沈光銀　張粵?！√K凡　王佳圓

【摘要】 數(shù)學教具可以表征數(shù)學基本知識、基本技能和基本思想。盲校小學數(shù)學分數(shù)教具的設計可以依據(jù)具身設計的原理，將傳統(tǒng)視覺通道的教具轉(zhuǎn)化成可借助觸覺和運動覺等感覺通道使用的教具，幫助盲生理解并建構分數(shù)的多重意義、分數(shù)的縱向結構以及分數(shù)運算原理，從而培養(yǎng)其分數(shù)學習的基本能力。

【關鍵詞】 盲校；小學數(shù)學；分數(shù)教具；具身設計

【中圖分類號】 G761

【作者簡介】 沈光銀，教授，華南師范大學教育科學學院（廣州，510631）；張粵睿，碩士研究生，埃塞克斯大學（科爾切斯特，CO43SQ）；蘇凡、王佳圓，碩士研究生，華南師范大學教育科學學院（廣州，510631）。

《盲校義務教育數(shù)學課程標準（2016年版）》（以下簡稱課程標準）明確要求，盲生在分數(shù)學習過程中應結合具體情境初步認識分數(shù)，理解分數(shù)的意義，能讀、寫分數(shù)，比較分數(shù)大小，能分別進行簡單的分數(shù)加、減、乘、除運算及混合運算［1］。受限于視覺障礙，盲生在分數(shù)學習中普遍存在分數(shù)意義理解因缺乏表象支持而不深刻、分數(shù)讀寫因結構異化而不順暢、分數(shù)運算因計算原理模糊而不透徹等問題。要解決這些分數(shù)學習中的問題，就需要教師通過教具幫助盲生理解并建構分數(shù)的多重意義、分數(shù)的縱向結構以及分數(shù)運算原理等基本內(nèi)容，培養(yǎng)其分數(shù)學習的基本能力。

《“十四五”特殊教育發(fā)展提升行動計劃》強調(diào)，要進一步優(yōu)化完善殘疾學生特殊學習用品［2］。課程標準也指出，教師應努力收集、開發(fā)制作簡便實用的教具和學具，以培養(yǎng)盲生的實踐能力［3］。如何設計適合盲生使用的分數(shù)教具？具身認知理論認為，個體可以通過具身動作開展邏輯分析、問題解決、意義建構和推理論證等認知活動［4］。基于此，亞伯拉罕森和林德格倫于2014年在《劍橋?qū)W習科學手冊（第二版）》中提出了具身設計的基本原理［5］。盲校小學數(shù)學分數(shù)教具的設計可以依據(jù)具身設計的原理，將傳統(tǒng)視覺通道的教具轉(zhuǎn)化成可借助觸覺和運動覺等感覺通道使用的教具。本文結合盲生分數(shù)學習中的問題，探析分數(shù)教具的設計及其在解決相應問題中的應用。

一、豐富分數(shù)意義的多元表征，增強分數(shù)概念基本認知

分數(shù)具有多重意義，理解分數(shù)意義是分數(shù)學習的重要基礎。分數(shù)主要包含部分—整體關系、子集—集合關系、等分除的商、小數(shù)、數(shù)軸上的點和比值等多種意義，且意義表征的形式各不相同。盲生受視覺障礙的限制，在生活中經(jīng)歷的與分數(shù)有關的活動非常有限，且對分數(shù)意義的理解缺乏視覺表象的支持。因此，盲生要形成分數(shù)的概念，就需要借助具身性的教具強化其對分數(shù)意義的理解與建構。

（一）非符號性和符號性教具兼制，增強分數(shù)意義表征的邏輯性與確定性

盲生分數(shù)學習的首要問題是缺乏有效的關于分數(shù)意義的表象。盡管盲生經(jīng)歷過類似切蛋糕、分蘋果等生活情境，但實際上并未真正通過觸覺感知過這些事物由整體等分為部分的形象化過程。在盲校分數(shù)教學中，盲生不單要知道如何用符號表征分數(shù)概念的基本形式，更重要的是借助非符號性教具理解分數(shù)概念的真正意義。

