趙慶準(zhǔn) 馮莉瓊

隨著高中新課程改革的逐步推進(jìn)，滿堂灌的傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)不再適用.但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師的教學(xué)設(shè)計(jì)依舊比較隨意、淺顯、孤立，使得學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)浮于淺表，思維能力并未得到提升.以問題為中心，促進(jìn)學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)中來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的知識遷移能力，引導(dǎo)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提高核心素養(yǎng)與解決問題能力的關(guān)鍵所在.問題的設(shè)計(jì)要有計(jì)劃性、要科學(xué)合理，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能促進(jìn)學(xué)生對知識的深度理解.在此，我們以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”一課為例，談?wù)劵趩栴}導(dǎo)向的深度學(xué)習(xí)案例的實(shí)踐與反思.

一、課程內(nèi)容與學(xué)情分析

1.教材內(nèi)容分析

“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”選自2019年人教版高中數(shù)學(xué)教材必修一第五章第四節(jié).三角函數(shù)是基本初等函數(shù)里重要的一員，既有其他基本初等函數(shù)的共同特征，又具有自身性質(zhì)（如周期性、對稱性等）.三角函數(shù)既是刻畫生活中周期現(xiàn)象問題的數(shù)學(xué)模型，又是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)知識體系中具有承上啟下的作用。

2.學(xué)情分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生學(xué)會用“五點(diǎn)（作圖）法”刻畫正弦、余弦函數(shù)的圖象.學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，對利用“描點(diǎn)法”畫函數(shù)圖象、研究函數(shù)的一般思路已經(jīng)有了進(jìn)一步的認(rèn)識;同時，基于對三角函數(shù)概念及誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，也從知識層面對本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備.但是，學(xué)生還可能在以下幾個方面存在困惑：

（1）學(xué)生對三角函數(shù)的定義與圖象上任意一點(diǎn)之間的關(guān)系認(rèn)識不到位，利用三角函數(shù)定義的幾何意義繪制函數(shù)圖象是一大難點(diǎn)，如怎樣準(zhǔn)確畫出正弦函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)（x0，sinx0）等.

（2）學(xué)生對余弦函數(shù)圖象與正弦函數(shù)圖象之間的平移關(guān)系理解不到位，如作余弦函數(shù)圖象時，不易聯(lián)系誘導(dǎo)公式，利用圖象變換得到余弦函數(shù)圖象;畫圖缺乏流暢美，無法真正掌握“五點(diǎn)（作圖）法”.

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)（作圖）法”;

（2）經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解函數(shù)圖象變換的思想;

（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)與合作探究學(xué)習(xí)的能力.

4.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

（2）難點(diǎn)：如何得到正弦函數(shù)的圖象.

二、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)意圖

課前教師讓學(xué)生準(zhǔn)備好本節(jié)課所需材料：塑料瓶、長方形白紙板、細(xì)線、細(xì)沙、支架.

活動1：小組合作完成該活動：請學(xué)生將塑料瓶的底部扎出一個小孔，使其成為一個漏斗，掛在架子上。這樣一個簡易的單擺就形成了（如圖1所示）.在漏斗下方放一塊白紙板，在紙板的中間畫一條虛線代表坐標(biāo)系的橫軸.在漏斗中裝入細(xì)沙并拉離平衡位置，讓其自由擺動，同時勻速拉動白色紙板，在紙板上就會得到一條曲線.我們將這條曲線抽象出來，就可以得到如圖2所示的圖象，我們將它稱之為“正弦曲線”或“余弦曲線”.

【設(shè)計(jì)意圖】簡諧運(yùn)動實(shí)驗(yàn)的開展，對學(xué)生來說是一個比較新穎的探究過程，既可以讓學(xué)生對正弦曲線、余弦曲線有直觀形象的了解，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望，引出本節(jié)課的內(nèi)容，還能加強(qiáng)學(xué)科之間的聯(lián)系，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是“無用”的，數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，提高學(xué)生的直觀想象能力.

