□羅永軍 許兆琛

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，存在一些常見且易導(dǎo)致學(xué)生出錯(cuò)的問題，這些問題常常被教師戲稱為“坑”。盡管教師和學(xué)生都對(duì)這些“坑”的存在心知肚明，但不管教師怎么提醒，學(xué)生還是會(huì)不由自主地“掉”進(jìn)去。例如，受小數(shù)加減法豎式計(jì)算的影響，學(xué)生在進(jìn)行小數(shù)乘法的豎式計(jì)算時(shí)，往往習(xí)慣性地將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。然而，小數(shù)乘法的豎式計(jì)算應(yīng)當(dāng)采取末尾對(duì)齊的方式。正是這種計(jì)算上的習(xí)慣，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)各種錯(cuò)誤（如圖1）。

圖1

學(xué)生出錯(cuò)的原因，與“同形繼承”這一既有經(jīng)驗(yàn)有關(guān)。［1］當(dāng)前的教學(xué)主要側(cè)重于通過理解乘法的意義和積的變化規(guī)律來理解算理，進(jìn)而明確算法。盡管算理的理解相對(duì)容易，但在實(shí)際操作中，由于正處于具體運(yùn)算階段，學(xué)生的思維依賴可見的具體形式，所以當(dāng)他們看到小數(shù)點(diǎn)時(shí)，就不由自主地將其對(duì)齊進(jìn)行運(yùn)算，從而導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)。此外，受“乘法是越乘越大”（積大于因數(shù)）這一經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，學(xué)生反而會(huì)認(rèn)為錯(cuò)誤的結(jié)果是正確的。因此，僅僅依靠教師的不斷提醒并不能從根本上解決問題。學(xué)生的問題就是教學(xué)研究的課題，筆者試圖重新審視問題的根源，從算理入手，探索破解之道。

一、數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，分析算理需要把數(shù)的運(yùn)算還原為數(shù)量之間關(guān)系的比較。小數(shù)加減法之所以要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊或者說相同數(shù)位對(duì)齊，是由加減法的意義決定的，即表示兩個(gè)同類量的合并與分離。例如，買了5.7元蘋果與4.12元桃子，一共要付多少元？解決這個(gè)問題就是要把兩個(gè)同類量合并成一個(gè)新的數(shù)量。合并時(shí)，要把相同單位上的數(shù)合在一起（如圖2），5元和4元相加得到9元，7角和1角相加得到8 角，再與2 分相加，得到9 元8 角2 分，即9.82元。這種相同單位上數(shù)量的加減運(yùn)算，抽象到數(shù)的加減運(yùn)算層面，就是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的加減運(yùn)算。因此，小數(shù)加減法的豎式計(jì)算要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

圖2

對(duì)于小數(shù)乘整數(shù)的運(yùn)算，乘法的意義是若干個(gè)相同加數(shù)相加。因此，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)相乘時(shí)，它們所表示的意義是不同的：一個(gè)表示“相同加數(shù)”，另一個(gè)表示相同加數(shù)的“個(gè)數(shù)（倍數(shù)）”。例如，買了2千克單價(jià)是5.7元/千克的蘋果，一共花了多少錢？5.7元/千克和2千克并非同類量，單位也不同。這里的2 需要與5 和7 分別相乘，因此，在進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，并不要求數(shù)位對(duì)齊（如圖3）。

圖3

實(shí)際上，從計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的一致性視角來看，可以把5.7元理解為57個(gè)0.1元，即57角，而2個(gè)57角就是114角。這樣，小數(shù)乘整數(shù)就可以全部轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。這就提供了另一條豎式教學(xué)路徑，即無須依賴積的變化規(guī)律，而是通過“整數(shù)化”的方法進(jìn)行計(jì)算，如5.7×2=57×2×0.1=11.4（元）（實(shí)際書寫時(shí)先寫結(jié)果114，然后再加小數(shù)點(diǎn)）。在豎式中，像這樣直接按整數(shù)乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，不加小數(shù)點(diǎn)，使得算理和算法得以統(tǒng)一，既易于理解，又便于操作。

