景朝英

一、教材分析

對于本課內(nèi)容，新課標提出要引導(dǎo)學生經(jīng)歷具體情境，并從中抽象出橢圓產(chǎn)生過程，概括并理解橢圓定義，并掌握標準方程。橢圓的定義與標準方程的研究方法和之后需要學習的雙曲線、拋物線并沒有什么區(qū)別，而且教材對橢圓研究也非常重視，所以本部分知識起著承上啟下的作用。此外，本節(jié)內(nèi)容還涉及數(shù)形結(jié)合意識、轉(zhuǎn)化思想等，因此教師在對這部分內(nèi)容進行教學時需要將這些數(shù)學思想融入其中。

二、教學目標

1.理解橢圓概念，掌握橢圓標準方程，能夠運用坐標法解決幾何問題。

2.用坐標法推導(dǎo)橢圓標準方程，鍛煉發(fā)現(xiàn)、概括、認知規(guī)律以及解決實際問題的能力。

3.感受橢圓具有的對稱美和簡潔美，并增強數(shù)形結(jié)合思想。

4.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學運算等數(shù)學學科素養(yǎng)。

三、教學重點

橢圓定義和橢圓兩種形式標準方程的理解、掌握，能夠運用坐標法解決幾何問題。

四、教學難點

引導(dǎo)學生經(jīng)歷橢圓標準方程推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學運算等數(shù)學學科素養(yǎng)。

五、學情分析

高二學生在之前的學習中已經(jīng)接觸過一些圓錐曲線概念，如圓、橢圓等，但他們的抽象思維能力和數(shù)形結(jié)合意識還不太強，而橢圓的定義與標準方程這部分內(nèi)容涉及的概念較為抽象，需要學生具備較強的抽象思維能力，而且本章學習重點是數(shù)形結(jié)合，需要學生建立代數(shù)方程與橢圓之間的聯(lián)系，所以在本節(jié)教學中教師一定要注意這一點。

