馬春霞

探究式教學(xué)是以學(xué)生為主體的教學(xué)模式，其為學(xué)生提供了較多的思考問題的機會，有利于學(xué)生深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時有效突破傳統(tǒng)應(yīng)試教育對學(xué)生思想的束縛，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的思維，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。本文以“三角函數(shù)的圖象”知識點教學(xué)為例，通過探究式教學(xué)模式的應(yīng)用，力求在探究學(xué)習(xí)中使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、技能，進(jìn)而達(dá)到提升學(xué)生解決問題能力的目標(biāo)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如模型思想、換元思想、聯(lián)系類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等，對于此階段學(xué)生來講，三角函數(shù)問題相對困難。三角函數(shù)圖象是在學(xué)生掌握了單位圓中正弦函數(shù)線以及誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)上開展的學(xué)習(xí)活動，這一部分內(nèi)容不僅是對學(xué)生以往函數(shù)知識掌握程度的考查，而且是學(xué)習(xí)其他函數(shù)知識的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

在前期學(xué)習(xí)中，大部分學(xué)生已經(jīng)對函數(shù)知識有一定了解，初步掌握了函數(shù)繪圖的技能，且能較為熟練地繪制函數(shù)圖象，總結(jié)性質(zhì)，因此，學(xué)生對三角函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)有一定的心理準(zhǔn)備，且在信息的分辨能力、語言表達(dá)能力以及辯證思維能力方面也有了明顯提升。在本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中，探究式教學(xué)應(yīng)用既能有效落實學(xué)生為本的教育理念，又能在不同問題的探究中加深學(xué)生對三角函數(shù)知識的認(rèn)知，從而進(jìn)一步幫助學(xué)生建立函數(shù)知識體系。

三、教學(xué)方法

本堂課主要以探究式教學(xué)為主，采用問題引導(dǎo)方式，引導(dǎo)學(xué)生開展小組合作探究學(xué)習(xí)，以降低學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的難度，同時達(dá)到拓展學(xué)生學(xué)習(xí)思路，提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的目標(biāo)。

四、教學(xué)目標(biāo)

整體目標(biāo)：（1）能借助正弦線作出正弦函數(shù)圖象，并能將作圖方法遷移到余弦函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，正確畫出函數(shù)圖象;（2）掌握“五點法”作圖，并作出正、余弦函數(shù)的圖象;（3）明確數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

課時目標(biāo)：（1）了解三角函數(shù)特征，并掌握探究函數(shù)圖象的思路;（2）能確定正弦函數(shù)值，并確定其中的任意點的位置，正確作出正弦函數(shù)圖象;（3）將相關(guān)知識遷移、應(yīng)用，正確作出余弦函數(shù)的圖象;（4）掌握“五點法”，并能夠作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象。

（設(shè)計意圖：在單元整體視角下分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，一方面能夠兼顧整個教學(xué)計劃，另一方面單元整體視角下單一課時目標(biāo)也能夠分解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，降低學(xué)習(xí)難度，同時將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想等融入目標(biāo)設(shè)計過程中，從根本上將學(xué)科素養(yǎng)與課堂活動聯(lián)系起來，借助探究活動實現(xiàn)高效教學(xué)。）

五、教學(xué)過程

任務(wù)一：設(shè)置問題，引入新課

問題1：同學(xué)們，之前我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)，誰能簡單說一說？我們在學(xué)習(xí)函數(shù)過程中能夠總結(jié)出哪些經(jīng)驗?zāi)?？學(xué)習(xí)函數(shù)的一般思路是什么？

預(yù)設(shè)：

學(xué)生1：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)……

學(xué)生2：學(xué)習(xí)函數(shù)應(yīng)先學(xué)習(xí)函數(shù)的基本概念，然后再學(xué)習(xí)函數(shù)的特征以及函數(shù)圖象的繪制和計算，最后學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)以及運用。

學(xué)生3：……

問題2：三角函數(shù)是一類新函數(shù)，按照剛才我們復(fù)習(xí)的知識，你們覺得在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后，還應(yīng)該學(xué)習(xí)關(guān)于三角函數(shù)的哪些內(nèi)容呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)習(xí)三角函數(shù)的特征、圖象、性質(zhì)以及運用。

教師：非常好，接下來我們看看三角函數(shù)圖象的作法是不是和先前學(xué)習(xí)的函數(shù)一樣呢？

追問（1）：作函數(shù)圖象最原始的方法是什么？（預(yù)設(shè)：描點法）

追問（2）：用“描點法”作函數(shù)圖象的主要步驟是怎樣的？（先找到對應(yīng)的點，然后描點連線……）

教師先提出問題，隨后讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識及函數(shù)圖象的畫法，引出描點法等函數(shù)圖象畫法。

