靳寶

【摘要】分段函數(shù)是函數(shù)部分較為常見的知識點(diǎn)，題型靈活多變，由于不同取值范圍對應(yīng)不同的表達(dá)式，因此與一般的函數(shù)有一定區(qū)別.常見的考查分段函數(shù)的問題包括：求解分段函數(shù)解析式、求解分段函數(shù)的函數(shù)值、已知函數(shù)值求參數(shù)等.本文以具體實(shí)例分析不同題型，幫助學(xué)生理解和掌握求解分段函數(shù)問題的思路，加深學(xué)生對分段函數(shù)的理解與應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；分段函數(shù)；解題技巧

近年來，高考中對分段函數(shù)的考查越來越多，可以說分段函數(shù)已成為高考題中的熱門內(nèi)容.為此，本文對分段函數(shù)的常見題型及解法進(jìn)行歸類介紹，以供讀者參考.

1? 分段函數(shù)求值問題

分段函數(shù)求值問題，難度較小，根據(jù)定義逐步解答，即可得到最終答案，主要是通過不同定義域?qū)?yīng)的解析式，代入求解得到具體值.解答分段函數(shù)的具體值這類問題，一般解題步驟為：①根據(jù)分段函數(shù)的定義，找到對應(yīng)解析式；②將自變量值代入解析式，運(yùn)算得到最終函數(shù)值.

例1? 已知函數(shù)fx=2x，x＜0，3，0≤x≤1，log13x，x＞1，求fffaa＜0的值.

剖析? 該題偏向于多次求解分段函數(shù)值，即從內(nèi)到外一步步按照分段函數(shù)的范圍，依次代入解析式運(yùn)算，才能得到最終所求的函數(shù)值，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

解? 根據(jù)題意可知a<0，

滿足fx=2x，x＜0，3，0≤x≤1，log13x，x＞1，

所以fa=2a，

因?yàn)?＜2a＜1滿足上述分段函數(shù)，

所以ffa=f2a=3，

因?yàn)?＞1，

所以fffa=f3=log133=－12.

2? 求解分段函數(shù)不等式問題

求解分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題，應(yīng)結(jié)合具體圖象進(jìn)行，即通過圖象得到對應(yīng)不等式的自變量范圍，即可得到答案.求解分段函數(shù)的不等式問題，具體步驟為：①畫出分段函數(shù)在不同范圍的具體圖象；②根據(jù)不等式在圖象上對應(yīng)的具體情況，得到具體解集.

例2? 若函數(shù)fx=3x，x≥0，3x+1，x＜0，解不等式ffx＜4fx+1.

剖析? 解答該不等式首先要換元對不等式進(jìn)行簡化，先求得換元后的解集，即換元后求t的取值范圍，對應(yīng)fx的值域范圍，再結(jié)合具體函數(shù)圖象求自變量x的范圍，從而對問題做出解答.

解? 令t=fx，

則不等式等價于ft＜4t+1，

當(dāng)t＜0時，ft=3t+1＜4t+1，與題意矛盾，無解；

當(dāng)t≥0時，ft=3t＜4t+1，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=3t和y=4t+1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖可知，當(dāng)0＜t＜2時，3t＜4t+1，

綜上所述，ft＜4t+1的解集為{t|0＜t＜2}，

所以0＜fx＜2，

畫圖fx的圖象，如圖2所示.

圖2

可知－13≤x＜log32，

故不等式ffx＜4fx+1解集為

x－13＜t＜log32.

3? 分段函數(shù)值求參數(shù)范圍問題

已知具體函數(shù)值或值域范圍求解參數(shù)問題，屬于分段函數(shù)的常見題型.給出分段函數(shù)的具體函數(shù)值劃分范圍，可以考慮結(jié)合圖象對問題做出解答，即通過數(shù)形結(jié)合列式計(jì)算，得到具體參數(shù)值或范圍.數(shù)形結(jié)合思想解題的具體應(yīng)用步驟可概括為：①根據(jù)題意，確定范圍對應(yīng)的函數(shù)解析式并列式計(jì)算；②求得滿足題意的參數(shù)值或范圍，可對問題做出完整解答.

例3? 已知函數(shù)fx=11－x，x＜0，log2x－a，x≥0，

gx=14x2－cosx，若f－1=f1，則實(shí)數(shù)a=;若x1∈－π2，π2，總x2∈R使gx1=fx2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

剖析? 該題屬于已知函數(shù)值求參數(shù)問題，首先分析分段函數(shù)，結(jié)合解析式列出具體的等式gx1=fx2，得到滿足題意的情況后，運(yùn)算求解即可得知參數(shù)a的范圍.

解? 因?yàn)閒－1=11－－1=12，

f1=log21－a，

因?yàn)閒－1=f1，

可得12=log21－a，a=1－2.

設(shè)函數(shù)fx的值域?yàn)锳，函數(shù)gx的值域?yàn)锽，由題意可得BA，

因?yàn)楹瘮?shù)gx為偶函數(shù)，且在0，π2上為增函數(shù)，

所以當(dāng)x∈－π2，π2時，

函數(shù)gx的最大值為gπ2=π216，

函數(shù)gx的最小值為g0=－1，

即B=－1，π216，

因?yàn)楫?dāng)x＜0時，fx∈0，1；

當(dāng)x≥0時，函數(shù)fx為增函數(shù)，值域?yàn)閒0，+∞，

使BA，則有fx在0，+∞上連續(xù)，

且－a＞0，f0≤－1，即－a＞0，log2－a≤－1，

解得－12≤a＜0，

故答案為1－2;－12，0.

4? 結(jié)語

對分段函數(shù)的考查在高考數(shù)學(xué)試題中通常以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn)，考查的方式比較簡單，考查的類型一般為本文所介紹的這三種，只要學(xué)生充分理解分段函數(shù)的含義，靈活運(yùn)用函數(shù)圖象并在求解的過程中計(jì)算正確，即可順利解答.

參考文獻(xiàn)：

［1］謝新華.探析分段函數(shù)零點(diǎn)問題類型及解題策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（04）：56-58.

［2］趙祥敏.新課程下"分段函數(shù)"的常見題型及解法［J］.課程教材教學(xué)研究（中教研究），2015（Z1）：8-9.

［3］李鵬.分段函數(shù)的常見題型及解法［J］.新高考（高一數(shù)學(xué)），2016（09）：28-30