和二斌 馬慶修 張文杰

摘要：在信號與系統(tǒng)課程的教學(xué)過程中，應(yīng)用Matlab能夠有效地處理教學(xué)中的各種問題。Matlab軟件直觀生動的圖形顯示功能和強(qiáng)大的計算能力可以將抽象的問題以圖形的方式展現(xiàn)出來并減輕復(fù)雜的計算過程，有助于抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)興趣，在信號與系統(tǒng)的教學(xué)過程中發(fā)揮著重要的作用。文章依據(jù)現(xiàn)有教材中的課后習(xí)題，通過建立所研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計算能力，探討連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)不同求解方法的特點(diǎn)，提高學(xué)生對相關(guān)知識領(lǐng)域的認(rèn)識和解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞：Matlab；信號與系統(tǒng)；時域分析；頻域分析；零狀態(tài)響應(yīng)

中圖分類號：TP391.9? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）08-0138-05

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）

0 引言

信號與系統(tǒng)是電子信息及通信類專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)核心課程的重要先修課程。該課程的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，為進(jìn)一步研究控制理論、通信理論、信號檢測和信號處理等內(nèi)容奠定必要的基礎(chǔ)。該課程的學(xué)習(xí)需要深厚的數(shù)學(xué)知識，并要求深刻理解其中蘊(yùn)含的信號概念和原理來解決實際的問題，這些都給課程的教學(xué)帶來了一定的困難。

如何積極有效地開展信號與系統(tǒng)課程教學(xué)是目前任課教師需要面對的一個問題。傳統(tǒng)的教學(xué)方式主要依靠課堂講授，課后做大量習(xí)題的方法來鞏固教學(xué)內(nèi)容，雖然學(xué)生能夠掌握一些計算方法，但是冗繁的計算過程阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，很難在數(shù)學(xué)理論、信號概念和工程應(yīng)用之間建立緊密的關(guān)聯(lián)[1-3]。信號與系統(tǒng)課程內(nèi)容繁多而教學(xué)時間有限，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該適當(dāng)弱化冗繁的計算過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用的緊密聯(lián)系[4]。此外，在對系統(tǒng)響應(yīng)的求解過程中，只有少數(shù)簡單問題才有解析解，多數(shù)問題求解需要采用數(shù)值計算方法，限制了學(xué)生探索課程實際應(yīng)用價值的積極性。因此，在教學(xué)過程中通過選擇能夠涵蓋多個關(guān)鍵知識點(diǎn)的經(jīng)典例題進(jìn)行仿真，不僅能夠避免繁雜的計算過程，還可以加深學(xué)生對多個方法概念之間關(guān)聯(lián)性的理解，取得事半功倍的效果。

隨著Matlab在課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，其強(qiáng)大的計算能力和圖像顯示功能增強(qiáng)了學(xué)生對信號與系統(tǒng)課程的認(rèn)識，極大地擴(kuò)展了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，提高了教學(xué)質(zhì)量[5-11]。在該課程的教學(xué)過程中，求解線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是課程中的重要部分，零狀態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)的響應(yīng)完全由激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)，在教材中涉及多種零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法，這些不同的求解方法在求解零狀態(tài)響應(yīng)方面的特點(diǎn)是需要深刻認(rèn)識的一個問題。文章利用Matlab在不同的計算方法下求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，能夠直觀地展示不同方法所具有的特點(diǎn)，深化學(xué)生對不同求解方法的認(rèn)識，提高學(xué)生應(yīng)用這些方法解決實際問題的能力。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

本文以北京交通大學(xué)陳后金教授主編教材《信號與系統(tǒng)》（第三版，清華大學(xué)出版社）第114頁習(xí)題M3-10為例[12]，題干如下（略改動）：如圖 1所示，雙彈簧振子力學(xué)系統(tǒng)中振子質(zhì)量為m=1 kg ，彈簧的彈性系數(shù)分別為ks1=2 N/m和ks2=4 N/m，物體與地面的摩擦系數(shù)為fd=5 N·s/m，物體m在外力f（t）=cos（t）的作用下位移為y（t），系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，寫出系統(tǒng)的微分方程并計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y（t）。

在該系統(tǒng)中，除外力f（t）外，還有三種類型的力影響物體的運(yùn)動，分別是物體與地面的摩擦力、彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力和運(yùn)動物體的慣性力，系統(tǒng)中的四種力是平衡的，振子運(yùn)動微分方程的一般形式可表示為公式（1）：

[md2（y）dt2+fddy（t）dt+（ks1+ks2）y（t）=f（t）] （1）

將相關(guān)參數(shù)帶入式（1）后，可得該力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為公式（2）：

