北京市昌平區(qū)燕丹學(xué)校 張子文

北京教育學(xué)院 劉曉婷

數(shù)學(xué)教學(xué)要立足核心素養(yǎng)發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。然而，素養(yǎng)、思維、能力都是隱性的，需要通過恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)將其轉(zhuǎn)化為可觀、可測的行為，進(jìn)而用有效的教學(xué)為其發(fā)展搭建階梯。復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，承擔(dān)著查漏補(bǔ)缺、深化理解等任務(wù)。如何在復(fù)習(xí)課中既幫助學(xué)生厘清知識(shí)的脈絡(luò)，也能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系，對學(xué)過的內(nèi)容有更深入的理解，發(fā)展思維的全面性、深刻性？六年級(jí)平面圖形面積復(fù)習(xí)課后的一道診斷題引發(fā)了筆者的思考，并轉(zhuǎn)化為探索有效復(fù)習(xí)課模式的實(shí)踐行為。

一、常規(guī)復(fù)習(xí)課后的診斷題引發(fā)的思考

案例：復(fù)習(xí)了，怎么還這么多錯(cuò)？

六年級(jí)期末總復(fù)習(xí)階段，學(xué)生會(huì)進(jìn)行平面圖形內(nèi)容的復(fù)習(xí)。教學(xué)過程一般是先對平面圖形進(jìn)行分類，借助分類標(biāo)準(zhǔn)回憶圖形的特征；然后按三角形、四邊形、多邊形的順序，回憶圖形的周長、面積計(jì)算公式；最后通過解決問題熟悉圖形特征，鞏固計(jì)算方法。常規(guī)復(fù)習(xí)課后的一道診斷題（如圖1）在一定程度上反映了復(fù)習(xí)的效果。

圖1

該題沒有直接給出高，通過兩條平行線暗示了三個(gè)圖形的高是相等的。結(jié)構(gòu)不良的問題容易檢驗(yàn)學(xué)生在解決問題時(shí)的表現(xiàn)，特別是對圖形之間關(guān)系的理解程度。結(jié)果，37%的學(xué)生選擇“D 無法比較”，理由是缺少高作為條件；各有15%的學(xué)生選擇“A.平行四邊形的面積最大”和“B.三角形的面積最大”，理由是直觀地看出來的；剩余33%的學(xué)生選擇“C.一樣大”，但超過一半的學(xué)生在訪談中沒有給出具體的理由，另外的學(xué)生通過假設(shè)一個(gè)高度進(jìn)行計(jì)算或者用面積公式推導(dǎo)得到結(jié)果。由此可推斷，大部分學(xué)生通過常規(guī)復(fù)習(xí)并沒有建立平面圖形之間的聯(lián)系。訪談時(shí)，學(xué)生的反饋更是給教師“潑了涼水”：“都學(xué)過的知識(shí)又說一遍，既沒有新的收獲，也很沒有意思。”學(xué)生對復(fù)習(xí)課不感興趣，又何談促進(jìn)思維的提升、素養(yǎng)的發(fā)展？

復(fù)習(xí)課如何更好地展現(xiàn)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階？筆者結(jié)合“平面圖形及其面積復(fù)習(xí)”一課進(jìn)行嘗試。

二、用思維導(dǎo)圖和表現(xiàn)性評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的嘗試

（一）將思維導(dǎo)圖與表現(xiàn)性評(píng)價(jià)結(jié)合的構(gòu)想

讓學(xué)生展示自己的思考是表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的重要理念。表現(xiàn)性評(píng)價(jià)可以用于評(píng)價(jià)學(xué)生的認(rèn)知能力、推理能力以及解決真實(shí)問題的能力；可以促進(jìn)學(xué)生復(fù)雜思維能力的獲得。同時(shí)，它還具備課堂診斷性，可以幫助教師了解學(xué)生思維的發(fā)展情況、調(diào)整教學(xué)策略，幫助學(xué)生了解自身情況、明確發(fā)展目標(biāo)。

