王宗信

圖形與幾何的學(xué)習(xí)非常有趣，同時(shí)也是有規(guī)律的．通過數(shù)量關(guān)系可以判斷圖形的位置關(guān)系，反之，通過圖形的位置關(guān)系也可以確定相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．

一、認(rèn)識(shí)相交線

（一）兩條直線相交形成的四個(gè)角之間的關(guān)系

一條直線與另一條直線相交，形成四個(gè)小于平角的角．

1．鄰補(bǔ)角．

如圖1，D是直線AB上一點(diǎn)，則∠A OB=180。，畫射線OC，如圖2，則∠AOB被分割為兩個(gè)角LAOC與LBOC. LA OC+∠BOC=∠AOB=1800.像∠AOC與∠BOC這樣的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角．兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角要滿足兩個(gè)條件：（1）有一條公共邊（OC為兩個(gè)角的公共邊）；（2）另外一條邊互為反向延長(zhǎng)線．

還可以通過另外一種方法來理解鄰補(bǔ)角，如圖3，已知∠AOC，反向延長(zhǎng)射線OA．得到射線OB與∠BOC，∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角；或者反向延長(zhǎng)射線OC，得到射線OD與∠AOD，∠AOC與∠AOD互為鄰補(bǔ)角．

2．對(duì)頂角，

通過剛才的作圖我們得到：一個(gè)小于180。的角∠AOC，可以畫出它的兩個(gè)鄰補(bǔ)角∠BOC與∠AOD.而且我們知道．∠AOC+∠BOC=∠A OB =180°。，∠AOC+∠AOD=∠COD=180°，根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”，可以得到∠BOC=∠AOD.知圖4，直線AB與CD相交于點(diǎn)D，我們可以發(fā)現(xiàn)∠ BOC與∠AOD不僅大小相等，而且這兩個(gè)角還有特殊的位置關(guān)系：這兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)，∠BOC的兩邊分別是∠AOD的兩邊的反向延長(zhǎng)線．像∠BOC與∠A OD這樣的兩個(gè)角，有公共頂點(diǎn)，其中一個(gè)角的兩邊是另外一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，我們稱之為對(duì)頂角，圖4中還有一對(duì)對(duì)頂角：∠AOC與∠BOD．在上述探究的過程中，得到對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等，

在圖4中，我們還可以發(fā)現(xiàn)，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，一個(gè)周角被分割成四個(gè)小于180。的角：∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD．這四個(gè)角有公共頂點(diǎn)O，它們有兩種位置關(guān)系：

（1）有一條公共邊，互為鄰補(bǔ)角的共有四對(duì)角：①∠AOD與∠AOC；②∠AOC與∠BOC;③∠BOD與∠BOC;④∠BOD與∠AOD.（2）無(wú)公共邊，互為對(duì)頂角的共有兩對(duì)角：①∠AOC與∠BOD；②∠BOC與∠AOD.

在岡5中，∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD四個(gè)角中，只要有一個(gè)角為90。，則這個(gè)角的兩個(gè)鄰補(bǔ)角都是90。，根據(jù)對(duì)頂角相等，這個(gè)角的對(duì)頂角也是90。，也就是說，這四個(gè)角中，只要有一個(gè)角是直角，其他的三個(gè)角也是直角．當(dāng)兩條直線相交時(shí)，形成的四個(gè)角中有一個(gè)角為900，我們就說這兩條直線互相垂直，如圖5．

（二）一條直線與兩條直線相交形成的八個(gè)角之間的關(guān)系

一條直線與兩條直線相交，或者說兩條直線被第三條直線所截，會(huì)形成如圖6所示的八個(gè)角，為了便于表述，我們把直線EF稱為截線，把直線AB，CD稱為被截線．

1．同位角．

同位角，顧名思義是同樣位置的角，同樣位置是指兩個(gè)角都位于截線的同一側(cè)，并且分別在兩條被截線的同一側(cè)．觀察圖6中的∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8.

從圖7、圖8、圖9、圖10中我們可以發(fā)現(xiàn)互為同位角的兩個(gè)角組成的圖形像字母“F”或者字母“F”旋轉(zhuǎn)、翻折之后的形狀．

2．內(nèi)錯(cuò)角，

兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內(nèi)”）并且分別在被截線的兩側(cè)成交錯(cuò)狀（稱之為“錯(cuò)”）的兩個(gè)角為內(nèi)錯(cuò)角．如圖6中的∠3與∠5，∠4與∠6.

我們可以發(fā)現(xiàn)互為內(nèi)錯(cuò)角的兩個(gè)角組成的圖形像字母“Z”或者字母“Z”旋轉(zhuǎn)、翻折之后的形狀．

3．同旁內(nèi)角，

兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內(nèi)”）并且在被截線的同側(cè)的兩個(gè)角為同旁內(nèi)角．如上頁(yè)圖6中的∠3與∠6，∠4與∠5.

我們可以發(fā)現(xiàn)互為同旁內(nèi)角的兩個(gè)角組成的圖形像字母“U”或者字母“U”旋轉(zhuǎn)、翻折之后的形狀，

二、認(rèn)識(shí)平行線

平面內(nèi)不重合的兩條直線不相交，我們就說這兩條直線平行．如何判定兩條直線互相平行呢？

同學(xué)們?cè)谛W(xué)學(xué)過利用直尺和三角尺畫平行線（如圖15）．這種作圖法實(shí)際上就是把直角三角尺的600的角的頂點(diǎn)從點(diǎn)H處平移到點(diǎn)G處，是通過同位角相等，畫出了兩條平行線，我們由此得出一個(gè)判定兩條直線平行的方法：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說成：同位角相等，兩直線平行．

我們可以思考：內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是否可以幫助我們判定兩條直線平行？

圖16中，直線AB，CD被直線EF所截，同位角有四對(duì)：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8．這四對(duì)同位角只要有一對(duì)相等，根據(jù)基本定理，就可以判定直線AB//CD.

圖16中內(nèi)錯(cuò)角有兩對(duì)：∠3與∠5，∠4與∠6.我們鎖定∠3與∠5，猜想：若∠3=∠5，則直線AB與CD平行．若想證明猜想正確，我們應(yīng)想辦法把內(nèi)錯(cuò)角相等轉(zhuǎn)化到同位角相等上來.∠3有沒有同位角？有，∠3的同位角是∠7.∠7與∠5有沒有關(guān)系？有，∠7與∠5是對(duì)頂角．對(duì)頂角有何關(guān)系？對(duì)頂角相等！所以∠7=∠51因?yàn)椤?=∠5，所以∠7=∠3，所以AB//CD.

根據(jù)上述的探究，我們得到：

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

同學(xué)們可以用同樣的思路與方法來探究：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

這就是通過數(shù)量關(guān)系判定圖形的位置關(guān)系的應(yīng)用．反過來，也可以研究?jī)蓷l平行線被第三條直線所截形成的同位角之間的數(shù)量關(guān)系、內(nèi)錯(cuò)角之問的數(shù)量關(guān)系、同旁內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而探索與發(fā)現(xiàn)平行線的性質(zhì)．

試一試

1．（2023年深圳）圖17為商場(chǎng)某品牌椅子的側(cè)面示意圖．若∠DEF=120°．DE與地面AB平行．∠A BD=500．則∠A CB=（ ? ）．

A．70° ? ?B.65°C.60°D.50°

2．（2023年大連）如圖18，若直線AB//CD， ∠A BE=45°. ∠D=20°．則∠E的大小為（ ? ?）．

A．20° ? ?B.25。

C．30° ? ?D.35°

參考答案：1．A2．B