那么，對(duì)于小數(shù)乘小數(shù)的運(yùn)算，是否也可以采用類似的思路進(jìn)行教學(xué)呢？答案是肯定的。其中，乘法的面積模型為小數(shù)乘法整數(shù)化的算理和算法提供了支持。

二、參考教材的思考

用面積模型解釋小數(shù)乘法的意義在歐美教材中已經(jīng)使用多年，如美國(guó)的California Mathematics（《加州數(shù)學(xué)》）。該教材提供了一種讓學(xué)生直觀理解小數(shù)乘法意義的方法，這種方法是用方格圖來表示小數(shù)單位及小數(shù)運(yùn)算（如圖4），被稱為模型圖（Models）。方格圖由10×10 即100 個(gè)方格組成，表示1；一行或一列10 個(gè)方格組成數(shù)條，表示0.1 或；每個(gè)方格表示0.01或?qū)W生三年級(jí)第一次認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，便開始使用這一模型圖［2］，并在后續(xù)小數(shù)學(xué)習(xí)過程中反復(fù)應(yīng)用。

圖4

在教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)時(shí)，教材通過小數(shù)模型直觀形象地呈現(xiàn)了0.8× 0.4 的計(jì)算過程［3］：首先，構(gòu)建一個(gè)10×10 的空白小數(shù)模型，每個(gè)小方格表示1 個(gè)0.01。然后，用涂色表示第一個(gè)因數(shù)0.8，即每行表示1 個(gè)0.1，涂8 行。接著，將模型中的4 列小方格涂成藍(lán)色，表示乘0.4。涂色后的重疊部分即為乘積。這種計(jì)算方式實(shí)際上是在計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，面積單位與小數(shù)單位相對(duì)應(yīng)，即0.8×0.4=8×4×0.01=0.32（如圖5）。

圖5

美國(guó)教材的編排與筆者的設(shè)想不謀而合，除了上述簡(jiǎn)單的小數(shù)乘法，對(duì)其他類型的乘法，如0.7×2.5、2.5×1.36、0.036×3500 等，也可以用如下的形式進(jìn)行計(jì)算（如圖6）。需要注意的是，在列豎式時(shí)，如果涉及小數(shù)乘整十?dāng)?shù)、整百數(shù)等的乘法運(yùn)算，應(yīng)先化簡(jiǎn)再計(jì)算。

圖6

三、學(xué)生研究

從運(yùn)算的一致性視角，把小數(shù)乘法整數(shù)化，無論是算理還是算法，都是自洽的。此種方法有助于消除學(xué)生面對(duì)小數(shù)乘法時(shí)可能產(chǎn)生的混淆和困擾。然而，實(shí)際效果究竟如何？為探究此問題，本研究設(shè)計(jì)了針對(duì)小數(shù)乘法常見類型的問卷調(diào)查（如圖7），并進(jìn)行了對(duì)照實(shí)驗(yàn)。

圖7

第1部分是小數(shù)加減法，共4題，分別涉及了小數(shù)加減法的常見類型，以了解學(xué)生對(duì)數(shù)位對(duì)齊的掌握情況。第2部分包含小數(shù)乘法常見的三種類型：第①②題是小數(shù)乘整數(shù)；第③⑤⑥題是小數(shù)乘小數(shù)，分別為一位小數(shù)乘一位小數(shù)、一位小數(shù)乘三位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是三位數(shù)乘兩位數(shù)、一位小數(shù)乘兩位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是兩位數(shù)乘三位數(shù)；第④⑦⑧題是小數(shù)乘整十?dāng)?shù)。