皮亞杰認(rèn)為，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)越來越多，就應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)清所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，主動(dòng)構(gòu)建認(rèn)知圖式?？梢暬季S導(dǎo)圖是發(fā)散思維的表達(dá)，可以從直觀圖形的角度刺激學(xué)生的形象思維，從知識(shí)的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)的角度刺激學(xué)生的抽象思維，使學(xué)生建構(gòu)知識(shí)框架，形成結(jié)構(gòu)化思維體系。其作用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是提高思維加工的質(zhì)量和效率，主要表現(xiàn)為知識(shí)覆蓋全面；二是清晰地表征了概念及其相互關(guān)系，促進(jìn)了新舊知識(shí)的融合。

基于思維導(dǎo)圖的特性，將其作為表現(xiàn)性評(píng)價(jià)中的任務(wù)形式，特別在單元復(fù)習(xí)中，學(xué)生用直觀、結(jié)構(gòu)化的圖形將知識(shí)連接在一起，在分散的知識(shí)之間建立關(guān)聯(lián)，以此引發(fā)深度思考。學(xué)生繪制出思維導(dǎo)圖后，通過構(gòu)建表現(xiàn)性評(píng)價(jià)量規(guī)，評(píng)析作品，促進(jìn)思維發(fā)展。在本研究中，評(píng)價(jià)量規(guī)關(guān)注兩個(gè)維度：知識(shí)的覆蓋和知識(shí)的關(guān)聯(lián)。

（二）任務(wù)設(shè)計(jì)與量規(guī)制訂

1.可觀、可測的行為目標(biāo)制訂

六年級(jí)下冊總復(fù)習(xí)課將“圖形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形的認(rèn)識(shí)”“測量”和“圖形的運(yùn)動(dòng)”，其中，“四邊形及其面積的復(fù)習(xí)”涉及前兩個(gè)部分。新課標(biāo)將“圖形的認(rèn)識(shí)”與“圖形的測量”統(tǒng)整為一個(gè)大的主題，說明“圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的測量之間有密切的關(guān)系”，其目的是幫助學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)圖形到量化認(rèn)識(shí)圖形，逐步積累度量經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步形成量感、空間觀念和幾何直觀。其中，新課標(biāo)對“四邊形及其面積”內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求表述為“會(huì)計(jì)算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應(yīng)公式解決實(shí)際問題”。新課標(biāo)在“教學(xué)提示”中指出：“通過對平面圖形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，感知數(shù)學(xué)說理的過程……引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識(shí)?！?/p>

教師需要將具體的行為目標(biāo)作為參考，才能評(píng)估學(xué)生所達(dá)到的層次；學(xué)生也需要通過比對行為目標(biāo)，才能明確所在的位置，以及要努力的方向。結(jié)合教材內(nèi)容和新課標(biāo)的要求，筆者制訂如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）能回憶平面圖形的特征，按照一定標(biāo)準(zhǔn)對圖形進(jìn)行分類，能通過分割、組合等進(jìn)行圖形之間的轉(zhuǎn)化；

（2）能回憶出基本圖形的面積公式，畫圖說明面積和三角形、平行四邊形、梯形的底和高有關(guān)系；

（3）能運(yùn)用等積變換解決三角形、平行四邊形、梯形及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問題。

“說明關(guān)系”和“運(yùn)用等積變換”等都是具體的行為，可以通過學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的方式得以充分展現(xiàn)。

2.設(shè)計(jì)達(dá)成目標(biāo)的學(xué)習(xí)任務(wù)及其評(píng)價(jià)量規(guī)

行為目標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)明確之后，教師就需要設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)。對學(xué)生而言，表現(xiàn)性任務(wù)不僅可以是學(xué)習(xí)效果評(píng)估，還可以是學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在完成任務(wù)的過程中，學(xué)生需要思考知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，整理有關(guān)的證據(jù)，歸納結(jié)論并進(jìn)行推理和證明。表現(xiàn)性任務(wù)所涉及的學(xué)習(xí)過程指向高階思維，有助于學(xué)生達(dá)成行為目標(biāo)。

