摘 要：從不同的角度對2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行探究，并給出五種解法，每種解法后面的評析都剖析了解題思路.

關(guān)鍵詞：2023年高考；全國甲卷；導(dǎo)數(shù)；三角函數(shù)

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0049-04

2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)第21題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，難度很大.很多考生反映在做這道題時(shí)，沒有解題思路或者運(yùn)算量太大做不了.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐給出五種不同的解法，并剖析每種解法的解題思路.

1 真題再現(xiàn)

（1）當(dāng)a=8時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）＜sin2x，求a的取值范圍.

2 解法探究

2.1 第（1）問解析

則f ′（x）=a-3t2+2t=g（t）.

當(dāng)a=8時(shí)，g（t）=2-t3t+4，

2.2 第（2）問解析

解法1 設(shè)g（x）=f（x）-sin2x，

g′（x）=f ′（x）-2cos2x

所以h（t）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減.

所以h（t）

②若a∈（3，+∞），則h（1）=a-3>0，

當(dāng)t∈1，t0時(shí)，h（t）>0，即當(dāng)x∈0，x0時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增.

故當(dāng)x∈0，x0時(shí)，g（x）>g（0）=0，不合題意.

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，3］.

評析 解法1中對g′（x）進(jìn)行換元，使超越函數(shù)變成了有理函數(shù)，函數(shù)式變得非常簡潔，極大地簡化了運(yùn)算.而對g′（x）換元后所得的h（t）再次求導(dǎo)，弄清了h（t）的單調(diào)性，解題方向也變得明朗化.后面在a∈（3，+∞）的情況中，由于h（1）=a-3>0，也就是g′（0）>0，應(yīng)該想到g（0）=0，則g（x）在0的右鄰域內(nèi)是不能遞增的，所以此時(shí)應(yīng)該不合題意.但怎么說清楚這一點(diǎn)要注意方法，這里用放縮法得到了h（t）<0，再由零點(diǎn)存在定理確定h（t）存在零點(diǎn)，避免了用高等數(shù)學(xué)知識，很符合高中學(xué)生的情況.

綜上所述，a的取值范圍是-∞，3.

中隱藏的各種有用信息是找到好的解法的關(guān)鍵.

當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)等號成立.

即g（x）＜0的必要條件是a≤3.

下面證明a≤3是g（x）＜0的充分條件.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，3］.

故g（x）>g（0）=0.

于是a≤3.

即a的取值范圍是（-∞，3］.

h′（x）=4sinx（sinx-xcosx）.

k′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx＞0，

故k（x）＞k（0）=0.于是h′（x）＞0.

故h（x）＞h（0）=0.于是g′（x）＞0.

于是a≤3，即a的取值范圍是（-∞，3］.

3 結(jié)束語

本題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，作為壓軸題，難度很大，彰顯了綜合性要求.高考數(shù)學(xué)試題的綜合性，一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部各個(gè)主題的相互綜合，另一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科的綜合.本題將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來，通過對導(dǎo)函數(shù)的分析，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)問題，通過導(dǎo)數(shù)、函數(shù)不等式等知識，深入考查分類討論的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

參考文獻(xiàn)：

［1］張君，李武學(xué).2022年全國甲卷導(dǎo)數(shù)題的多解、變式與溯源[J].數(shù)理化解題研究，2022（22）：75-78.