盲校分數(shù)教學應首先通過非符號性教具，豐富盲生的分數(shù)意義表象。非符號性教具是借助多種圖形表征分數(shù)基本概念的教學用具，它可以半具體化地把分數(shù)概念表征在教具的結構中，從而幫助盲生通過觸覺和運動覺感知并理解分數(shù)的意義，增強分數(shù)意義表征的邏輯性。例如，在分數(shù)意義的教學中，為了讓盲生理解“分數(shù)是等分除的商”這一分數(shù)概念，教師設計了“分數(shù)意義學習器”（見圖1）以解析分數(shù)是對整體的等分［6］。盲生通過觸摸教具下方區(qū)域的分數(shù)拼盤，形象地理解“3÷4”就是把3個圓形拼盤的每一個都平均分成4份，其中一份就是3個1/4，進而通過操作活動在教具上方的演算區(qū)建構3÷4=3/4的基本原理。

同時，為了幫助盲生掌握分數(shù)的基本結構，教師還需要重視符號性分數(shù)教具的設計，以增強分數(shù)意義表征的確定性。如分數(shù)二分之一，可以借助盲文刻印機或3D打印機等制成不同半徑的盲文點位 （其書寫形式類似于1/2），一方面幫助盲生認識二分之一的盲文書寫形式，另一方面使具有不同觸覺敏感度的盲生都能辨認并學會分數(shù)的盲文形式。由于盲文分數(shù)的橫向結構異于明眼文分數(shù)的縱向結構，盲生在初步認識分數(shù)時常常出現(xiàn)的錯誤是按照盲文書寫的橫向順序?qū)⑵渥x成“一分之二”；在進行分數(shù)運算時往往不易按照明眼文分數(shù)的縱向結構理解分數(shù)運算的基本方法，尤其是在分數(shù)的通分與約分、乘法與除法的計算中難以借助分子分母的上下位置進行計算和化簡。針對盲文分數(shù)書寫形式所導致的閱讀和計算問題，教師可以用手語和明眼文分數(shù)的3D教具等指導盲生表征分數(shù)。一方面，幫助盲生建構明眼文分數(shù)的縱向結構，理解分數(shù)的基本概念；另一方面，便于盲生還原分子分母的縱向結構，為理解分數(shù)運算的基本原理與方法奠定基礎［7］。

（二）橫向性和縱向性教具兼制，增強分數(shù)意義表征的深刻性與靈活性

橫向性教具是將某一概念或規(guī)則用不同的形式加以表現(xiàn)的教具。鑒于分數(shù)意義的多重性特征，難以用同一種形式的教具完整表征分數(shù)意義。在盲校分數(shù)教學中，教師可以借助點、線、面、體等不同形式的凸圖設計非符號性教具（見圖2），同時將分數(shù)概念與數(shù)量、長度、面積、體積等結合起來，以增強盲生分數(shù)意義理解的深刻性。例如，3/4用點來表示，可以說明子集—集合關系的意義；用線段來表示，可以說明分數(shù)單位的概念；用圖形來表示，可以說明部分—整體關系的意義。

縱向性教具是將某一概念或規(guī)則用同一形式的不同類型加以表現(xiàn)的教具。任何一種分數(shù)意義，既可以通過不同的形式進行橫向的表征，也可以通過同一形式的不同類型加以表征，從而豐富盲生表征分數(shù)意義的具體表象，增強分數(shù)意義理解的靈活性。例如，為了讓盲生理解并建構1/2的意義，教師可以分別用面積二等分的正方形、長方形、圓形及三角形等圖形的不同類型凸圖加以演示（見圖3），從而增強盲生表征分數(shù)意義的靈活性。

二、解構分數(shù)運算的基本原理，掌握分數(shù)運算基本方法

任何一種運算都應該從算理和算法兩個角度進行解析。若盲校小學數(shù)學分數(shù)運算的教學囿于算法，在形象化過程中缺少表象操作的支持，則會導致在實際教學中偏重運算方法的傳授，而忽視甚至省略運算原理的解析。具身設計的分數(shù)教具，不僅可以幫助盲生真實感受運算的基本邏輯，而且可以形象地呈現(xiàn)運算的邏輯順序，有效解決算理與算法脫節(jié)問題。

