丁振宇 李峰 徐亮亮

文章編號：2096-398X2024）03-0197-06

（1.江蘇理工學院 電氣信息工程學院， 江蘇 常州 213001； 2.常州鐵道高等職業(yè)技術學校， 江蘇 常州 213011）

摘 要：實際工業(yè)過程往往呈現(xiàn)強非線性和時滯特性，在復雜工況下如何建立過程的高精度模型并對其進行有效控制是研究重點.本文研究了一種基于相關分析的非線性系統(tǒng)Wiener模型辨識.Wiener非線性模型由動態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)串聯(lián)組成，利用時滯狀態(tài)空間模型和神經模糊模型分別建立動態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)，并利用設計的組合信號實現(xiàn)Wiener非線性模型分離辨識.首先，利用后移算子的性質，將時滯狀態(tài)空間模型轉化為傳遞函數(shù)模型，在高斯信號作用下利用相關分析方法辨識動態(tài)線性子系統(tǒng)的參數(shù)，解決了Wiener模型中間變量不可測問題.其次，為了改善辨識模型的精度和收斂速度，推導了帶遺忘因子的遞推隨機梯度方法，得到靜態(tài)非線性子系統(tǒng)的參數(shù)估計.將提出的非線性Wiener模型辨識方法運用于連續(xù)攪拌反應釜，實驗仿真結果表明，本文提出的Wiener模型辨識方法能夠有效辨識連續(xù)攪拌反應釜系統(tǒng)，并取得較好的控制效果.

關鍵詞：非線性系統(tǒng)； Wiener模型； 神經模糊模型； 相關分析

中圖分類號：TP273??? 文獻標志碼： A

Identification of Wiener model for nonlinear systems based on correlation analysis and stochastic gradient with forgetting factor

DING hen-yu1，? LI Feng1*， XU Liang-liang2

1.College of Electrical and Information Engineering， Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001， China; 2.Changzhou Railway Higher Vocational and Technical School， Changzhou 213011， China）

Abstract：The actual industrial process often presents strong nonlinearity and strong coupling in operation.How to control the system quickly and accurately under complex working conditions is a current research focus.In this paper，an identification of Wiener model for nonlinear systems based on correlation analysis is studied.The Wiener nonlinear model consists of a dynamic linear subsystem and a static nonlinear subsystem in series，and the dynamic linear subsystem and the static nonlinear subsystem are established by using time-delay state space model and neural fuzzy model respectively，and the Wiener nonlinear model is separated and identified by using the designed combined signal.Firstly，the time-delay state space model is transformed into a transfer function model by using the properties of the backward operator，and the parameters of the dynamic linear subsystem are identified by correlation analysis method under the action of Gaussian signal，which solves the unmeasurable problem of intermediate variables in Wiener model.Secondly，in order to improve the accuracy and convergence speed of the identification model，a recursive stochastic gradient method with forgetting factor is derived to estimate the parameters of the static nonlinear subsystem.The proposed nonlinear Wiener model identification method is applied to continuous stirred tank reactor.The simulation results show that the proposed Wiener model identification method can effectively identify the continuous stirred tank reactor system and achieve better control effect.

Key words：nonlinear system； Wiener model； neuro-fuzzy model； correlation analysis

0 引言

現(xiàn)代生產過程正向大規(guī)模、連續(xù)化、集成化方向發(fā)展，呈現(xiàn)強非線性、時滯、多模態(tài)以及不確定性等復雜特性，這些因素導致難以建立精確的數(shù)學模型.在實際生產過程建模研究中，物理系統(tǒng)建模［1-3］和數(shù)據驅動建模［4-6］已成為兩種主流建模方法.物理系統(tǒng)建模是利用實際過程的物理特征進行建模，需要知道實際過程的知識，而且由于實際生產系統(tǒng)的復雜性和不確定性，因此難以建立高精度的機理模型［7］.數(shù)據驅動建模不需要深入的過程知識，因此受到了廣泛關注［8］.目前應用較為廣泛的數(shù)據驅動模型結構有Volterra級數(shù)［9］、神經網絡［10］、支持向量機［11］、馬爾可夫跳躍系統(tǒng)［12］以及塊結構非線性模型等［13］.

