含時(shí)電磁場(chǎng)下， 幾何量子關(guān)聯(lián)凍結(jié)時(shí)間變化的圖像. 從圖中不難看出， 當(dāng)加入含時(shí)電磁場(chǎng)后， 超導(dǎo)量子比特間幾何量子關(guān)聯(lián)保持常量的時(shí)間將會(huì)得到延長. 而且當(dāng)增加含時(shí)電磁場(chǎng)的強(qiáng)度， 幾何量子關(guān)聯(lián)保持常量的時(shí)間得到更有效的增加. 這些結(jié)果都說明開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中幾何量子關(guān)聯(lián)突然轉(zhuǎn)變現(xiàn)象可以通過含時(shí)電磁場(chǎng)來進(jìn)行調(diào)節(jié)， 即可以通過含時(shí)電磁場(chǎng)來延長幾何量子關(guān)聯(lián)突變的時(shí)間， 并且含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度越大， 延長的效果越好.

3 ?含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)量子相干性的影響

本節(jié)將利用量子相對(duì)熵的方法來研究含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)于開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)量子相干性的影響. 2014年， Baumgratz等人 ?［36］ 引入了一個(gè)嚴(yán)格的量化相干性框架， 并提出了易于計(jì)算的量化量子相干性方法. 他們通過固定 d 維希爾伯特空間中的特定基 ?|i〉 ?， 可以將空間中全部非相干態(tài)表示為

δ ?^ =∑ d ?i=1 ?p ?i|i〉〈i| ??（15）

并將它們標(biāo)記為集合 I . ?如果對(duì)于所有的 n 條件 K nIK ?nI 都被滿足， 那么量子運(yùn)算 ρ→∑ ?nK ?nρK ??n 則稱為非相干運(yùn)算. 根據(jù)資源理論， 一個(gè)合理的度量量子相干性的計(jì)算方法應(yīng)該滿足以下條件 ?［36］ ：

（1） 如果 ρ∈I ， ?C（ρ）=0 .

（2） 非選擇性非相干完全正定保跡（ICPTP）映射Λ下的單調(diào)性： C（ρ）≥C（ Λ ρ） ， 其中 ?Λ ρ=∑ ?nK ?nρK ??n ， ??K ?n ?是一組非相干的Kraus算符， 滿足 ∑ ?nK ?nK ??n=I ， ?K ?nIK ??nI.

（3） 選擇性測(cè)量Λ ?n 下的平均單調(diào)性： C（ρ）≥∑ ?np ?n Λ ??nρ ， 這里概率 p n= Tr ?K nρK ?n ?.

（4） 在量子態(tài)為混合態(tài)情況下的凸性， 即非遞增性： ?∑ ?np ?nC（ρ ?n）≥C（∑ ?np ?nρ ?n）.

Baumgratz等人 ?［36］ 提出的相對(duì)熵量子相干性、 l 1 范數(shù)相干性等都滿足以上條件. 這里我們采用量子相對(duì)熵的方法度量超導(dǎo)比特間的量子相干性. 相對(duì)熵量子相干性的表達(dá)式為 ?［36］

C ??RE ?=S（ρ ??diag ?）-S（ρ） ?（16）

其中， ?S（ρ）=- Trρ log ??2ρ 是密度矩陣 ρ 的馮諾依曼熵； ρ ??diag 是將 ρ 的所有非對(duì)角元素刪除之后得到的對(duì)角密度矩陣. 根據(jù)（10）式和（16）式， 我們可以獲得兩超導(dǎo)量子比特間量子相干性的表達(dá)式.