根據(jù)教材內(nèi)容、學生實際情況以及課本要求，本課教學可采用如下策略：

1.用問題探索活動引起學生學習興趣，促使學生主動思考。

2.借助實驗探究活動讓學生親身感受橢圓畫圖過程，幫助學生更好地理解橢圓定義。

3.引導(dǎo)學生動手、動腦推導(dǎo)橢圓標準方程，幫助學生更深刻地理解概念，掌握其標準方程。

4.引導(dǎo)學生回憶圓方程求解步驟，通過知識遷移建立橢圓直角坐標系，通過列式運算推導(dǎo)出橢圓標準方程。

5.對典型求解橢圓標準方程例題進行變式，引導(dǎo)學生采用不同的求解方法和思路，幫助學生掌握這類習題本質(zhì)。

六、教學過程

第一課時

（一）復(fù)習舊知

教師：什么是圓？圓的定義是什么？

大屏幕展示圓圖片。

學生思考并回答：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓。

教師：大家回答得非常棒，那么大屏幕上圓的標準方程是什么呢？

學生齊聲回答：（x-a）2+（y-b）2=r2

教師：大家的回答非常正確。

（二）構(gòu)建情境，引入橢圓內(nèi)容

多媒體播放嫦娥探月軌道圖，教師提問：軌道圖是什么圖形？

學生齊聲回答：橢圓形。

引入橢圓形狀。

大屏幕展示鳥巢圖片。

教師：認真觀察一下大屏幕上的鳥巢，誰來說說它是什么形狀的？

學生回答：橢圓形。

引導(dǎo)學生直觀感受橢圓具有的美感，知道橢圓具有對稱美和簡潔美。

教師：生活中還有哪些物體是橢圓形？

學生思考并回答：排球、雞蛋……老師，我們今天是不是學習橢圓？

教師：大家猜得非常正確，我們剛才尋找了生活中的橢圓，本課我們重點學習橢圓定義以及如何用數(shù)學公式表達橢圓。

（三）合作探究，理解概念

教師：平面內(nèi)有一個固定的點，到這個定點的距離始終是一個定值的軌跡可以形成什么圖形呢？

實驗探究1：選擇一條定長細繩，將其一端固定在圖板某點處，套上鉛筆，拉緊繩子，用鉛筆畫圖能夠畫出什么曲線？

學生動手操作。

教師對學生的操作進行指導(dǎo)，并對結(jié)果進行歸納總結(jié)。

教師：如果一個平面內(nèi)有兩個確定的點，這兩點之間存在一定距離，到這兩個定點距離的和始終是一個定值的軌跡可以形成什么圖形呢？

實驗探究2：選擇一條定長細繩，將其兩端固定在圖板上存在一定距離的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，用鉛筆畫圖能夠畫出什么曲線？

學生動手畫圖。

教師對學生的操作進行指導(dǎo)并提問學生：若兩點之間的距離發(fā)生改變，畫出的軌跡是否相同？形成的曲線是否相同？

學生動手操作并回答：如果兩點間距離發(fā)生改變，畫出的軌跡也會不同，形成的曲線也不相同。

教師總結(jié)：如果細繩長度超過兩點間距離，畫出的軌跡是橢圓;如果細繩長度和兩點間距離相等，畫出的軌跡是以兩點為端點的線段;如果細繩長度小于兩點間距離，則畫不出軌跡。

教師：在剛才畫橢圓的過程中，有哪些量沒有發(fā)生變化？

選擇學生回答：橢圓到兩個固定點的距離和沒有發(fā)生變化。老師，我知道橢圓應(yīng)該如何定義了。

教師：好的，那誰可以根據(jù)圓的定義和剛才的實驗過程，概括一下什么是橢圓呢？

指定學生闡述橢圓概念：老師，我明白了，如果平面內(nèi)一個動點到兩個定點的距離之和等于固定的數(shù)，那么這個動點的軌跡就是橢圓。

教師總結(jié)：平面上到兩個定點F1和F2的距離之和等于定值的點的軌跡就是橢圓。F1和F2是橢圓的焦點，這兩點之間的距離是橢圓的焦距。

多媒體播放橢圓畫法視頻，要求學生課后嘗試手動畫橢圓。

第二課時

（一）回顧圓標準方程推導(dǎo)過程

教師：上節(jié)課我們已經(jīng)得出了橢圓概念，但是橢圓如何用數(shù)學公式進行表示呢？下面我們就來研究一下橢圓標準方程。

教師：大家想一想圓的標準方程是怎樣得到的？

學生思考并回答：建立坐標系，然后尋找限制條件列出方程，并進行簡化后得到的。老師，我們是否可以用這種方法推導(dǎo)橢圓標準方程呢？

教師總結(jié)：這個問題提得非常好。至于是否可以根據(jù)圓標準方程推導(dǎo)過程進行橢圓標準方程的推導(dǎo)就需要我們大家一起嘗試了。

（二）推導(dǎo)橢圓標準方程

建立直角坐標系：將橢圓兩個焦點F1、F2相連作為x軸，尋找F1、F2中垂線作為y軸，建立平面直角坐標系，x軸、y軸交點為中心點O，橢圓和y軸交點為M。

大屏幕展示平面直角坐標系。

設(shè)未知數(shù)：將橢圓焦距設(shè)為2c，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和設(shè)為2a（a>c），橢圓上任一點P坐標設(shè)為（x，y），F(xiàn)1和F2的坐標分別為（-c，0）和（c，0）。

設(shè)置限制條件列方程：根據(jù)橢圓概念可以得出：|PF1|+|PF2|=2a（a>c）

替代限制條件：得出方程：+=2a，化簡得出橢圓標準方程為：+=1

教師：這個方程還需進行變形，不夠簡潔。大家再認真觀察一下大屏幕上的直角坐標系，找出長度為c、a的線段，想一想a2-c2有什么特殊性？

學生討論并回答：F1F2=2c，O是中點，所以O(shè)F1=OF2=c，根據(jù)橢圓概念，如果點P位于y軸上，則PF1=PF2，都等于a，在直角三角形POF2中，運用勾股定理可得PO2=a2-c2。