（設(shè)計意圖：通過簡單的問題設(shè)計，教師將本堂課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生自己說出接下來需要研究的問題，以問題引導(dǎo)學(xué)生自主闡述的方式，更能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。）

問題3：如何做出點（，sin）呢？

學(xué)生探究點（，sin）的作法，在探究過程中發(fā)現(xiàn)每個小組作出的點的位置都不太一樣，原因是點（，sin）的橫縱坐標(biāo)都不是具體的數(shù)字，只能估算出點的大概位置，大家估算的不一致，因此最后點的位置也不一致。教師適時提出問題：“你們覺得這個點能用初中學(xué)過的代數(shù)描點法作出來嗎？”“如果用這種方法描點作圖，那么最終的圖象會出現(xiàn)什么問題呢？”由此引出下一個問題。

教師追問：能不能用其他的方法描點呢？比如，在平面直角坐標(biāo)系中，能不能用其他的方法精確地描出點（，sin）呢？

教師再次提出問題，從代數(shù)描點法與描點（，sin）之間的沖突，引出幾何描點法，學(xué)生在教師引導(dǎo)下作出點（，sin）。這個過程能夠使學(xué)生意識到幾何描點法在三角函數(shù)中應(yīng)用的重要性，同時也將數(shù)形結(jié)合思想滲透其中。

（設(shè)計意圖：代數(shù)描點法是函數(shù)作圖中常用的方法之一，也是最為基本的方法，但是點（，sin）并不能用代數(shù)描點法精確地確定位置，因此教師順勢追問，通過問題情景的設(shè)計，將三角函數(shù)圖象的畫法與學(xué)生之前學(xué)習(xí)過的畫法聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)有的函數(shù)圖象作圖經(jīng)驗遷移到三角函數(shù)作圖中，進(jìn)而探究三角函數(shù)圖象描點作圖的方法。）

任務(wù)二：探究學(xué)習(xí)，感受內(nèi)涵

問題4：正弦函數(shù)的圖象應(yīng)該如何畫呢？能否借助點（，sin）的作法，畫出函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖象呢？

教師鼓勵學(xué)生探究函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）圖象的畫法。

小組1：借助幾何描點法描出橫坐標(biāo)、、、、、π…2π等點對應(yīng)的縱坐標(biāo)，然后連線作出整個三角函數(shù)圖象。

小組2：可以在[0，2π]區(qū)間上任意取一些橫坐標(biāo)數(shù)值，然后用光滑的曲線進(jìn)行圖象的繪制。

小組3：……

教師鼓勵學(xué)生借助多媒體學(xué)習(xí)工具對上述兩種方法進(jìn)行嘗試，最終確定小組1的方法比較可行。

（設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生回憶三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，為學(xué)生掌握畫點原理、方法提供認(rèn)知鋪墊，更進(jìn)一步認(rèn)識到三角函數(shù)的特性，同時為后續(xù)研究活動的組織與實施奠定基礎(chǔ)。在這一過程中，學(xué)生也親身經(jīng)歷了三角函數(shù)的探究過程。不僅如此，教師在教學(xué)過程中借助多媒體教學(xué)軟件與線上學(xué)習(xí)工具，將三角函數(shù)圖象產(chǎn)生的過程動態(tài)化地呈現(xiàn)出來，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的興趣，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。）

問題5：已經(jīng)做出了y=sinx（x∈[0，2π]）的圖象，那么你們能作出正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象嗎？

教師繼續(xù)提出探究式問題，學(xué)生依然以小組為單位，針對教師提出的問題進(jìn)行探究，在這一問題探究過程中，先引導(dǎo)學(xué)生對上個問題中三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行回顧。隨后，教師可以追問：根據(jù)三角函數(shù)的定義，如果繪制正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象，你認(rèn)為需要畫出整個定義域上的圖象嗎？還是選擇某一個區(qū)間即可呢？然后學(xué)生繼續(xù)借助多媒體教學(xué)工具，將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖象向右、左分別平移，最終得出函數(shù)的圖象。在整個過程中，教師可以借助多媒體教學(xué)工具將整個函數(shù)圖象產(chǎn)生的過程呈現(xiàn)出來，學(xué)生在觀察與實踐的過程中能夠?qū)瘮?shù)圖象有更加深入的理解，從而正確作出正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象。

（設(shè)計意圖：此活動的設(shè)計是引導(dǎo)學(xué)生從有限到無限的認(rèn)知擴充，在教師引導(dǎo)以及學(xué)生互動探究實踐活動中，不僅能加深學(xué)生對三角函數(shù)圖象的認(rèn)知，而且能更進(jìn)一步拓展學(xué)生學(xué)習(xí)思路;同時將數(shù)形結(jié)合思想等融入探究活動，巧妙借助數(shù)學(xué)思想解決課堂問題，提升學(xué)生解決問題的能力，更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。）