[d2（y）dt2+5dy（t）dt+6y（t）=cos（t）] （2）

由該微分方程可知，該力學(xué)系統(tǒng)為二階連續(xù)線性時不變系統(tǒng)，f（t）為輸入激勵信號，y（t）為系統(tǒng)在激勵信號f（t）作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。針對上述例題的Matlab仿真求解可以采用多種方法，以下將分別對不同的求解方法的特點(diǎn)進(jìn)行分析。

2 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時域求解

2.1 零狀態(tài)響應(yīng)的符號解

微分方程的符號解又稱為解析解，是指能夠用一個含有符號變量的解析式精確表示的解，相對于數(shù)值解有更高的精度。線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個線性常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程的一般理論，該類方程總是有符號解。本例題所描述系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)符號解的Matlab源代碼及圖像如圖 2所示：

clc; clear;clf;

syms t y;

yt=dsolve（'1*D2y+5*Dy+6*y=cos（t）'，'y（0）=0，Dy（0）=0'）;

figure（1）

ft=cos（t）;

subplot（1，2，1）

h1=ezplot（t，ft，[0 8*pi]）;

axis（[0 8*pi -1.2 1.2]）;axis square;grid on

text（0.3，1.1，'（a）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]，'ytick'，[-1 -0.5? 0 0.5 1]）

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'fontsize'，20，'FontName'，'Times New Roman'）;

set（h1，'color'，'k'，'linewidth'，2）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'＼itf（t）'）;delete（get（gca，'title'））

subplot（1，2，2）

h2=ezplot（yt，[0 8*pi]）;

axis（[0 8*pi -0.15 0.15]）;axis square;grid on

text（0.3，0.135，'（b）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]，'ytick'，[-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15]）;

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'fontsize'，20，'FontName'，'Times New Roman'）;

set（h2，'color'，'k'，'linewidth'，2）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'＼ity（＼itt）'）;delete（get（gca，'title'））

從圖 2可以直觀地看出，系統(tǒng)在周期激勵信號f（t）=cos（t）的作用下（圖 2 （a）），系統(tǒng)的輸出很快進(jìn)入一個穩(wěn)定震蕩的狀態(tài)（圖 2 （b））。系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，暫態(tài)響應(yīng)隨著時間的增加而衰減趨于零，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不隨著時間的增加而衰減趨于零。在零狀態(tài)響應(yīng)的符號解中，可以根據(jù)解的函數(shù)形式確定系統(tǒng)輸出的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（圖 2 （c））。如在本題中，系統(tǒng)響應(yīng)符號解的形式為公式（3）， 通過輸出的形式可以確定暫態(tài)響應(yīng)為公式（4），穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為公式（5）。在采用符號法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)具有一定的局限性，若描述系統(tǒng)的微分方程中激勵信號較復(fù)雜，則難以求出其解析解。

[y=310e-3t-25e-2t+210cost-π4] （3）

[yt=310e-3t-25e-2t] （4）

[ys=210cost-π4] （5）

2.2 lsim函數(shù)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

在系統(tǒng)的激勵信號較復(fù)雜的情況下，通常采用數(shù)值方法求出系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)。lsim函數(shù)能夠模擬動態(tài)系統(tǒng)對任意輸入零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解，其調(diào)用格式為y=lsim（b，a，f，t），式中，b和a為微分方程右端和左端各項的系數(shù)向量，f為系統(tǒng)輸入信號向量，t表示計算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量，該函數(shù)的使用可以不受信號形式的約束，即信號不能用解析式表達(dá)的情況下可以使用該函數(shù)。使用lsim函數(shù)求解零狀態(tài)響應(yīng)數(shù)值解的Matlab源代碼及圖像如圖 3所示：

a=[1 5 6]; b=1; ts=0;dt=0.001; te=8*pi;

t=ts：dt：te; ft2=cos（t）;

yt2=lsim（b，a，ft2，t）;

figure（2）

subplot（1，2，1）

plot（t，yt2，'k-'，'linewidth'，1.0）

axis（[0 8*pi -0.15 0.15]）;axis square;grid on

text（0.3，0.13，'（a）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]）;

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'fontsize'，20，'fontname'，'times new roman'）;

xlabel（'Time（t）'），ylabel（'＼ity（＼itt）'）;axis square;

as=eval（yt）;

subplot（1，2，2）

plot（t，abs（as-yt2'），'k-'，'linewidth'，1.0）

axis（[0 8*pi 0 1.5e-8]）;axis square;grid on

text（0.3，1.40e-8，'（b）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'， [0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]，'fontsize'，20，'fontname'，'times new roman'）;