師：三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類新的基本初等函數(shù)，根據(jù)之前我們研究函數(shù)的思路，請同學(xué)們思考我們應(yīng)該怎樣研究三角函數(shù)？研究哪些問題？

生：研究一個新的函數(shù)，應(yīng)從以下三個方面進(jìn)行：函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì).

追問：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？（2）繪制一個新函數(shù)圖象的基本步驟是什么？

生：我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線，先畫出y=sinx在[0，2π]的圖象，由誘導(dǎo)公式sin（α±2kπ）=sinα，cos（α±2kπ）=cosα可以發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為2π，最后通過平移得到y(tǒng)=sinx在整個定義域R上的圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】教師提出問題，學(xué)生進(jìn)行思考并回答，體現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教育理念.

師：繪制正弦函數(shù)y=sinx的圖象，我們需要精準(zhǔn)地確定點(diǎn)的坐標(biāo)，請同學(xué)們思考在[0，2π]上如何精準(zhǔn)地刻畫出任意一點(diǎn)T的坐標(biāo)呢？

活動2：為解決“如何精準(zhǔn)地刻畫出任意一點(diǎn)T的坐標(biāo)”這一問題，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義：在單位圓中，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x0實(shí)質(zhì)就是指以O(shè)A為始邊，以O(shè)B為終邊的角，即[）][AOB]=x0，如圖3所示.過點(diǎn)B向x軸作垂線，垂足為M，則線段MB的長即為|sinx0|，對于任意一個橫坐標(biāo)x0，其縱坐標(biāo)我們可以用幾何方法精準(zhǔn)畫出.

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)正弦函數(shù)的定義確定一個點(diǎn)T（x0，sinx0）的位置，強(qiáng)化學(xué)生對點(diǎn)T（x0，sinx0）的理解，為后續(xù)刻畫其他點(diǎn)做準(zhǔn)備.這一環(huán)節(jié)以問題為導(dǎo)向，以活動任務(wù)為驅(qū)動，展開師生互動.這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生看到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對新知進(jìn)行深度思考.

活動3：類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象？

根據(jù)學(xué)生的完成情況，教師用幾何畫板展示上述兩種繪圖過程（多媒體展示，讓學(xué)生欣賞作圖過程，體會作圖的精確性）.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的重點(diǎn)是畫正弦函數(shù)的圖象，從抽象的概念到具體圖象的形成，既培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識，又促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)與數(shù)學(xué)思想方法的形成，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、樂于合作的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.通過課件演示，教師讓學(xué)生直觀感受正弦函數(shù)圖象的形成過程，并讓學(xué)生親自動手實(shí)踐，體會數(shù)與形的完美結(jié)合.

師生互動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象.學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象上，（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）五個點(diǎn)對正弦函數(shù)形狀的確定起著關(guān)鍵性作用.在坐標(biāo)系中描出這五個點(diǎn)，根據(jù)圖象的走勢，再用平滑的曲線將其連接起來即可得到函數(shù)圖象.這種方法叫“五點(diǎn)（作圖）法”.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，歸納得出“五點(diǎn)（作圖）法”在畫正弦函數(shù)圖象中的作用.這是本節(jié)課的一大重點(diǎn)，也是后續(xù)畫任意一個三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ).教師應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的圖象特征，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

師：根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，請同學(xué)們畫出正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象.

師生互動：學(xué)生畫圖，教師予以指導(dǎo)和點(diǎn)評.終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以只要將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平行移動（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx、x∈R的圖象，讓學(xué)生體會圖象從部分到整體的變化過程，體會化復(fù)雜為簡單的化歸思想.

畫出完整的圖象以后，教師指出，正弦函數(shù)的圖象叫正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

師：請同學(xué)們思考在研究完正弦函數(shù)圖象后，如何研究余弦函數(shù)圖象呢？

生：通過誘導(dǎo)公式cosx=sin（x+），可以實(shí)現(xiàn)兩者之間的轉(zhuǎn)化.

師：根據(jù)上述問題，思考正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖象有什么關(guān)系？

生：根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx=sin（x+），我們把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位以后，即可得到余弦函數(shù)y=cosx的圖象.（教師用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，如圖4）

師：如圖5，類比正弦函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)，找出余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上相應(yīng)的五個關(guān)鍵點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生熟悉圖象特征后，教師引出余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上相應(yīng)的五個關(guān)鍵點(diǎn)：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1），在精確度要求不太高時，只要畫出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，余弦函數(shù)的圖象就基本確定了.