陜西科技大學學報第42卷

第3期丁振宇等：基于相關分析和帶遺忘因子的隨機梯度的非線性系統(tǒng)Wiener模型辨識

在諸如化學過程、生物和生理系統(tǒng)等采用較普遍的是塊結構模型［14］.根據模塊的具體連接形式，塊結構模型可以分為：Hammerstein模型、Wiener模型、以及其組合形式Hammerstein-Wiener模型和Wiener-Hammerstein模型.Wiener模型作為典型的非線性動態(tài)系統(tǒng)，在工業(yè)生產過程中有著廣泛的應用，如pH中和過程［15］、連續(xù)攪拌反應釜［16］、蒸餾塔［17］以及three-tank模型［18］等，因此本文主要探討Wiener模型的辨識問題.

Wiener模型由一個動態(tài)線性子系統(tǒng)和一個靜態(tài)非線性子系統(tǒng)串聯(lián)而成，通常用來描述在輸出部分存在非線性元素的系統(tǒng).近年來，Wiener模型的參數(shù)估計問題在系統(tǒng)辨識領域越來越得到關注.針對一類非線性Wiener時不變系統(tǒng)，Dong等［19］提出了一種帶遺忘因子的遞推最小二乘算法，改善了參數(shù)辨識精度.考慮到Wiener系統(tǒng)辨識的過參數(shù)和最小二乘精度低的問題，文獻［20］提出了一種基于分解技術的多新息最小二乘辨識方案.針對傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法無法解決新息向量包含中間不可測變量的問題，文獻［21］結合關鍵項原理，采用啟發(fā)式粒子群算法辨識Wiener模型參數(shù).在各類實際生產中，由于信號在采集、傳輸和接收等過程都需要消耗一定的時間，導致系統(tǒng)的輸出和輸入之間往往會產生時間上的延遲，即時滯現(xiàn)象［22］.這種現(xiàn)象對系統(tǒng)參數(shù)辨識存在一定的影響，因此在系統(tǒng)辨識中考慮時滯對系統(tǒng)的影響至關重要.針對具有時滯的非線性系統(tǒng)，Atitallah等［23］將時滯項歸入Wiener模型的線性子系統(tǒng)中，在此基礎上利用基于遞推最小二乘的優(yōu)化技術解決參數(shù)辨識問題.文獻［24］提出了一種基于遞階梯度的算法，同時辨識線性和非線性子系統(tǒng)的參數(shù)以及Wiener模型的時滯.上述提到的各類方法有效解決了Wiener模型的參數(shù)辨識問題，但是研究中都利用多項式擬合Wiener模型的非線性子系統(tǒng)，在擬合復雜不連續(xù)非線性函數(shù)時，隨著多項式階次增加其逼近能力達到飽和.此外，在辨識過程中設置非線性模塊的首項參數(shù)為1，在此條件下分離出線性和非線性模塊的參數(shù)值，降低了模型辨識精度，且具有一定的局限性.

針對上述問題，本文提出了一種基于神經模糊Wiener模型的非線性系統(tǒng)辨識方法.首先，利用帶時滯的狀態(tài)空間模型和神經模糊網絡模型分別建立Wiener模型的動態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng).其次，根據可分離信號在靜態(tài)非線性系統(tǒng)下的相關函數(shù)特性設計組合信號，解決了Wiener模型中間變量信息不可測問題.此外，基于組合信號的輸入輸出數(shù)據，利用相關性分析法和帶遺忘因子的遞推隨機梯度方法分別辨識Wiener模型的動態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)，實現(xiàn)參數(shù)分離辨識.最后，將提出的辨識方法用于CSTR過程的控制.

1 含輸出噪聲干擾的Wiener模型

圖1顯示了一類輸出噪聲干擾的Wiener模型，其中動態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)分別利用時滯狀態(tài)空間模型和神經模糊網絡模型建立.

根據圖1，Wiener模型的輸入/輸出數(shù)學表達式為：

xk+1）=Axk）+Bxk－1）+huk）

vk）=cxk）

yk）=fvk））+ek）（1）

式（1）中：xk）是狀態(tài)變量，A∈Rn×n，B∈Rn×n，h∈Rn×1以及c∈R1×n是狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣或向量，vk）為中間不可測變量，ek）代表白噪聲，f·）表示靜態(tài)非線性子系統(tǒng).

根據單位后移算子的性質，可以將時滯狀態(tài)空間模型轉換成傳遞函數(shù)模型，基于文獻［25］的研究，得到如下引理.