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

xlabel（'Time（t）'），ylabel（'|＼Deltay（＼itt）|'）;

圖 3（a）表示系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解，其精度低于解析解，圖 3（b）表示兩種求解方法差的絕對值，由圖可知計算誤差非常小。通過數(shù)值計算的方法可以求出任意激勵信號的輸出，但是不能區(qū)分信號中的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2.3 零狀態(tài)響應(yīng)的卷積求解

連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)還可以通過輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分進(jìn)行計算[13]。首先使用impulse函數(shù)計算系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的數(shù)值解向量（圖 4 （a）） ，再使用輸入信號向量與沖激響應(yīng)向量進(jìn)行卷積，求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（圖 4 （b）） 。使用卷積方法求解零狀態(tài)響應(yīng)的Matlab源代碼如下：

h=impulse（b，a，t）;

figure（3）

subplot（1，3，1）

plot（t，h，'k-'，'LineWidth'，1.0）

axis（[-0.5 8*pi 0 0.15]）;axis square;grid on

text（0.9，0.14，'（a）'，'FontSize'，15）

set（gca，'FontSize'，20，'Xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]）;

set（gca，'XtickLabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，20，'FontName'，'Times New Roman'）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'h（＼itt）'）;

yj=dt*conv（h，ft2）;

subplot（1，3，2）

plot（t，yj（1：25133），'k'，'LineWidth'，1.0）

axis（[0 8*pi -0.15 0.15]）;axis square;grid on

text（0.9，0.13，'（b）'，'FontSize'，15）

set（gca，'FontSize'，20，'Xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]）;

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，20，'FontName'，'Times New Roman'）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'y（＼itt）'）;

subplot（1，3，3）

plot（t，abs（as-yj（1：25133）），'k'，'linewidth'，1.0）;

axis（[-0.5 8*pi 0 0.8e-4]）;axis square;grid on

text（0.9，7.5e-5，'（c）'，'fontsize'，15）

set（gca，'FontSize'，20，'Xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]，'FontName'，'Times New Roman'）;

set（gca，'XtickLabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'|＼Deltay（＼itt）|'）;

從計算結(jié)果可以看出，卷積的數(shù)值計算得到的誤差要大于使用lsim函數(shù)計算的結(jié)果（圖 4（c）），其優(yōu)點(diǎn)主要在于只要知道系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，將輸入信號與沖激響應(yīng)進(jìn)行卷積積分就可以得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，卷積運(yùn)算能夠更好地反應(yīng)信號的特征。

3 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的頻域求解

系統(tǒng)的頻域分析是將信號從時域通過傅里葉變換，分解成多個虛指數(shù)周期信號的和，得到信號的頻譜，然后求系統(tǒng)對各頻率虛指數(shù)信號的響應(yīng)，得到輸出信號的頻譜，最后通過傅里葉反變換，求得輸出信號的時域表示[14-15]。頻域分析方法避開了微分方程的求解和卷積積分的計算，容易求得系統(tǒng)的響應(yīng)。進(jìn)行傅里葉變化的基本思路如下：

（1） 首先對輸入的時域信號f（t）=cos（t）進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻域表達(dá)式F（jω）（公式6） ：

[F（jω）=-∞∞f（t）·e-jωtdt=πδ（ω-1）+δ（ω+1）] （6）

（2） 連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為線性常系數(shù)微分方程，如公式（7）所示，對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行傅里葉變換，并利用傅里葉變換的時域微分特性，可得公式（8），其中F（jω）為輸入信號的傅里葉變換，Y（jω）為輸出信號的傅里葉變換。通過傅里葉變換，可將系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由時域微分方程轉(zhuǎn)為頻域描述的多項式方程，通過變換可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如公式（9）所示。

[md2（y）dt2+fddy（t）dt+（ks1+ks2）y（t）=f（t）] （7）

[m（jω）2+fd（jω）+ks1+ks2·Y（jω）=F（jω）] （8）

[H（jω）=Y（jω）F（jω）=1m（jω）2+fd（jω）+ks1+ks2] （9）

（3） 根據(jù)頻率響應(yīng)與輸入信號頻譜和輸出信號頻譜的關(guān)系，可得輸出信號的頻譜可以表示為公式（10）， 輸出的時域信號y（t）為其頻域信號Y（jω）的傅里葉反變換（公式11）。

[Y（jω）=F（jω）H（jω）] （10）

[f（t）=12π-∞∞Y（jω）ejωtdω] （11）

Matlab源代碼及圖像如圖 5所示：

clc;clear

w=-3*pi：0.1：3*pi;

b=1; a=[1，5，6];

