［摘? 要］ 抽象素養(yǎng)是每一個學(xué)生必備的基本核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位. 基于抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)可帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，讓學(xué)生充分體驗、感知數(shù)學(xué)抽象的多樣化方法，并通過對知識間聯(lián)系的剖析，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)體系，從真正意義上提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 抽象素養(yǎng)；抽象方法；結(jié)構(gòu)體系；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實事物進行數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，并獲得其內(nèi)部關(guān)系、一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，再用數(shù)學(xué)語言加以表征的過程. 它是對數(shù)學(xué)事物基本特征的高度概括，屬于一種有序、多級的應(yīng)用系統(tǒng). 然而，當(dāng)前仍有部分課堂存在“重技能，輕思維”的現(xiàn)象，用解題練習(xí)代替數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 這種教學(xué)理念，嚴重阻礙著學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展. 為此，筆者對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)進行了大量研究，總結(jié)如下.

經(jīng)歷抽象過程

概念本身就具有一定的抽象性特征，其形成常需經(jīng)歷兩個層次的抽象：①從事物的外部特征出發(fā)，通過數(shù)學(xué)化的方式形成概念；②從事物的內(nèi)部出發(fā)，進一步抽象已有的概念. 研究發(fā)現(xiàn)，親歷知識形成與發(fā)展的過程對知識的掌握會更加牢固，應(yīng)用起來也更得心應(yīng)手. 因此，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過程是夯實學(xué)生知識基礎(chǔ)的關(guān)鍵，也為后續(xù)的綜合應(yīng)用做鋪墊. 同時，經(jīng)歷抽象過程還能讓學(xué)生在基于深度學(xué)習(xí)視域下掌握概念的內(nèi)涵與外延，此為發(fā)展“四基”的根本.

案例1 “導(dǎo)數(shù)”的概念教學(xué).

第一步，利用豐富的情境或數(shù)學(xué)史引出導(dǎo)數(shù)的概念. 實踐發(fā)現(xiàn)，以豐富的情境引出導(dǎo)數(shù)概念，并通過數(shù)學(xué)史料的介紹滲透數(shù)學(xué)文化，可激發(fā)學(xué)生的探索欲，同時結(jié)合“運動學(xué)”可成功引出教學(xué)主題. 其中，教師最常用的“運動學(xué)”情境為“高臺跳水”活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均速度并不能解決“跳水”中的所有問題，由此凸顯“導(dǎo)數(shù)”的重要性.

第二步，例證分析. 針對高臺跳水活動，教師提出“怎樣計算瞬時速度”的問題. 要解決這個問題，需要引導(dǎo)學(xué)生從平均速度著手，探尋求解瞬時速度的具體方法與思路. 此過程主要分為兩個階段：①第一次概括，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，求某個時刻的瞬時速度就是求某時間段趨近0時的平均速度，而且平均速度的變化具有如下趨勢：當(dāng)時間段越來越小，平均速度會趨向于某個不變的常數(shù). 這個常數(shù)就是物體在某個時刻的瞬時速度. ②第二次概括，通過對第二個時刻瞬時速度的分析，獲得運動員在任何時間的瞬時速度. 在此基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)符號=對問題進行描述.

第三步，屬性驗證. 通過對“切線斜率意義”的分析，對導(dǎo)數(shù)屬性進行驗證，主要從以下幾方面著手：①教師借助幾何畫板將此過程演示出來，讓學(xué)生從直觀的圖象中發(fā)現(xiàn)“逼近”現(xiàn)象；②根據(jù)瞬時速度求解方法，分析特定拋物線處于任意點時的切線斜率具備怎樣的特征. 不同的問題，竟然呈現(xiàn)出了一致的表達形式，由此揭示不同例子存在的共同屬性. 由此可見，將不同問題的共同屬性抽象成一般化的符號進行表達，對驗證導(dǎo)數(shù)屬性具有重要價值.

第四步，概括導(dǎo)數(shù)所具備的本質(zhì)屬性. 將各種問題擺放到一起，去除所有背景，可提煉出“瞬時變化率”為以上問題的共同點，也可理解為它們共有的屬性特征. 將這個屬性應(yīng)用到一般函數(shù)中，則可自然地抽象出“導(dǎo)數(shù)”的概念，讓學(xué)生切身體會到導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)就是瞬時變化率，從而對導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵產(chǎn)生初步認識.