本節(jié)課把“繪制平面圖形及其面積知識(shí)的思維導(dǎo)圖”作為學(xué)習(xí)任務(wù)。設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)，教師要對任務(wù)進(jìn)行描述，指導(dǎo)語要清晰準(zhǔn)確、簡單明了，讓學(xué)生清楚地知道要做什么、怎么做，如“請你整理學(xué)過的平面圖形及其面積的相關(guān)知識(shí)，用思維導(dǎo)圖把你的想法表達(dá)出來”。教師還要對完成任務(wù)的過程提出具體要求，以幫助學(xué)生了解完成任務(wù)時(shí)要達(dá)成的行為目標(biāo)（標(biāo)準(zhǔn)），如“要求1：導(dǎo)圖中包含的內(nèi)容要盡可能地清晰和全面；要求2：哪些知識(shí)之間有聯(lián)系？用線連起來”。

教師預(yù)設(shè)學(xué)生完成任務(wù)時(shí)的不同表現(xiàn)，基于SOLO理論對表現(xiàn)結(jié)果劃分等級(jí)，描述不同等級(jí)的典型特征，如表1。

表1 “四邊形及其面積”思維導(dǎo)圖評(píng)價(jià)量規(guī)

量規(guī)分為兩個(gè)維度，維度一用以評(píng)估學(xué)生“知識(shí)的覆蓋面”，即知識(shí)是否全面、豐富，該維度可以充分展現(xiàn)學(xué)生對“圖形與幾何”的認(rèn)識(shí)程度。維度一共劃分為三個(gè)等級(jí)：達(dá)到等級(jí)1 的學(xué)生可以完成知識(shí)的簡單羅列，包含了常見平面圖形的特征和面積的計(jì)算方法；達(dá)到等級(jí)2 的學(xué)生補(bǔ)充了更多的信息，如組合圖形及其面積的計(jì)算方法，如圖2 所示，其中包含圖形轉(zhuǎn)化過程（割補(bǔ)）等內(nèi)容，比簡單地羅列平面圖形知識(shí)思維水平更高；達(dá)到等級(jí)3 的學(xué)生則構(gòu)建了更復(fù)雜的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，如圖3 所示，其中包含了邊或角等圖形組成元素的特征和平面圖形之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，學(xué)生的知識(shí)覆蓋面更廣，他們對圖形特征的理解更深刻。

圖2

圖3

第二個(gè)維度用以評(píng)估“知識(shí)的聯(lián)結(jié)”，即是否理解平面圖形之間的變化關(guān)系，而圖形與圖形之間的關(guān)系恰恰是本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)內(nèi)容。該維度分為兩個(gè)等級(jí)：等級(jí)1 的學(xué)生只把平面圖形的內(nèi)容零散地分布在圖中，沒有建立圖形之間的聯(lián)系；等級(jí)2 的學(xué)生可以抓住底和高兩個(gè)要素，在不同圖形之間建立轉(zhuǎn)化關(guān)系，如圖4所示，“箭頭”說明學(xué)生基于圖形特征進(jìn)行了推理，建構(gòu)了不同圖形面積公式之間的聯(lián)系，該等級(jí)的學(xué)生具備了理解圖形與圖形關(guān)系的抽象能力。

圖4

（三）應(yīng)用量規(guī)促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階

開展基于表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的關(guān)鍵是量規(guī)的使用。在課堂教學(xué)的實(shí)施中，匯報(bào)交流可分成全班分析和小組互評(píng)兩個(gè)環(huán)節(jié)。在全班分析環(huán)節(jié)，教師根據(jù)巡視情況，按照水平等級(jí)分別展示學(xué)生的作品，在全班分析及評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，滲透量規(guī)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。在小組互評(píng)環(huán)節(jié)，因?yàn)橛辛嗽u(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生就可以對同組成員的作品做出基于標(biāo)準(zhǔn)的客觀評(píng)價(jià)。通過小組互評(píng)，學(xué)生可以獲得反饋，從而修改自己的導(dǎo)圖，在反思中促進(jìn)思維的提升。

例如，當(dāng)學(xué)生展示了圖2，教師根據(jù)評(píng)價(jià)量規(guī)，判斷出該學(xué)生處于維度一的等級(jí)2。此時(shí)，教師可以對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，引發(fā)學(xué)生思考。