任務(wù)三：合作探究，延伸運用

問題6：我們已經(jīng)探究得出正弦函數(shù)圖象，那么在此基礎(chǔ)上你們能畫出余弦函數(shù)的圖象嗎？

正余弦函數(shù)之間本身有著非常密切的聯(lián)系，上述幾個環(huán)節(jié)中學(xué)生在合作探究過程繪制了正弦函數(shù)的圖象，那么可以運用相同的方法繪制出余弦函數(shù)的圖象。在余弦函數(shù)的圖象繪制過程中，學(xué)生先運用幾何描點法進(jìn)行余弦函數(shù)描點;與正弦函數(shù)不同的是，余弦函數(shù)線是水平的，可以通過函數(shù)y=x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再作出點，從而得出余弦函數(shù)的圖象。

在探究過程中，部分學(xué)生提出可以根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系sin2x+cos2x=1，得出余弦值，但是最后通過實踐發(fā)現(xiàn)行不通，最終確定通過圖象轉(zhuǎn)化的方式進(jìn)行余弦函數(shù)的繪制。

（設(shè)計意圖：通過正弦函數(shù)圖象向余弦函數(shù)圖象的轉(zhuǎn)化，將類比思想、化歸思想等融入學(xué)生學(xué)習(xí)過程，既能幫助學(xué)生很好地將三角函數(shù)知識融會貫通，又能更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使學(xué)生在探究中建立起函數(shù)知識體系，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合素養(yǎng)能夠產(chǎn)生積極影響。）

任務(wù)四：拓展運用，發(fā)散思維

問題：如果對于正余弦函數(shù)的精確度要求不高，那么你能用什么方法快速畫出正余弦函數(shù)的圖象呢？

借助開放式問題的方式，引導(dǎo)學(xué)生在已知正余弦函數(shù)圖象作圖方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入研究與分析，鼓勵學(xué)生觀察圖象中的關(guān)鍵點，如縱坐標(biāo)為0時，橫坐標(biāo)是哪些點，橫坐標(biāo)為特殊值時縱坐標(biāo)是幾等，然后將這五個點找出來，就能大致作出函數(shù)圖象，這也是常用的“五點作圖法”。隨后教師給出相應(yīng)的例題，考查學(xué)生是否真正掌握了“五點法”，如分別作出下列函數(shù)的簡圖（用“五點作圖法”）：（1）y=2sinx（x∈[0，2π]）;（2）y=cos2x（x∈[0，π]）。觀察學(xué)生作圖的過程，了解學(xué)生具體掌握情況。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生主動觀察、主動分析、主動找到函數(shù)圖象中的特殊點，然后直接得出大致的函數(shù)圖象，在作圖過程中夯實鞏固學(xué)生對“五點作圖法”的掌握牢固程度，同時借助“問題+例題”的方式，也能夠培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，從而達(dá)到提升學(xué)生應(yīng)用能力的目標(biāo)。）

六、案例反思

本堂課主要研究三角函數(shù)圖象部分內(nèi)容，在具體設(shè)計中，教師始終堅持以學(xué)生為主體的探究式教學(xué)模式，從高中生的學(xué)習(xí)興趣以及學(xué)習(xí)情況入手，選擇符合學(xué)習(xí)需求的教學(xué)方法，極大提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在具體設(shè)計中，教師以幾個問題串聯(lián)整堂課，一方面改變了傳統(tǒng)教師講解、學(xué)生被動聽講的教學(xué)模式，另一方面有效滲透了學(xué)生為主體的教學(xué)理念，借助情境有效調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)積極性。高中階段雖然數(shù)學(xué)知識難度提升，但是學(xué)生經(jīng)歷了九年義務(wù)教育，其自主學(xué)習(xí)能力也逐漸提升，通過問題引導(dǎo)模式，將本堂課的學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行了拆分，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度降低。不僅如此，在問題設(shè)計中，教師將新舊知識的學(xué)習(xí)與學(xué)生的活動銜接起來，溫故知新，通過問題引導(dǎo)帶動學(xué)生學(xué)習(xí)新知識，同時構(gòu)建函數(shù)知識體系。

在以后的教學(xué)過程中，教師還可以將教學(xué)評價、課堂作業(yè)融入其中，借助探究式活動將課堂內(nèi)外銜接起來。此外，教師還可以進(jìn)行跨學(xué)科活動的設(shè)計，通過跨學(xué)科活動設(shè)計的方式，鼓勵學(xué)生在探究過程中將學(xué)科之間的知識銜接起來，解決生活中的不同問題，最終達(dá)到提升學(xué)生綜合學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)。

（作者單位：甘肅省康樂縣康樂中學(xué)）

編輯：陳鮮艷