第五步，引導(dǎo)學(xué)生對整個研究過程進行復(fù)盤、總結(jié)、反思，可重新剖析出其中的背景意義、數(shù)學(xué)屬性及符號表征等，讓學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)前后的一致性產(chǎn)生客觀認識. 在此基礎(chǔ)上，設(shè)置一些求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的練習(xí)題，讓學(xué)生在解題過程中對其符號表征及本質(zhì)含義有進一步的理解，以從真正意義上明晰其背景、數(shù)學(xué)屬性及符號表征之間的聯(lián)系..

綜上，導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)流程，不僅突出了概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，還讓學(xué)生從多層次中學(xué)會了抽象、概括，對導(dǎo)數(shù)的概念從多角度、多維度、多方法上產(chǎn)生了深刻理解. 這是幫助學(xué)生形成“三會”能力的基礎(chǔ)，也是促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的必經(jīng)之路.

體驗抽象方法

1. 基本概念抽象

概念一般在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過自主探索與思考抽象而來. 上述導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)，教師采用了概念形成的基本方式. 函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的一大分支，知識容量較大，如函數(shù)的概念、單調(diào)性等，大部分都是應(yīng)用概念形成的基本方式進行抽象. 學(xué)生多次經(jīng)歷從實例出發(fā)進行探索研究，久而久之則形成一種研究套路，即學(xué)生將這種抽象概念的方法內(nèi)化于自己的認知結(jié)構(gòu)中，形成自己的研究方法.

2. 延續(xù)思路抽象

高中階段所涉及的很多教學(xué)內(nèi)容，都是對學(xué)生原有知識的推廣. 因為學(xué)生對這些概念本身就有一定的認識，所以在抽象新概念時，可延續(xù)原有知識生長點進行思路的拓展與延伸. 這種抽象法，一般以新例作為探索背景，通過問題驅(qū)導(dǎo)的方式，將學(xué)生的思維引到新的知識中去. 這種抽象法具有一定的主動性.

案例2 “分數(shù)指數(shù)冪”的概念教學(xué).

從學(xué)生原有知識體系出發(fā)，通過一些例子的應(yīng)用突破同底數(shù)冪除法運算法則中“被除數(shù)指數(shù)比除數(shù)指數(shù)大”的限制，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)零指數(shù)冪與負整數(shù)冪的存在. 結(jié)合這種突破方法，通過對冪的乘方運算法則的探索，讓分數(shù)指數(shù)冪在學(xué)生知識體系中自然生成. 這種突破方法的多次應(yīng)用，讓學(xué)生的思維得以強化，使學(xué)生不知不覺就掌握這一類數(shù)學(xué)抽象方法.

3. 轉(zhuǎn)化視角抽象

人的思維具有靈活性特征，在數(shù)學(xué)抽象過程中，轉(zhuǎn)換一種視角，往往會“柳暗花明”，這也是一種重要的數(shù)學(xué)抽象法.

案例3 “二項式”定理的教學(xué).

常規(guī)情況下，大眾習(xí)慣從多項式乘法的角度來歸納一些展開式所蘊含的共性特征，如在（m+n）2，（m+n）3，（m+n）4的展開式的共同點的探索中，借助遞推公式獲得（m+n）n的展開式每一項的系數(shù)情況，這個存在一定難度. 若換個思路，基于組合的視角來分析與探索問題，則能化繁為簡，讓思路變得明朗，各個展開式的系數(shù)情況能順利呈現(xiàn).

這個例子告訴我們，不論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，當(dāng)一條路行不通時，可以換一個角度、換一種思維進行分析，多嘗試幾輪，則會有意想不到的效果. 這種抽象法對于數(shù)學(xué)實驗研究具有重要的促進作用.

除了以上幾種方法外，還可以借助簡單的數(shù)學(xué)符號對一些復(fù)雜的問題進行描述，因為簡潔的數(shù)學(xué)符號能將一些冗長的信息進行壓縮、概括，這能將原本復(fù)雜的問題簡單化，讓學(xué)生能更好地掌握相應(yīng)的概念. 同時借助史料素材來進行概念教學(xué)，可以讓學(xué)生對概念的前世今生形成深刻理解，起到激趣啟思、滲透數(shù)學(xué)文化等作用，讓概念教學(xué)成為滲透核心素養(yǎng)的契機.