圖5展示了未加入含時(shí)電磁場(chǎng)時(shí)兩超導(dǎo)量子比特間量子相干性對(duì) LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 的敏感程度. 從圖中可以看出， 兩超導(dǎo)量子比特間的量子相干性不會(huì)被完全摧毀， 會(huì)在經(jīng)過衰減之后穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)值附近保持不變. 這說明開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中的量子相干性會(huì)被部分保留并出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)量子相干性， 并且這個(gè)穩(wěn)態(tài)數(shù)值會(huì)隨著 LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 的增大而減小. 這一現(xiàn)象發(fā)生的物理原因是隨著初始相干態(tài)參數(shù) α 的增大， 超導(dǎo)量子比特與 LC 電路， 以及 LC 電路與環(huán)境之間發(fā)生了更加頻繁的相互作用， 所以初始兩超導(dǎo)量子比特間的量子相干性更快地泄露到環(huán)境中， 從而導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)量子相干性減小.

為了展示含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中超導(dǎo)量子比特間量子相干性的影響， 圖6刻畫了在不同強(qiáng)度的含時(shí)電磁場(chǎng)下， 量子相干性隨時(shí)間 t 的變化圖像. 從圖中可以發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)加入含時(shí)電磁場(chǎng)后， 超導(dǎo)量子比特間量子相干性衰減的速率減小; 且提高含時(shí)電磁場(chǎng)的強(qiáng)度， 穩(wěn)態(tài)量子相干性的數(shù)值得到有效增加. 這些結(jié)果都說明， 開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中兩超導(dǎo)量子比特間的穩(wěn)態(tài)量子相干性可以通過含時(shí)電磁場(chǎng)來進(jìn)行調(diào)節(jié)， 即可以通過含時(shí)電磁場(chǎng)來提高穩(wěn)態(tài)量子相干性的數(shù)值， 并且含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度越大， 效果越好.

4 ?含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)量子信息流動(dòng)的影響

本節(jié)利用跡距離的方法研究含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中量子信息流動(dòng)的影響. 跡距離， 在實(shí)驗(yàn)上可由量子態(tài)層析技術(shù)獲得 ?［12］ . 當(dāng)前已有研究表明， 其可以用于探討系統(tǒng)和環(huán)境之間的初始關(guān)聯(lián)對(duì)開放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響 ?［36，37］ ， 以及測(cè)量系統(tǒng)量子過程的非馬爾可夫性 ?［38-39］ . 相關(guān)結(jié)果已經(jīng)被近期實(shí)驗(yàn)證實(shí) ?［40，41］ . 兩個(gè)量子態(tài) ρ 1 和 ρ 2 之間的跡距離被定義為 ?［38］

D ρ 1，ρ 2 = 1 2 ?Tr ?ρ 1-ρ 2 ??（17）

這里， ??A = A A ?指的是 A A 正特征值的平方根. 跡距離擁有一些非常重要的性質(zhì)， 比如 0≤ D ρ 1，ρ 2 ?≤1 ， 其中 D ρ 1，ρ 2 =0 表明 ρ 1=ρ 2 ， ??D ρ 1，ρ 2 ?=1 表明 ρ 1 與 ρ 2 正交. 另外， 對(duì)于正定的保跡量子操作 ?Λ ?， ?D ?Λ ρ 1， Λ ρ 2 ≤D ρ 1，ρ 2 ?. 而且跡距離在幺正變換下保持不變， 即 ?D Uρ 1U ，Uρ 2U ? =D ρ 1，ρ 2 ?. 以上性質(zhì)都為利用跡距離來度量系統(tǒng)與環(huán)境之間信息交換提供了有效保障. 結(jié)合（9）式、（10）式和（17）式， 我們可以得到開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)的跡距離表達(dá)式 ?D（ρ ?ab （0） ，ρ ?ab （t）） .

圖7展示了未加入含時(shí)電磁場(chǎng)時(shí)兩超導(dǎo)量子比特間跡距離 D（ρ ?ab （0），ρ ?ab （t）） 在不同 LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 下的變化情況. 從圖中可以看出， 隨著 LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 的增大， 跡距離的增加幅度和速率都變大. 這說明隨著初始相干態(tài)參數(shù) α 的增大， 超導(dǎo)量子比特與 LC 電路， 以及 LC 電路與環(huán)境之間的信息流動(dòng)變得更頻繁， 從而導(dǎo)致超導(dǎo)電路系統(tǒng)初始所擁有的額量子信息更快地泄露到環(huán)境中， 從而丟失原本所具有的量子性質(zhì).

