應(yīng)博陽(yáng)

【摘要】二項(xiàng)式定理作為計(jì)數(shù)原理模塊中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考命題中的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)．本文主要正確辨析二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)這兩個(gè)不同的概念，結(jié)合相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題加以正確理解與掌握，形成思維習(xí)慣，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；二項(xiàng)式定理；二項(xiàng)式系數(shù)

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中較為獨(dú)特的一部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)認(rèn)真做好基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的梳理工作，精心配置相應(yīng)的例題和習(xí)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和技巧策略的訓(xùn)練，才能真正理解并掌握二項(xiàng)式定理及其相關(guān)知識(shí)．特別關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)這兩個(gè)不同概念的辨析，對(duì)概念理解、思維發(fā)展、能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升起著關(guān)鍵的作用．

1? 二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題

二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)指的是對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中除字母以外的系數(shù)部分．這里的系數(shù)主要是指常數(shù)部分，與相關(guān)的變量字母是相對(duì)應(yīng)的．

例1? 二項(xiàng)式x2+2x8的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是（? ）

（A）16.?? （B）70.? ?（C）560.?? （D）1120.

分析? 根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，根據(jù)題目中要求的相關(guān)項(xiàng)的指數(shù)來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，通過(guò)求解相應(yīng)的參數(shù)r的值，代入二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式來(lái)分析并求解對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可．

解? 在二項(xiàng)式中，設(shè)含x4的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，

則有Tr+1=Cr8×（x2）8－r×（2x）r=Cr8×2r×x16－3r，

令16－3r=4，

解得r=4，

則對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中x4的系數(shù)為：C48×24=1120，

故選擇答案（D）．

點(diǎn)評(píng)? 這是應(yīng)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的典型問(wèn)題，通過(guò)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式熟練寫(xiě)出所需的一般項(xiàng)，而結(jié)合題設(shè)條件，具體的解題思路實(shí)質(zhì)是利用方程思想，根據(jù)條件列出方程，解出參數(shù)r的值，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)解出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)即可．

2? 二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題

二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)指的是對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中Crn的值．這里的二項(xiàng)式系數(shù)是獨(dú)立存在的，與其他常數(shù)和變量字母之間沒(méi)有聯(lián)系．

例2? 已知二項(xiàng)式x+13xn的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比（a+b）2n展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和小120，則第一個(gè)展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為．

分析? 根據(jù)題設(shè)條件，注意分析二項(xiàng)式系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和這三者所對(duì)應(yīng)的值，根據(jù)題意結(jié)合相應(yīng)的關(guān)系式加以求解冪指數(shù)n的值，再求解相應(yīng)的問(wèn)題．

解? 由于（a+b）2n展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22n－1，x+13xn的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n－1，

依題意可得22n－1－2n－1=120，

即22n－2n－240=0，

解得2n=16或2n=－15（舍去），

則有n=4，

所以，第一個(gè)展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為：

T3=C24×x2×13x2=63x，

故填答案：63x．

點(diǎn)評(píng)? 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是研究二項(xiàng)式定理的重要內(nèi)容之一，主要考查展開(kāi)式中某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，展開(kāi)式中的最大的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)，以及通過(guò)賦值法求解某些特殊項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和等問(wèn)題．求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，經(jīng)常采用賦值法求解；求系數(shù)最大值或最小值時(shí)要區(qū)分冪指數(shù)n是偶數(shù)還是奇數(shù)．

3? 二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題

在正確辨析二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)這兩個(gè)不同概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)的應(yīng)用加以綜合與應(yīng)用，特別是新高考中的多項(xiàng)選擇題這種形式的命題，可以很好地融入二項(xiàng)式定理中的相關(guān)知識(shí)與不同概念．

例3? （2023屆浙江省寧波市九校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷）（多選題）若二項(xiàng)式x+2xn的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論中正確的是（? ）

（A）二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為35.

（B）二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為160x32.

（C）二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng).

（D）二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240.

分析? 根據(jù)題設(shè)條件，先由二項(xiàng)式系數(shù)和求得參數(shù)n的值，令x=1可求得各項(xiàng)系數(shù)之和來(lái)判斷選項(xiàng)（A），由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)來(lái)判斷選項(xiàng)（B），由展開(kāi)式的通項(xiàng)中x的指數(shù)確定有無(wú)常數(shù)項(xiàng)來(lái)判斷選項(xiàng)（C），列不等式組求得系數(shù)最大的項(xiàng)來(lái)判斷選項(xiàng)（D），從而得以綜合應(yīng)用．

解? 因?yàn)槎?xiàng)式x+2xn的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，

所以2n=64，

解得n=6，

所以二項(xiàng)式為x+2x6，

則二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：

Tr+1=Cr6×x6－r×2xr=Cr6×2r×x6－32r，

對(duì)于選項(xiàng)（A），令x=1，可得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)（B），第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)r=3，則二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)4=160x32，正確；

對(duì)于選項(xiàng)（C），令6－32r=0，可得r=4，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5=240，錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)（D），令第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則Cr6×2r≥Cr－16×2r－1Cr6×2r≥Cr+16×2r+1，解得113≤r≤143，

因?yàn)閞∈N，所以r=4，則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5=240，正確；

綜上分析，結(jié)論中正確的是選項(xiàng)（B）（D）．

點(diǎn)評(píng)? 此類(lèi)題型涉及二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，巧妙地借助多選題，合理地將二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)這兩個(gè)不同的概念融合其中，通過(guò)合理的場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)以及概念辨析，加強(qiáng)對(duì)二項(xiàng)式定理的理解與應(yīng)用．

4? 結(jié)語(yǔ)

正確辨析二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)這兩個(gè)不同概念及其相關(guān)的應(yīng)用，合理構(gòu)建準(zhǔn)確的知識(shí)與能力結(jié)構(gòu)，從而在解題過(guò)程中正確應(yīng)用，避免產(chǎn)生混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤，讓學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，構(gòu)建完善的知識(shí)架構(gòu)與創(chuàng)新應(yīng)用．