本研究分別于2021年和2023年對(duì)兩屆學(xué)生進(jìn)行了對(duì)照實(shí)驗(yàn)。結(jié)果顯示，兩屆學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。以2023年為例，對(duì)學(xué)校五年級(jí)240人進(jìn)行了前測(cè)。其中，有42人全對(duì)或只是在進(jìn)位上出錯(cuò)，表明他們已提前掌握了小數(shù)乘法。因此，在統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)人數(shù)時(shí)，這42名學(xué)生排除在外（僅在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)排除，實(shí)際教學(xué)時(shí)仍正常參與）。實(shí)際列入對(duì)照分析的學(xué)生人數(shù)共計(jì)198 人，其中實(shí)驗(yàn)班人數(shù)為95人，對(duì)照班人數(shù)為103人。

分析結(jié)果顯示，小數(shù)加減法的正確率較高，達(dá)到了約92%。研究還發(fā)現(xiàn)，小數(shù)加減法的正確率與小數(shù)乘法的正確率之間并無顯著相關(guān)性，即加減運(yùn)算的技能并不能直接遷移到乘法運(yùn)算中。然而，加減運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)卻對(duì)乘法運(yùn)算產(chǎn)生了普遍的負(fù)遷移。具體前測(cè)情況如表1所示。

表1 前測(cè)正確率統(tǒng)計(jì)表

從上表可以看出，對(duì)照班在每一題上的正確率幾乎都略高于實(shí)驗(yàn)班，但差異并不顯著。在前測(cè)中，學(xué)生的主要錯(cuò)誤來自小數(shù)點(diǎn)的干擾，從而造成對(duì)位混亂以及積的小數(shù)位數(shù)錯(cuò)誤。由此可見，亟須探索一種有效的方法來使學(xué)生擺脫這一困境。

四、教學(xué)實(shí)驗(yàn)

（一）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

鑒于將小數(shù)乘法整數(shù)化處理后，“小數(shù)乘整數(shù)”與“小數(shù)乘小數(shù)”的算法就達(dá)成了統(tǒng)一，因此將它們合并于同一課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)設(shè)計(jì)遵循浙教版教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法”的有關(guān)內(nèi)容，具體分為五個(gè)環(huán)節(jié)：（1）情境引入。（2）讓學(xué)生獨(dú)立思考并交流7.8×2的豎式計(jì)算方法，通過面積模型理解算理。（3）延伸，嘗試數(shù)學(xué)情境中0.55×2.6 的計(jì)算。（4）鞏固練習(xí)。根據(jù)因數(shù)判斷積的小數(shù)位數(shù)、直接由整數(shù)積得出小數(shù)乘法結(jié)果，以及列豎式計(jì)算2.5×0.08、2.5×1.36、0.036×3500 等。（5）課堂小結(jié)。在對(duì)比實(shí)驗(yàn)過程中，對(duì)照班與實(shí)驗(yàn)班的主要區(qū)別在于“列豎式”這一環(huán)節(jié)，即實(shí)驗(yàn)班在列豎式時(shí)將因數(shù)由小數(shù)改成整數(shù)，以減少小數(shù)點(diǎn)對(duì)計(jì)算的干擾。那么，這一細(xì)微改變將如何影響教學(xué)效果呢？

（二）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為便于對(duì)比分析，后測(cè)卷與前測(cè)卷的內(nèi)容保持一致，具體結(jié)果如表2所示。

表2 后測(cè)正確率統(tǒng)計(jì)表

對(duì)于小數(shù)乘法計(jì)算，經(jīng)過與前測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班每一題計(jì)算的正確率都超越了對(duì)照班。實(shí)際上，從2021年的實(shí)驗(yàn)開始，就發(fā)現(xiàn)這樣的豎式計(jì)算對(duì)學(xué)生幫助很大，效果明顯，所以這次筆者將基礎(chǔ)稍顯薄弱的班級(jí)作為實(shí)驗(yàn)班。從后測(cè)數(shù)據(jù)來看，實(shí)驗(yàn)班的正確率還是全面超越對(duì)照班，并未對(duì)原有的小數(shù)加減法計(jì)算能力產(chǎn)生負(fù)面影響。更值得關(guān)注的是小數(shù)乘法中最容易出錯(cuò)的兩種情況，經(jīng)過測(cè)試驗(yàn)證，新方法在以下兩個(gè)方面表現(xiàn)出的差異顯著：（1）當(dāng)兩個(gè)因數(shù)相乘的結(jié)果的末尾為0時(shí)，如1.76×5（P=0.000），新方法顯著提高了正確率；（2）當(dāng)小數(shù)乘整十?dāng)?shù)，且因數(shù)本身含有0，乘積末尾也有0時(shí)，如2.75×140（P=0.004）、280×1.35（P=0.002），新方法同樣展現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)。

