□顧志能

筆者近期連聽了幾節(jié)口算課，發(fā)現(xiàn)多位授課教師對(duì)口算算法和算理的認(rèn)識(shí)不清晰，導(dǎo)致教學(xué)的設(shè)計(jì)及實(shí)施出現(xiàn)明顯問題。為此，筆者結(jié)合具體課例，對(duì)口算中的算法和算理作一些詳細(xì)說明，期待能引起一線教師的思考。

一

算法，即計(jì)算的方法，也就是怎么算。

以人教版教材三年級(jí)上冊的《口算乘法》為例。例1（如圖1）中，20×3 可以怎么算？“20 后面的0 先不看，2 乘3 等于6，6 后面再添個(gè)0，等于60?！边@就是學(xué)生心目中這道題最典型的算法。當(dāng)然，20×3還有另一種算法，即用20＋20＋20 來計(jì)算，等于60。

圖1

算理，即算法背后的道理，也就是為什么可以這樣算。

以前述“0 先不看，乘后再添0”的算法為例。它背后的道理是什么？20后面的0不看，就只看到了2；這個(gè)2是2個(gè)十的2，2個(gè)十的2乘3，得到6；但這個(gè)6是6個(gè)十的6，所以還要在6后面添個(gè)0，得到結(jié)果為60。這就是該種算法的算理。

上述算理，其本質(zhì)是數(shù)的意義和乘法的本質(zhì)（計(jì)數(shù)單位不變，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)增加）。當(dāng)然，算理還涉及乘法運(yùn)算律，如“2個(gè)十”乘3變成“2×3”個(gè)十，用到了乘法交換律和結(jié)合律（這些運(yùn)算律知識(shí)尚未學(xué)過，學(xué)生依據(jù)直觀和經(jīng)驗(yàn)接受即可，下文同）。

至于20×3 的另一種算法20＋20＋20，其算理一目了然——乘法的意義，即乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。

由此可見，算法和算理是計(jì)算教學(xué)中兩個(gè)不同的概念，教師教學(xué)時(shí)需要區(qū)分清楚，不可混為一談。

二

例2（如圖2）中的算法與算理更值得一說。

圖2

12×3 的算法是怎樣的？（讀者不妨先自己想一想）

全球油氣合同模式多樣，政策調(diào)整頻繁。與國內(nèi)油氣開發(fā)活動(dòng)相比，海外油氣項(xiàng)目因受到內(nèi)外部多種因素的影響而具有特殊性。全球油氣財(cái)稅調(diào)整周期性明顯，調(diào)整周期與油價(jià)變動(dòng)趨勢基本一致（見圖7），高油價(jià)拉動(dòng)“主動(dòng)調(diào)整”，低油價(jià)推動(dòng)“被動(dòng)調(diào)整”，地區(qū)差異逐漸縮小。油氣財(cái)稅政策調(diào)整方向上，2016年非洲、北美以對(duì)作業(yè)者不利的負(fù)向調(diào)整為主，拉美、歐洲、中東以對(duì)作業(yè)者有利的正向調(diào)整為主，中亞-俄羅斯以正負(fù)平衡為主。2017年全球大部分地區(qū)呈正負(fù)平衡調(diào)整，美國減稅政策成為年度最重大的政策調(diào)整。

用加法來計(jì)算，12＋12＋12肯定可行。

用乘法來算呢？很多教師可能會(huì)覺得，教材上所呈現(xiàn)的“10×3＝30，2×3＝6，30＋6＝36”不就是算法嗎？因此常會(huì)有教師直接把這一過程寫下來（或讓學(xué)生寫下來），指出這就是這道題目的計(jì)算方法。

然而，口算的算法并不需要那么復(fù)雜。在學(xué)生看來，這道題的口算算法很簡單。先用十位上的1乘3得3，答案處先寫3；再用個(gè)位上的2乘3得6，6寫在3 的后面；3 和6“合起來”就是36。整個(gè)算法過程如圖3 所示（圖中的連線，只是學(xué)生表達(dá)算法或教師引導(dǎo)理解時(shí)的輔助記號(hào)，實(shí)際口算時(shí)不用畫出來）。

圖3

此外還要說明兩點(diǎn)：其一，口算的結(jié)果是口述的，并不一定要寫下來；其二，此題也可以從個(gè)位算起，且這是后一節(jié)課的優(yōu)化方向。

那么，這道題這么算，算理是什么呢？

一是數(shù)的意義，12就是10與2的和；二是乘法分配律，12×3 也可視為10×3 加上2×3；三是數(shù)的組成，十位上寫3，個(gè)位上寫6，就是30＋6。例題圖中小棒的圈畫或那三個(gè)算式就是在說明這些道理。

因此，小棒的圈畫和三個(gè)算式都是12×3 乘法口算的算理，它們的本質(zhì)是一樣的，只不過前者為直觀圖式，后者為數(shù)學(xué)表達(dá)。

可能會(huì)有教師心生疑惑，教材上的插圖明明寫了“我是這樣算的”，這難道不是算法嗎？筆者認(rèn)為，這是算法過程“完整的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖置枋觥保瑢W(xué)生可以如此邊口述邊寫出（想到）答案，但卻不需要形式化地寫出來，只要在頭腦中想到即可。從這個(gè)角度來說，教材上的“我是這樣算的”改成“我是這樣想的”也許更合適。

三

以上所講的算理算法，在筆者聽到的課中，很多教師都是混淆的。最常見的場景是給出小棒情境圖，引導(dǎo)學(xué)生列式12×3（此時(shí)很多學(xué)生會(huì)直接報(bào)出答案36），然后給學(xué)生布置一個(gè)探究任務(wù)（如圖4）。

圖4

學(xué)生探究后，教師組織教學(xué)反饋，學(xué)生有用連加計(jì)算進(jìn)行說明的，有用圈畫小棒圖配上三個(gè)橫式進(jìn)行說明的，教師引導(dǎo)學(xué)生理解，最后確認(rèn)方法及答案。

上述教學(xué)過程存在的問題是顯而易見的——算理算法混在了一起，有的學(xué)生是在寫算法，有的學(xué)生是在寫算理，或者兼而有之。

針對(duì)這樣的問題，教學(xué)該如何調(diào)整？筆者在《理法更分明，教學(xué)更合理》一文中已有闡述（詳見本刊2023 年第10 期），即針對(duì)這類算法較為簡單、學(xué)生普遍都會(huì)的計(jì)算課（特別是口算內(nèi)容），均可采用“先算法，后算理”的教學(xué)思路。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維主要是指運(yùn)算能力和推理意識(shí)的背景下，這一教法的意義是明顯的，它放大了算理理解的過程，凸顯了思維訓(xùn)練的目標(biāo)。

四

綜上所述，口算的算法跟筆算的算法一樣，就是一個(gè)操作程序，但這個(gè)程序相對(duì)比較簡單，往往可以用很樸素、直白的語言予以概括，如“0 先不看，乘后再添0”“先乘個(gè)位的數(shù)，再乘十位的數(shù)”等。運(yùn)用這個(gè)程序就能很直接地得出答案，而不需要再寫出“想”的過程。這也就符合了口算的本意——凡是耳聽題目口答結(jié)果或是看著題目說出結(jié)果的計(jì)算方法就叫口算，所以口算也叫“心算”或“暗算”。

口算在第一、二學(xué)段有很多教學(xué)內(nèi)容，這些內(nèi)容看似易教易學(xué)，但細(xì)細(xì)思考，這樣的內(nèi)容其實(shí)并不好教，里面有很多值得研究的元素。教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)厘清其中的算法和算理，然后設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握算法，深刻理解算理。