引理1 對于圖1所示的時滯狀態(tài)空間模型，動態(tài)線性子系統(tǒng)的輸入輸出關系可以用式（2）描述：

vk）=cz2I－Az－B）－1hzuk）=z－2ncadj［z2I－Az－B］hzz－2ndet［z2I－Az－B］uk）=bz）az）uk）（2）

式（2）中：az）=z－2ndet［z2I－Az－B］=1+a1z－1+…+a2nz－2n，bz）=z－2n+1cadj［z2I－Az－B］h=b1z－1+…+a2n－1z－2n－1）.

根據圖1和上述結論，本文提出的Wiener模型的輸入輸出關系可以被表述為：

vk）=bz）az）uk）（3）

yk）=fvk））+ek）（4）

式（3）、（4）中：f·）表示靜態(tài)非線性子系統(tǒng)，vk）代表中間不可測變量，az）=1+a1z－1+…+anaz－na，bz）=b1z－1+…+bnbz－nb，na和nb都是模型的階次.

本文采用神經模糊網絡擬合Wiener模型的靜態(tài)非線性子系統(tǒng)，結構如圖1所示，因此：

ηk）=fvk））=∑Ll=1φlvk））wl（5）

式（5）中：φlvk））=μlvk））∑Ll=1μlvk）），μlvk））=exp－vk）－cl）2σ2l，cl和σl分別是隸屬度函數(shù)的中心和寬度，wl表示權重，L是模糊規(guī)則數(shù).

對于給定的ε，Wiener模型的參數(shù)要滿足下述條件：

E[Af^][Av^]k），[Aa^]z），[Ab^]z）=12N∑Nk=1[JByk）－[Ay^]k）]2≤εs.t.

[Av^]k）=[Ab^]z）[Aa^]z）uk）[Aη^]k）=[Af^][Av^]k））[Ay^]k）=[Aη^]k）+ek）（6）

式（6）中：ε表示給定的閾值，N是輸入輸出數(shù)據的數(shù)目，符號^表示估計.

2 基于Wiener模型的兩階段系統(tǒng)辨識

根據前期的研究可以得知，如果輸入信號是滿足uk）～0， σ2u）的高斯信號，動態(tài)線性子系統(tǒng)的輸出是方差不同的高斯信號，滿足可分離信號的特征，能夠實現(xiàn)動態(tài)線性子系統(tǒng)L·）和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)f·）參數(shù)的分離辨識［26］，本文將組合式信號拓展到Wiener模型CSTR系統(tǒng)模型中，利用可分離輸入信號及其輸出辨識動態(tài)線性子系統(tǒng).

引理2 對于式（1）中描述的Wiener模型，如果輸入信號是零均值的可分離信號，那么存在一個常數(shù)使得如下關系成立：

Ryuτ）=b0Gq）Ruτ）（7）

式（7）中：R·）表示相關函數(shù)，Ryuτ）=Eyk）uk－τ）），Ruτ）=Euk）uk－τ）），b0=Eyk）vk））Evk）vk）），Gz）=bz）az）=b1z－1+b2z－2+…+bnbz－nb1+a1z－1+a2z－2+…+anaz－na.

關于引理2的證明可以參考前期的研究［26］，本文省略證明.

2.1 動態(tài)線性子系統(tǒng)辨識

將式（7）展開可知：

Ryuτ）=－∑nai=1aiRyuτ－i）+b0∑nbj=1bjRuτ－j）（8）

令bj=b0bj，可得：

Ryuτ）=－∑nai=1aiRyuτ－i）+∑nbj=1bjRuτ－j）（9）

利用相關性分析法辨識動態(tài)線性子系統(tǒng)的參數(shù)，設τ=1，2，…，PP≥na+nb），則：

[Aθ^]=RψTψψT－1（10）

式（10）中：[Aθ^]=[Aa^]1，[Aa^]2，…，[Aa^]na，[Ab^]1，[Ab^]2，…，[Ab^]nb]，R=[JBRyu1），Ryu2），…，RyuP）]，

ψ=－Ryu0）－Ryu1）…－RyuP－1）0－Ryu0）…－RyuP－2）00…－RyuP－na）

Ru0）Ru1）…RuP－1）0Ru0）…RuP－2）00…RuP－nb）].