師：類似于用“五點(diǎn)（作圖）法”畫正弦函數(shù)的圖象，你能找出余弦函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上相應(yīng)的五個關(guān)鍵點(diǎn)嗎？可以畫出y=cosx，x∈[-π，π]的簡圖嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互關(guān)系，在類比的過程中，教師畫出余弦函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系和類比的數(shù)學(xué)思想.

追問：如何用“五點(diǎn)（作圖）法”畫出下列函數(shù)的簡圖？

（1）y=1+sinx，x∈[0，2π];

（2）y=-cosx，x∈[0，2π].

師生活動：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后就解題思路和結(jié)果進(jìn)行展示交流.教師點(diǎn)評并給出規(guī)范的解答過程.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過例題檢驗(yàn)學(xué)生對“五點(diǎn)（作圖）法”的掌握情況，鞏固畫圖步驟.通過分析圖象變換，教師深化學(xué)生對三角函數(shù)圖象關(guān)系的理解，并為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)作鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

課堂小結(jié)：教師先讓學(xué)生回憶本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓其自行總結(jié)歸納并回答，再補(bǔ)充完善.

【設(shè)計(jì)意圖】對課堂知識和思想的總結(jié)，能加深學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的理解，提升學(xué)生的概括能力，養(yǎng)成學(xué)習(xí)-總結(jié)-學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)和語言表達(dá)的能力，促使其自主構(gòu)建知識體系.

作業(yè)布置：

（1）必做題：①課本34頁練習(xí)1;②用“五點(diǎn)（作圖）法”畫出y=sin2x，x∈[0，π]的圖象.

（2）思考題：用“五點(diǎn)（作圖）法”畫出y=sin（2x+），x∈[0，π]的圖象并思考其可由y=sin2x，x∈[0，π]的圖象如何變換而來？

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)的布置旨在增強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)新知的遷移與應(yīng)用.通過分層作業(yè)的布置，充分激發(fā)不同層次學(xué)生的潛能與積極性，促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，注重學(xué)生的個體發(fā)展，使每個層次的學(xué)生都有所進(jìn)步.

三、教學(xué)反思

1.以教學(xué)目標(biāo)為指引，以問題為主線設(shè)計(jì)教學(xué)活動

整堂課以預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)為指引，以問題串的形式展開，小組合作探究完成具體的實(shí)踐活動.學(xué)生在課堂上進(jìn)行了深度思考、真正參與到課堂活動中來，無論是從思維層面，還是理論層面，都得到了提升，增強(qiáng)了分析問題和解決問題的能力，調(diào)動了學(xué)習(xí)的積極性和主動性.這堂課真正體現(xiàn)了“教師只是課堂活動的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生才是課堂的中心”這一基本理念.

2.以問題為導(dǎo)向，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)

通過以問題為導(dǎo)向的深度學(xué)習(xí)，學(xué)生才能真正進(jìn)行深度思考與深度理解.在這個過程中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，要讓學(xué)生學(xué)會主動學(xué)習(xí).隨著問題與活動的開展，教師應(yīng)將學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信心引到一個新的高度.精心設(shè)計(jì)的教學(xué)問題與實(shí)踐活動，具有啟發(fā)與指導(dǎo)作用.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，逐漸感受到數(shù)學(xué)的趣味性，體會數(shù)學(xué)研究的價值，從而提高學(xué)科核心素養(yǎng).

為了促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮學(xué)科特點(diǎn)，積極挖掘教材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)問題.在教學(xué)實(shí)踐中，教師可通過適當(dāng)引導(dǎo)，喚起學(xué)生的已有認(rèn)知，建立起新舊知識間的橋梁，從而使學(xué)生掌握知識的本質(zhì)，在問題的解決中體會數(shù)學(xué)的價值，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的要求.

【本文系2023年度曲靖市教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究”（課題編號：QJ2023YB26）的研究成果】