（一）設計表征原理的教具，建構分數(shù)計算原理

算理即計算原理，是借助數(shù)學概念、定律和性質(zhì)等，以語義分析的形式說明算式“為什么這樣算”的客觀規(guī)律。例如，類似“2/8+1/8”這種同分母分數(shù)的加法，其計算原理以分數(shù)概念為起點，即它們的分數(shù)單位都是1/8，表示的是2個1/8加1個1/8，合起來是3個1/8，所以2/8+1/8=3/8。分數(shù)教學實驗研究發(fā)現(xiàn)，教師提供中間層次的操作性工具，有利于學生發(fā)展分數(shù)概念，并為構建運算規(guī)律的表象奠定基礎［8］。由于視覺通道受阻，盲生在生活中較少產(chǎn)生有關分數(shù)概念的常識性感知，且這種具體性的感知與數(shù)學運算之間難以有效聯(lián)結。

為了幫助盲生理解分數(shù)運算原理，教師可以設計表象操作性教具，以幫助盲生建構具體生活經(jīng)驗與數(shù)學運算之間的聯(lián)系。這種表象操作性教具是一種半具體化的分數(shù)教學用具，它所體現(xiàn)的不再是基于分蛋糕、切蘋果這種具體性的分數(shù)概念上的計算，而是將日常生活中的分數(shù)及其運算抽象成半具體化的、有關分數(shù)單位的表象，并基于這種表象建構運算原理。例如，在教學“2/8+1/8”的計算原理時，教師使用“分數(shù)計算原理演示器”（見圖4），一方面幫助盲生建構“1/8”的分數(shù)概念（即把單位1平均分成8份，其中的一份就叫做1/8），另一方面幫助盲生建立分數(shù)概念與同分母分數(shù)加法運算之間的關系。教師可以引導盲生點數(shù)分數(shù)計算原理演示器的拼板來理解分數(shù)的單位，并通過重疊不同分數(shù)單位的拼板來比較分數(shù)的大小，進而通過觸覺和運動覺來理解“2/8+1/8”就是2塊拼板加1塊拼板（即2個1/8加1個1/8），在教具的使用中理解并掌握分數(shù)運算的基本原理。

（二）設計表征邏輯順序的教具，解析分數(shù)計算方法

算法即計算方法，是依據(jù)計算原理，以句法規(guī)則的形式規(guī)定一類算式“怎么計算”的基本程序或邏輯順序。例如，同分母分數(shù)加減法運算方法是“分母不變，分子相加減”。由于盲文書寫結構的異化，盲生難以借助橫向的盲文書寫順序輔助分數(shù)運算。同時，由于盲文書寫需要將盲文紙夾在盲文寫字板的面板和底板之間，書寫后的盲文無法即寫即摸，同樣失去了像明眼文一樣輔助分數(shù)運算的功能。因此，盲生分數(shù)運算的學習只能依賴腦海中的邏輯推理及對運算過程的記憶，這樣容易造成運算邏輯不明晰、運算過程模糊等問題。

在分數(shù)運算方法教學中，教師可以運用具身設計的原理，從盲生的觸覺和運動覺等優(yōu)勢通道出發(fā)，將分數(shù)運算的教具設計成表征計算邏輯順序的操作性教具，從而幫助盲生將實際的操作活動直接建構成分數(shù)運算的方法與過程。例如，在教學分數(shù)乘法分配律時，教師設計“分數(shù)乘法分配律運算器”（見圖5），將分數(shù)乘法分配律的基本運算程序表征在實際的操作活動中，一方面有助于盲生通過操作活動理解分數(shù)乘法分配律的基本原理，另一方面有助于盲生直接利用該教具進行相關的運算。