這里用式（11）計算Ryuτ）和Ruτ）：

Ryuτ）=1N∑Nk=1yk）uk－τ）Ruτ）=1N∑Nk=1uk）uk－τ）（11）

2.2 靜態(tài)非線性子系統(tǒng)辨識

本文采用四層神經模糊模型擬合Wiener模型的靜態(tài)非線性子系統(tǒng)［27］，首先基于動態(tài)線性子系統(tǒng)辨識得到的參數(shù)得到中間變量的估計值[Av^]，并利用聚類算法［28］估計神經模糊模型的中心cl和寬度σl，根據式（4）和式（5）可以將神經模糊Wiener模型的輸出表示為：

yk）=∑Ll=1φlvk））wl+ek）（12）

式（12）可以簡化為：

yk）=φTk）+ek）（13）

式（13）中：

φk）=［φ1vk），φ2vk），…，φLvk））］T∈RL，=［w1，w2，…，wL］T∈RL.

定義如下準則函數(shù)：

J=∑Nk=1［yk）－φTk）[A^]］2（14）

極小化準則函數(shù)，利用隨機梯度算法可以得到靜態(tài)非線性子系統(tǒng)的參數(shù)估計.為了提高參數(shù)辨識精度和收斂速度，在遞推隨機梯度算法中引入遺忘因子，推導了如下帶遺忘因子的遞推隨機梯度方法：

[A^]k）=[A^]k－1）+[Aφ^]k）rk）[JByk）－[Aφ^]k）[A^]k－1）]（15）

rk）=rk－1）σ+‖[Aφ^]k）‖2（16）

[Aφ^]k）=［φ1[Av^]k），φ2[Av^]k），…，φL[Av^]k））］T（17）

[A^]k）=［w1，w2，…，wL］T∈RL（18）

綜上所述，基于神經模糊Wiener模型的非線性模型的辨識方法概括為如下步驟：

Step 1 將時滯狀態(tài)空間模型轉換成傳遞函數(shù)模型，基于可分離信號的輸入/輸出數(shù)據，利用相關性分析法辨識線性子系統(tǒng)的參數(shù).

Step 2 在隨機信號作用下，利用聚類算法計算隸屬度函數(shù)的cl和寬度σl.

Step 3 將隨機信號及其產生的輸出分別作為Wiener模型的輸入和輸出，利用帶遺忘因子的遞推隨機梯度方法估計非線性子系統(tǒng)參數(shù).

3 仿真結果與分析

本文選取了一個連續(xù)攪拌反應釜（Continuous Stirred Tank Reactor， CSTR）過程作為研究對象［29］，其反應在恒溫反應器中進行.在CSTR的動力學方程中，濃度CA對時間的導數(shù)表示非線性系統(tǒng)，濃度CB對時間的導數(shù)表示線性系統(tǒng).反應的流程示意圖和變量初值如圖2和表1所示.該反應的過程可以量化為式（19）和式（20）.

dCAdt=－k1CA－k3C2A+FVCAf－CA）（19）

dCBdt=k1CA－k2CB+FVCB（20）

式（19）、（20）中：CA和CB分別是物質A、B的濃度，F(xiàn)表示流速，CAf是物質A的進料濃度，V是反應器的體積，k1，k2和k3為動力學參數(shù).

利用滿足N0， 1）的高斯信號和幅值在［-1，1］區(qū)間內的隨機信號構成的組合式信號源，定義噪信比δns=varek）/varηk）×100%，對系統(tǒng)的輸出加上3.42%的白噪聲干擾，并使用u=F－34.3）/34.3和y=CB－1.12）/1.12歸一化系統(tǒng)的輸入輸出，部分輸入輸出信號圖如圖3所示.

圖3 組合信號的部分輸入輸出

首先，利用相關性分析法辨識Wiener模型的動態(tài)線性子系統(tǒng)參數(shù)，辨識結果為：

a=［a1，a2，a3，a4］=? ［0.936 4，0.333 1，0.356 5，0.001 7］

b=［b1，b2，b3］=? ［－0.038 5，0.037 4，0.036 0］

因此，動態(tài)線性子系統(tǒng)的輸入輸出關系可以寫成：

vk）=bz）az）uk）

az）=1+0.936 4z－1+0.333 1z－2－0.356 5z－3－0.001 7z－4

bz）=－0.038 5z－1+0.037 4z－2+0.036 0z－3

其次，設置參數(shù)S0=0.999，ρ=1.0，λ=0.02，σ=0.9，利用聚類的帶遺忘因子的隨機梯度方法辨識神經模糊模型的中心cl，寬度σl和權重wl.