師：我看到你的作品中不僅有平行四邊形、梯形和三角形的內(nèi)容，還提到了組合圖形，以及組合圖形面積的算法。能把這些知識(shí)串聯(lián)起來，說明你進(jìn)行了充分的思考。如果讓你把這些圖形分類，你會(huì)怎么分呢？仔細(xì)觀察這些圖形面積轉(zhuǎn)化的方法和計(jì)算公式，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我可以用“邊的數(shù)量”來分類，三角形是三條邊，平行四邊形和梯形都是四條邊，那長方形和正方形也可以放到四邊形里。計(jì)算面積時(shí)，我們都是先把其他圖形變成平行四邊形，比如，兩個(gè)（完全相同的）三角形或梯形就可以拼成一個(gè)平行四邊形，而且，我還想到平行四邊形是從長方形（等積轉(zhuǎn)化）得來的。

師：你的想法特別有意思，一下就幫助我們打開了思路。這里還有幾份作品，大家看看能表達(dá)出他剛才的思考嗎？

生（看過其他學(xué)生的作品后）：我發(fā)現(xiàn)他們都把圖形進(jìn)行了分類，比我的更全面。而且，我還發(fā)現(xiàn)，計(jì)算面積時(shí)都是先轉(zhuǎn)化成長方形，所以，公式都可以用“a×b”表示，只不過計(jì)算不同圖形的面積時(shí)要有調(diào)整。

上述教學(xué)過程說明了“判斷表現(xiàn)”與“交流反思”的重要性。教師給學(xué)生提供與任務(wù)相匹配的評(píng)價(jià)量規(guī)，根據(jù)既定的量規(guī)來觀察學(xué)生的行為表現(xiàn)，以此掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，然后給予有針對性的指導(dǎo)。同時(shí)，學(xué)生在完成任務(wù)的過程中比對量規(guī)進(jìn)行自我評(píng)估，或者在匯報(bào)交流時(shí)給予同伴有效評(píng)價(jià)，讓思維在碰撞中得以提升。

三、思考與啟示

學(xué)生借助思維導(dǎo)圖進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，既構(gòu)建了比較完整的平面圖形知識(shí)的體系，又發(fā)現(xiàn)了平面圖形面積之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，為發(fā)展空間觀念提供了機(jī)會(huì)。課后，教師用同樣的診斷題對班級(jí)同水平的學(xué)生進(jìn)行了診斷，結(jié)果發(fā)現(xiàn)超過90%的學(xué)生選擇“C.一樣大”，大部分學(xué)生能基于“圖形特征和圖形之間的聯(lián)系”解釋其過程。（如圖5、圖6）

圖5

圖6

通過上述研究，筆者得到如下思考：

第一，“思維導(dǎo)圖”是學(xué)生整理知識(shí)、展示思維的載體。

復(fù)習(xí)課更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生反思與質(zhì)疑能力的提升。筆者經(jīng)常聽到學(xué)生說：“我不喜歡上復(fù)習(xí)課，都學(xué)過了，太沒意思了?！倍鴮?shí)際情況卻是“以為會(huì)，但實(shí)際漏洞不少”。復(fù)習(xí)課的意義就在于幫助學(xué)生整理與反思，讓知識(shí)重新梳理完整并建立知識(shí)之間的聯(lián)系。在繪制思維導(dǎo)圖的過程中，學(xué)生不斷回憶零散的知識(shí)，并將知識(shí)進(jìn)行歸類整理，甚至構(gòu)建聯(lián)系，在面對復(fù)雜問題時(shí)，就能夠產(chǎn)生聯(lián)想，找到解決問題的突破口。

第二，用好表現(xiàn)性評(píng)價(jià)量規(guī)，能促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階。

學(xué)生思維進(jìn)階的關(guān)鍵是他人反饋和自我反思?；诒憩F(xiàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)使隱性的思維過程顯性化，為交流和反饋提供了素材。指向目標(biāo)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)量規(guī)為評(píng)價(jià)提供了標(biāo)準(zhǔn)，教師可以借助標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生進(jìn)行評(píng)估，學(xué)生也可以進(jìn)行自我評(píng)估和互相評(píng)估，明確前進(jìn)的方向。教師根據(jù)學(xué)生的情況，恰當(dāng)?shù)剡x擇切入點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生自我反思，乃至實(shí)現(xiàn)全班不同觀點(diǎn)的分享和討論，為深度學(xué)習(xí)提供了素材，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階，發(fā)展其核心素養(yǎng)。