為了說明含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中量子信息流動(dòng)的影響， 圖8展示了在不同強(qiáng)度的含時(shí)電磁場(chǎng)下， 跡距離 D（ρ ?ab （0），ρ ?ab （t）） 隨時(shí)間 t 的變化圖像. 對(duì)比圖中的實(shí)線、虛線和點(diǎn)虛線可以明顯看出， 含時(shí)電磁場(chǎng)可以減緩跡距離增加的速率和幅度， ?有效抑制超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息流動(dòng). 同時(shí)， 隨著含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng)， 跡距離增加的速率和幅度進(jìn)一步降低. 這些結(jié)果都表明， 含時(shí)電磁場(chǎng)可以有效阻礙超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息交換， 抑制它們之間的信息流動(dòng)， 從而降低超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)初始擁有的量子性質(zhì)被破壞的程度.

5 結(jié) 論

本文研究了利用含時(shí)電磁場(chǎng)延長開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中幾何量子關(guān)聯(lián)突然轉(zhuǎn)變時(shí)間的可能性. 研究結(jié)果表明， 開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中兩超導(dǎo)量子比特間的幾何量子關(guān)聯(lián)初始時(shí)保持不變， 當(dāng)超過轉(zhuǎn)變時(shí)刻 t 1 后開始衰減. 這說明開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中發(fā)生了從經(jīng)典退相干到量子退相干的突然轉(zhuǎn)變現(xiàn)象， 且轉(zhuǎn)變時(shí)間的長短隨 LC 電路初始相干態(tài)參數(shù) α 的增加而減小. 另外， 當(dāng)加入含時(shí)電磁場(chǎng)后， 系統(tǒng)中突然轉(zhuǎn)變的時(shí)間也就是幾何量子關(guān)聯(lián)保持常量的時(shí)間延長. 并且隨著含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度的提高， 幾何量子關(guān)聯(lián)保持常量的時(shí)間得到更有效的增加.

本文還研究了含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)于開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)量子相干性的影響. 從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)， 兩超導(dǎo)量子比特間的量子相干性不會(huì)被完全摧毀， 也就是說兩超導(dǎo)量子比特間形成穩(wěn)態(tài)量子相干性. 含時(shí)電磁場(chǎng)的加入， 使超導(dǎo)量子比特間量子相干性衰減的速率減小. 而且含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度越大， 穩(wěn)態(tài)量子相干性被提升的效果越好.

最后借助跡距離的方法探討了含時(shí)電磁場(chǎng)對(duì)于開放超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)與環(huán)境之間量子信息流動(dòng)的影響. 結(jié)果顯示， 在未加入含時(shí)電磁場(chǎng)時(shí)， 兩超導(dǎo)量子比特間跡距離上升的幅度和速率都隨相干態(tài)參數(shù) α 的增大而增加. 但是值得注意的是， 通過加入含時(shí)電磁場(chǎng)， 兩超導(dǎo)量子比特間跡距離上升的幅度和速率都減緩. 而且， 隨著含時(shí)電磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加， 跡距離上升的速率和幅度變得更小. 這些結(jié)果表明， 含時(shí)電磁場(chǎng)可以有效阻礙超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息交換， 抑制它們之間的信息流動(dòng)， 保護(hù)超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)初始擁有的量子性質(zhì).

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收稿日期： ?2023-05-24

基金項(xiàng)目： ??國家自然科學(xué)基金（11364006，11264008）； 貴州省科技計(jì)劃項(xiàng)目（黔科合LH字［2017］7343）； 貴州省普通高等學(xué)校低維凝聚態(tài)物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（黔教合KY字［2016］002）； 貴州師范大學(xué)博士基金

作者簡介： ??吳春艷（1997-）， 女， 貴州盤縣人， 碩士研究生， 主要研究領(lǐng)域?yàn)榱孔庸鈱W(xué)與量子信息.

通迅作者： ?賀啟亮. E-mail： heliang005@163.com