H=freqs（b，a，w）;

figure（4）

subplot（2，2，1）;

plot（w，abs（H），'k'，'Linewidth'，1.0）;

axis（[-3*pi 3*pi 0 0.2]）;axis square;grid on

text（-8.5，0.185，'（a）'，'FontSize'，15）

set（gca，'Xtick'，[-3*pi -2*pi -pi 0 pi 2*pi 3*pi]）;

set（gca，'XtickLabels'，{'-3＼pi'，'-2＼pi'，'-＼pi'，'0'，'＼pi'，'2＼pi'，'3＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，15，'FontName'，'Times New Roman'）

xlabel（'＼omega（rad/s）'）;ylabel（'|＼itH（＼rmj＼omega）|'）

subplot（2，2，2）

plot（w，angle（H），'k'，'Linewidth'，1.0）;

axis（[-3*pi 3*pi -3.5 3.5]）;grid on;axis square

text（-8.5，3.0，'（b）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'，[-3*pi -2*pi -pi 0 pi 2*pi 3*pi]）;

set（gca，'xticklabels'，{'-3＼pi'，'-2＼pi'，'-＼pi'，'0'，'＼pi'，'2＼pi'，'3＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，15，'FontName'，'Times New Roman'）

xlabel（'＼omega（rad/s）'）;ylabel（'＼phi（＼omega）'）;

syms t w;

ft=cos（t）;

subplot（2，2，3）

h1=ezplot（t，ft，[0 8*pi]）;

axis（[0，8*pi，-1.2，1.2]）;axis square;grid on

text（1.5，1.0，'（c）'，'FontSize'，15）

set（gca，'Xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]）;

set（gca，'XtickLabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，15，'FontName'，'Times New Roman'）

set（h1，'color'，'k'，'LineWidth'，1.0）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'＼itf（t）'）

subplot（2，2，4）

F=fourier（ft）;

H=1/（1*（1i*w）^2+5*1i*w+6）;

Y=F*H;

y=ifourier（Y，t）;

h2=ezplot（y，[0 8*pi]）;

axis（[0 8*pi -0.16 0.16]）;axis square;grid on

text（1.5，0.13，'（d）'，'fontsize'，15）

set（gca，'xtick'，[0 2*pi 4*pi 6*pi 8*pi]）;

set（gca，'xticklabels'，{'0'，'2＼pi'，'4＼pi'，'6＼pi'，'8＼pi'}）;

set（gca，'FontSize'，15，'FontName'，'Times New Roman'）

set（h2，'Color'，'k'，'LineWidth'，1.0）

xlabel（'Time（s）'）;ylabel（'＼ity（t）'）

系統(tǒng)的頻域分析首先需要對輸入的時域信號進(jìn)行傅里葉變換得到其頻域表達(dá)式，還需要對輸出的頻域信號進(jìn)行傅里葉反變換得到輸出的時域表達(dá)式，需要經(jīng)過兩次變換計算，計算量比較大。但是在很多工程應(yīng)用當(dāng)中，只需得到響應(yīng)信號的頻譜，可以減少計算量。通過比較時域分析和頻域分析所得到的輸出信號，可以發(fā)現(xiàn)三種時域分析方法所得到的結(jié)果相同，而通過頻域分析得到的輸出信號為一個穩(wěn)態(tài)輸出，這是因為在頻域分析中，輸入的周期信號是從無窮遠(yuǎn)的過去開始，一直到無窮遠(yuǎn)的將來，橫跨整個時間軸，所以得到的結(jié)果中只存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，不存在暫態(tài)響應(yīng)，這是頻域分析和時域分析的不同之處。

4 總結(jié)

本文通過具體例子介紹了Matlab在求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的一些具體方法，通過這些方法的介紹，揭示了這些方法在求解零狀態(tài)響應(yīng)過程中各自具備的特點(diǎn)，用實際例子證明將Matlab應(yīng)用于理論教學(xué)的有效性，能夠突出所講授理論的內(nèi)涵，減輕理論講解過程中不必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。將Matlab用于課堂教學(xué)能夠減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)強(qiáng)度和學(xué)習(xí)難度，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，深化學(xué)生對專業(yè)知識的理解，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，使學(xué)生更好地了解并掌握所學(xué)知識點(diǎn)。通過在練習(xí)中擴(kuò)寬深化學(xué)生使用Matlab處理實際問題的能力，使學(xué)生盡快掌握Matlab這一強(qiáng)大的工具，有助于今后的學(xué)習(xí)和工作。

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【通聯(lián)編輯：王 力】