教師：回答得非常好。那么如果令b2=a2-c2，上述方程可以簡化為什么呢？

指定學生回答：+=1，老師，這個方程有什么限制條件嗎？

教師：這名同學提出的問題非常重要，+=1就是橢圓的標準方程，但這個方程必須是在a>b>0的前提下。

學生提出疑問：我們剛才推導(dǎo)出來的橢圓標準方程是焦點在x軸上，如果焦點在y軸上，標準方程還是這個嗎？如果改變，會變成什么呢？

教師：這個問題大家不妨嘗試按照剛才的步驟親自進行推導(dǎo)。

學生嘗試進行推導(dǎo)，最終得出焦點在y軸的橢圓標準方程為：+=1（a>b>0）。

教師：大家做得非常棒。其實除了這種推導(dǎo)方法外，教材中還提到了對稱法推導(dǎo)，大家觀看一下對稱法推導(dǎo)微視頻，想想這種推導(dǎo)的核心思路。

播放對稱法推導(dǎo)橢圓標準方程的過程。

教師：通過推導(dǎo)我們已經(jīng)知道了焦點在x軸和y軸的橢圓標準方程，那么這兩個標準方程又有什么相同點和不同點呢？大家討論一下并完成下列表格。

（三）課堂練習

教師：我們已經(jīng)用數(shù)學語言表述了橢圓，下面我們要嘗試用數(shù)學思維來解決橢圓問題。

例題1：已知橢圓兩焦點F1、F2的坐標分別為（2，0），（-2，0），而且橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為8，請列出橢圓標準方程。

師生互動：教師引導(dǎo)學生用所學知識解決問題。

等到學生得出答案后，教師可出示例題1的變式。

變式：已知橢圓兩焦點F1、F2的坐標分別為（2，0），（-2，0），而且橢圓過點（2，-3），請列出橢圓標準方程。

學生獨立解答并匯報結(jié)果，教師演示、講解，并概括總結(jié)求解橢圓標準方程的方法。

大屏幕展示求解橢圓標準方程的方法：定義法、待定系數(shù)法。

例題2：請根據(jù)下列條件，列出橢圓的標準方程。

（1）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過點A（0，2），點B（1/2，）;

（2）橢圓經(jīng)過點（2，-3），且和橢圓9x2+4y2=36存在共同焦點。

學生獨立完成問題解答，教師講解。

（四）布置作業(yè)

基礎(chǔ)性作業(yè)：完成練習1、2。

提升性作業(yè)：兩人組隊相互設(shè)計關(guān)于求解橢圓標準方程的習題，并進行解答。

拓展性作業(yè)：聯(lián)系以往學過的圓相關(guān)知識，對圓概念、標準方程和橢圓概念、標準方程的異同進行分析，并將分析結(jié)果列表展示。

七、教學小結(jié)

在本次教學中，教師要求學生親自動手、動腦推導(dǎo)橢圓標準方程，還讓學生觀看微視頻了解對稱法推導(dǎo)過程，闡述推導(dǎo)過程中的核心思路。這樣的教學方式不僅可以幫助學生更加扎實地掌握橢圓標準方程推導(dǎo)過程和方法，同時鍛煉了他們的多項能力，如思維能力、推導(dǎo)能力、分析能力等，為學生以后的數(shù)學學習奠定了良好基礎(chǔ)。此外，在本次教學中，教師還非常注重課堂練習，有效鍛煉了學生的知識遷移能力和知識運用能力。之后布置的作業(yè)則屬于分層作業(yè)，不僅有難度比較低的基礎(chǔ)性作業(yè)，還有具有一定難度的提升性作業(yè)，更有涉及以往學過知識的拓展性作業(yè)。這種分層作業(yè)不僅可以讓各個層次的學生找到適合自己的作業(yè)，還能讓他們在完成作業(yè)的過程中有所收獲，加深對本課和以往數(shù)學知識的記憶。

（作者單位：甘肅省蘭州市永登縣第二中學）

編輯：趙飛飛