三、整合分數(shù)運算原理與方法，提升分數(shù)運算基本能力

算理為計算提供了正確的思維方式，保證的是計算過程的科學性與合理性；算法為計算提供了具體的操作程序，保證的是計算過程的正確性與快捷性。算理是算法的邏輯依據(jù)，而算法則是算理的計算形式，兩者相輔相成，密不可分。因此，數(shù)學運算教學應算理和算法并重，幫助盲生避免運算原理與方法脫節(jié)，陷入只知道怎么計算，而不知道為什么這樣計算的困境。

（一）設計整合運算原理與方法的教具，發(fā)展分數(shù)運算思維

在盲校小學分數(shù)計算教學中，教師可以設計運算原理與方法相整合的教具，利用表征運算原理的部分幫助盲生理解計算的思維方式，利用表征運算方法的部分幫助盲生理解計算的邏輯過程。例如，在教學類似“2/8+1/8”的同分母分數(shù)的加法時，教師設計“同分母分數(shù)加法的整合性教具”（見圖6），利用教具上半部分的分數(shù)拼板幫助盲生理解同分母分數(shù)加法的原理，認清其本質(zhì)是分數(shù)單位相同的分數(shù)相加，即數(shù)分數(shù)單位的份數(shù)。接著，盲生根據(jù)理解的運算原理，利用教具下半部分的演算區(qū)域表征同分母分數(shù)加法的運算邏輯，即分數(shù)單位同是1/8的兩個分數(shù)相加，分母8不變，分子1+2=3，所以2/8+1/8=3/8。

（二）設計整合運算內(nèi)容與過程的教具，提升分數(shù)運算能力

盲校小學數(shù)學分數(shù)運算部分要求盲生掌握分數(shù)加法與減法、通分與約分、乘法與除法等學習內(nèi)容及其運算過程。由于分數(shù)運算的常規(guī)教學是單純的邏輯推理和演算，盲生不僅會因為認知資源的大量消耗而感到疲勞，更重要的是光憑記憶推演容易導致運算錯誤。為了更好地幫助盲生學習分數(shù)的各種運算，教師需要運用具身設計的原理開發(fā)各種相關的運算工具，如同分母分數(shù)加法演算器、同分母分數(shù)減法演算器、異分母分數(shù)加法演算器、異分母分數(shù)減法演算器等。這顯然會給教師的教學工作帶來很重的負擔，且不利于盲生建構分數(shù)各運算內(nèi)容之間的聯(lián)系。

在分數(shù)運算教具的設計中，教師可以將某些運算教具整合在一起，以幫助盲生建構相應的運算體系。例如，教師設計“分數(shù)演算器”（見圖7），利用傳統(tǒng)算盤的原理將分子用算珠表征在上半部分，將分母表征在下半部分，一方面還原了分數(shù)的縱向結構，另一方面便于推演各種分數(shù)的運算過程。在進行分數(shù)加減法演算時，盲生在第一、第二列撥出算式中的兩個分數(shù)，在第三列撥出相應的結果；在進行分數(shù)通分和約分時，在分數(shù)演算器任意一列的上下凹槽中分別撥出相應的分子分母，再根據(jù)通分和約分的規(guī)則，在該列進行演算。

分數(shù)概念與盲生日常生活的弱關聯(lián)性、盲文分數(shù)結構的異化性、盲文書寫對分數(shù)運算的非輔助性等問題導致了盲校小學數(shù)學分數(shù)教學中的各種困難。究其本質(zhì)，盲生與分數(shù)基本知識和基本技能等相關的抽象邏輯思維的發(fā)展缺少了日常生活經(jīng)驗及視覺表象的支撐。盲校小學數(shù)學分數(shù)教具的具身設計有利于將視覺性的數(shù)學教具轉(zhuǎn)化成盲生可通過觸覺和運動覺通道使用的教具，從而為分數(shù)認識與分數(shù)運算的學習提供保障。

【參考文獻】

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（責任編輯：黃春露）

【基金項目】 本文為國家社會科學基金“十四五”規(guī)劃2023年度教育學一般課題“盲生與明眼生數(shù)感特征的對比及干預研究”（BBA230110）的階段性研究成果。