非線性部分的擬合效果如圖4所示.圖4中還給出了使用Wiener模型隨機梯度（Wiener-based Stochastic Gradient， WSG）方法的辨識效果［30］，與隨機梯度方法對比，本文提出的方法精度更高、擬合效果更好.

最后，用得到的基于神經模糊網絡的Wiener模型，設計如圖5所示的控制方案，并將控制器用于CSTR過程，控制器設計見式（21）所示：

uk）=uk－1）+C[JBek）－ek－1）+ek）τI]（21）

式（21）中：ek）=r*dk）－[Av^]k），C=0.8，τI=5.

文獻［31］提出了一種基于極點配置控制器的Hammestein模型控制系統(tǒng)，本文將該控制器引入Wiener模型中作對比.

圖6和圖7給出了不同設定值下的控制效果，相比傳統(tǒng)的PI控制器和基于Wiener的極點配置控制器，本文設計的控制器響應速度更快，能更快速地達到設定值；傳統(tǒng)的PI控制器和基于Wiener的極點配置控制器出現(xiàn)了較大的超調量，并呈現(xiàn)多次震蕩，不符合實際生產過程的要求，而本文設計的控制器在響應速度快的同時有更小的超調量，因此，本文設計的控制器控制效果要優(yōu)于傳統(tǒng)PI控制器和基于Wiener的極點配置控制器.

4 結論

本文提出了一種基于相關分析的非線性系統(tǒng)Wiener模型辨識，能夠對復雜非線性系統(tǒng)進行有效辨識和控制.利用高斯信號和隨機信號設計組合式信號，利用神經模糊Wiener模型建立具有分離辨識特征的復雜非線性動態(tài)系統(tǒng)模型，運用提出的兩階段辨識方法辨識神經模糊Wiener模型.仿真實驗結果表明，提出的基于神經模糊Wiener模型非線性系統(tǒng)辨識方法比WSG方法的辨識方法精度更高，同時本文設計的控制器效果也比傳統(tǒng)的PI控制器和基于Wiener的極點配置控制器好.因此提出的方法能夠有效對復雜非線性系統(tǒng)進行辨識和控制.

參考文獻

［1］ 嚴康為，龍鑫林，魯軍勇，等.高倍率磷酸鐵鋰電池簡化機理建模與放電特性分析.電工技術學報，2022，373）：599-609.

［2］ 尚群立，李夢強，張晶瑜.氣動截止閥機理建模及其在閥門故障診斷中的應用.浙江工業(yè)大學學報，2020，482）：154-158，216.

［3］ 鄧曉剛，于佐軍.連續(xù)攪拌反應釜機理建模與開放式虛擬仿真系統(tǒng)開發(fā).實驗技術與管理，2016，331）：114-117，121.

［4］ 董世建，孟 振，時俠圣，等.雕刻機系統(tǒng)數(shù)據驅動建模與容錯跟蹤控制．控制與決策，2023，389）：2 569-2 577.

［5］ 徐巧菲，黃景濤，郭喜風，等.基于偏互信息過熱器溫差數(shù)據驅動建模研究.控制工程，2019，2612）：2205-2210.

［6］ 蔡昌春，息夢蕊，劉昊林，等.基于數(shù)據驅動和多場景技術的微電網并網等效建模.電力自動化設備，2022，429）：64-69.

［7］ 陳 誠，黃 劍，劉 磊，等.基于數(shù)據驅動的氣動柔性關節(jié)Takagi-Sugeno模糊系統(tǒng)建模與預測控制.控制理論與應用，2022，394）：633-642.

［8］ 孔祥玉，王曉兵，羅家宇，等.基于動態(tài)高效潛結構投影的質量相關故障檢測.控制理論與應用，2021，3812）：2 076-2 084.

［9］ Shi Y，Yu D L，Tian Y，et al.Modified volterra model based non-linear model predictive control of IC engines with real-time simulations.Transactions of the Institute of Measurement and Control，2015，392）：208-223.

［10］ Liang Y，Xu S，Hong ，et al.Neural network modeling and single-neuron proportional-integral-derivative control for hysteresis in piezoelectric actuators＼[J＼].Measurement and Contro，2019，529-10）：1 362-1 370.

［11］ Liu X，hang .Earth pressure balance control of shield tunneling machine based on nonlinear least squares support vector machine model predictive control.Measurement and Control，2018，521-2）：3-10.