五、分析與討論

從后測(cè)結(jié)果來看，實(shí)驗(yàn)班在計(jì)算正確率上顯著超越了對(duì)照班。這一令人欣喜的進(jìn)步在小數(shù)乘法的教學(xué)中具有特殊意義。這是因?yàn)樾?shù)乘法的豎式計(jì)算歷來都被視為教學(xué)中的難點(diǎn)，盡管教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生也經(jīng)過了反復(fù)的練習(xí)，但仍無法完全掌握，經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)犯錯(cuò)的情況。

現(xiàn)在，筆者只是在本實(shí)驗(yàn)教學(xué)中作了一點(diǎn)小小的改進(jìn)，就觀察到了顯著的效果。這種改進(jìn)基于運(yùn)算的一致性原理，將小數(shù)乘法整數(shù)化后轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算。這種方式用橫式對(duì)應(yīng)算理、豎式對(duì)應(yīng)算法，使得學(xué)生在處理豎式計(jì)算時(shí)，能夠?qū)⑵湟暈榕c整數(shù)乘法完全相同的計(jì)算方法。這一轉(zhuǎn)變消除了數(shù)位對(duì)齊和末尾對(duì)齊兩者之間差異對(duì)學(xué)生的干擾，從而顯著提高了學(xué)生的計(jì)算正確率。進(jìn)一步分析表明，在傳統(tǒng)的算法中，豎式計(jì)算中因數(shù)帶小數(shù)點(diǎn)對(duì)成人來說可能影響不大，但對(duì)于學(xué)生來說卻是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。這主要是因?yàn)閷W(xué)生的大腦皮層尚未發(fā)育完全，神經(jīng)元連接的穩(wěn)定性相對(duì)較弱，導(dǎo)致他們?cè)谔幚眍愃茊栴}時(shí)更依賴于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，當(dāng)對(duì)新的教學(xué)內(nèi)容作微小的改動(dòng)，以融入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，他們會(huì)更容易掌握。

類似地，對(duì)于小數(shù)除法的易錯(cuò)點(diǎn)——除數(shù)是小數(shù)的除法問題，也可以從運(yùn)算一致性的視角出發(fā)，將除數(shù)整數(shù)化來解決。例如：35.7÷0.17=3570÷17=210、3.57÷0.17=357÷17=21、0.357÷0.17=35.7÷17=2.1。這種方法實(shí)際上在多年前就已被提出，并在一些學(xué)校中得到了應(yīng)用。在浙教版教材五年級(jí)上冊(cè)中，小數(shù)除法的豎式計(jì)算就同時(shí)呈現(xiàn)了“畫去小數(shù)點(diǎn)”和“整數(shù)化”兩種方法，而學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中更傾向于使用后者，認(rèn)為這種方式更加清晰明了。

盡管小數(shù)除法豎式計(jì)算的整數(shù)化方法已經(jīng)進(jìn)入教材多年，并幫助無數(shù)學(xué)生提高了計(jì)算正確率，但小數(shù)乘法的豎式計(jì)算是否也可以作為算理算法相融的一種樣例進(jìn)入教材呢？提供多種選擇對(duì)學(xué)生來說無疑是有益的，而且從運(yùn)算一致性的視角來看，這種方法有助于學(xué)生從整體理解和掌握四則運(yùn)算的算理。希望本文能引起更多教師的關(guān)注，并開始深度嘗試這種教學(xué)方法，從而為學(xué)生帶來更好的學(xué)習(xí)效果。