形成結(jié)構(gòu)體系

1. 形成知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科，知識間存在著一定的聯(lián)系與規(guī)律，人們用知識結(jié)構(gòu)來表示這種聯(lián)系與規(guī)律. 知識結(jié)構(gòu)表達了數(shù)學(xué)家族一系列特征，涵蓋了人們從邏輯的角度對知識來龍去脈的認識. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，不僅能讓學(xué)生從整體上認識數(shù)學(xué)學(xué)科，還能提高學(xué)生對知識的預(yù)見，提升學(xué)生的解題能力.

案例4 “導(dǎo)數(shù)”的概念教學(xué).

從邏輯的角度來分析，導(dǎo)數(shù)屬于函數(shù)性質(zhì)中單調(diào)性的壓縮結(jié)論，與函數(shù)單調(diào)性最大的區(qū)別在于兩者描述的內(nèi)容不一樣，函數(shù)單調(diào)性是對兩個不等式關(guān)系的分析，而導(dǎo)數(shù)則是不等式的融合，若將不等式結(jié)合在一起形成分式，則屬于函數(shù)圖象內(nèi)連點成割線斜率的過程.

在教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生分別理清“導(dǎo)數(shù)”“斜率”“單調(diào)性”的關(guān)系結(jié)構(gòu)，不僅能幫助學(xué)生為三個知識點建立聯(lián)系，還能進一步深化學(xué)生對“用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性”的認識，讓學(xué)生在獨立思考與合作探索的過程中，自主建構(gòu)完整的與導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，達到深度學(xué)習(xí)的目的，也從真正意義上促進抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

2. 建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系

建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系屬于高階的數(shù)學(xué)抽象，能讓學(xué)生從宏觀的角度深刻認識數(shù)學(xué)知識、理論體系以及研究方法.

從抽象素養(yǎng)的角度去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，存在以下三方面的內(nèi)容：①站到高位梳理知識體系；②為不同體系的內(nèi)容建構(gòu)聯(lián)系；③基于對結(jié)構(gòu)體系的梳理，形成統(tǒng)一的研究方法，提出新的命題.

案例5 “復(fù)數(shù)”的教學(xué).

史實證明，人們首次應(yīng)用復(fù)數(shù)是為了解二次方程；到16世紀，卡爾丹應(yīng)用復(fù)數(shù)解三次方程，當(dāng)時人們對復(fù)數(shù)充滿著疑惑；隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，19世紀高斯提出了a+bi（a，b為實數(shù)）的幾何意義，自此在數(shù)學(xué)體系中就有了復(fù)數(shù)的地位.

基于數(shù)學(xué)文化的滲透，教師再以問題串的方式，啟發(fā)學(xué)生思考，引領(lǐng)由淺入深地進行探究，則能讓學(xué)生對復(fù)數(shù)產(chǎn)生不一樣的感受，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系. 學(xué)生通過類比自然數(shù)、有理數(shù)以及實數(shù)的擴充過程，發(fā)現(xiàn)每一次數(shù)系擴充都源于生活實際的需要、解方程的需要或運算的需要等. 由此也能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)與生活密不可分的聯(lián)系.

為了讓學(xué)生學(xué)會基于抽象的角度去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，在復(fù)數(shù)教學(xué)時，教師帶領(lǐng)學(xué)生站到高位來觀察數(shù)系擴充的過程，讓學(xué)生對復(fù)數(shù)的概念與其代數(shù)形式的四則運算產(chǎn)生初步認識. 在課堂上，教師借助多媒體展示圖1，引導(dǎo)學(xué)生基于整體的視角來觀察本單元的教學(xué)內(nèi)容，做到心中有溝壑，為后續(xù)教學(xué)做鋪墊.

在數(shù)學(xué)史與問題串（略）的引導(dǎo)下，學(xué)生自主抽象出擴充數(shù)系的方法，并基于向量的聯(lián)系提取一般性的概念與數(shù)學(xué)思想方法. 圖1的應(yīng)用，進一步強化了學(xué)生的整體思想，讓學(xué)生學(xué)會從宏觀視域來探索教學(xué)內(nèi)容，并達成知識體系的統(tǒng)一性.

總之，數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)需要經(jīng)過長期潛移默化的滲透. 在教學(xué)中，教師應(yīng)想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)抽象過程，引發(fā)學(xué)生體驗抽象帶來的成就感，激發(fā)學(xué)生的探索欲，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與知識體系奠定基礎(chǔ)，從真正意義上促進學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

作者簡介：馮軍（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.