［12］ hao Y J，F(xiàn)atehi A，Huang B.A data-driven hybrid ARX and Markov-chain modeling approach to process identification with time varying time delays.IEEE Transactions On Industrial Electronics，2017，645）：4 226-4 236.

［13］ Liang Y，Xu S，Hong ，et al.Neural network modeling and single-neuron proportional-integral-derivative control for hysteresis in piezoelectric actuators.Measurement and Control，2019，529-10）：1 362-1 370.

［14］ 仲國民，孫明軒.一類Wiener非線性時變系統(tǒng)的迭代學習辨識.電子與信息學報，2021，439）：2 594-2 600.

［15］ Wang Q C，hang J .Wiener model identification and nonlinear model predictive control of a pH neutralization process based on Laguerre filters and least squares support vector machines.Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering，2011，121）：25-35.

［16］ Yuan P，hang B，Mao? .A self-tuning control method for Wiener nonlinear systems and its application to process control problems.Chinese Journal of Chemical Engineering，2017，25：193-201.

［17］ Bloemen H H J，Chou C T，Van Den Boom T J J，et al.Wiener model identification and predictive control for dual composition control of a distillation column.Journal of Process Control，2001，11：601-620.

［18］ 景紹學，李正明.Wiener系統(tǒng)的變聚點樣條逼近遞推貝葉斯算法.控制理論與應用，2017，341）：13-21.

［19］ Dong S J，Yu L，hang W A，et al.Robust hierarchical identification of wiener systems in the presence of dynamic disturbances.Journal of the Franklin Institute，2020，3576）：3 809-3 834.

［20］ 韓琛曄.基于多新息算法的階次未知的Wiener系統(tǒng)參數(shù)估計． 河南理工大學學報自然科學版），2021，401）：118-124.

［21］ Sersour L，Djamah T，Bettayeb M.Fractional Wiener system identification using heuristic optimization technique based on key_term principle.IFAC-Papers OnLine，2019，5213）：189-193.

［22］ 孫 赫，王穩(wěn)穩(wěn)，周國振，等.帶不同時滯的單通道ARMA信號加權融合反卷積Wiener濾波器.現(xiàn)代信息科技，2022，63）：54-57.

［23］ Atitallah A，Bedoui S，Abderrahim .Joint parameter and time-delay identification algorithm and its convergence analysis for Wiener time-delay systems.Circuits，Systems，and Signal Processing，2020，39：199-222.

［24］ Atitallah A，Bedoui S，Abderrahim .Identification of wiener time delay systems based on hierarchical gradient approach.IFAC-PapersOnLine，2015，481）：403-408.

［25］ Gu Y，Ding F.Auxiliary model based least squares identification method for a state space model with a unit time-delay.Applied Mathematical Modelling，2012，36：5 773-5 779．

［26］ Jia L，Xiong Q，Li F.Correlation analysis method based SISO neuro-fuzzy wiener model.Journal of Process Control，2017，58：73-89．

［27］ 李 峰，羅印升，李 博，等.基于組合式信號源的Hammerstein-Wiener模型辨識方法.控制與決策，2022，3711）：2 959-2 967.

［28］ Li F，heng T，He N B，et al.Data-driven hybrid neural fuzzy network and ARX modeling approach to practical industrial process identification.IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica，2022，99）：1 702-1 705.

［29］ Li F，hu X J，He N B，et al.Parameter learning for the nonlinear system described by hammerstein model with output disturbance.Asian Journal of Control，2023，252）：886-898.

［30］ hou L C，Li X L，Pan F.Gradient based iterative parameter identification for wiener nonlinear systems.Applied Mathematical Modelling，2013，37：8 203-8 209.

［31］ Hong X，Chen S.The system identification and control of hammerstein system using non-uniform rational B-spline neural network and particle swarm optimization.Neurocomputing，2012，82：216-223.

【責任編輯：蔣亞儒】

基金項目：國家自然科學基金項目（62003151）； 江蘇省常州市科技計劃項目（CJ20220065，CM20223015）； 江蘇省研究生科研與實踐創(chuàng)新項目（SJCX22_1477）

作者簡介：丁振宇2000—），男，江蘇宿遷人，在讀碩士研究生，研究方向：塊結構模型辨識

通訊作者：李 峰1987—），男，江蘇淮安人，副教授，博士，研究方向：數(shù)據驅動的復雜非線性動態(tài)模型化，lifeng@jsut.edu.cn