黃通

摘要：電容器中存儲的電能及其等價形式，是高校強(qiáng)基計劃考試中的一個考點(diǎn).電容器中存儲的靜電能可以細(xì)分為自能和互能.文章先給出電容器的能量公式，并分析其來龍去脈，然后分析自能和互能以及它們之間的關(guān)系，最后給出電容器的能量公式在高校強(qiáng)基計劃考題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：電容器；能量公式；自能和互能；強(qiáng)基計劃

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0068-03

電容器是一種容納電荷的器件，任何兩個彼此絕緣且相隔很近的導(dǎo)體間都構(gòu)成一個電容器.電容器有多種，下面主要研究平行板電容器中存儲的電能及其能量公式在高校強(qiáng)基計劃考題中的應(yīng)用.

1 電容器的能量公式

電容器中存儲的電能為W=12CU2，這就是電容器的能量公式.

由于Q=CU，故它還有另外兩個等價形式：

W=Q22C，W=12QU［1］.

要牢牢記住這個公式， 一般強(qiáng)基計劃的考試中一旦出現(xiàn)， 只需要簡單使用此公式就可以了.

2 自能和互能

靜電能又可以細(xì)分為自能和互能.自能是指只有一個帶電體的靜電體系所帶的電能.任何一個帶電物體，可以將其看作由無限多個小塊組成的靜電體系，因此也會有靜電能，這個靜電能就叫作帶電體的自能.如果帶電的物體較多（大于等于兩個），除了帶電體自身引起的自能外，還有一個相互作用能，這個相互作用能就叫作互能.

一般來說，對于多個帶電體組成的系統(tǒng)，其總電能包含以下兩個部分：

（1）每個帶電體的自能.它的大小定義為讓它的每一小塊依次無限遠(yuǎn)離時電場力所做的功[2].

（2）各個帶電體之間的互能.它的大小為各個帶電體距離無限遠(yuǎn)離時電場力所做的功.

經(jīng)過推導(dǎo)，我們可以把互能定義為W=12W12+W21，寫成平權(quán)形式，是為了便于推廣.推而廣之，如果有3個點(diǎn)電荷系統(tǒng)，則有

W=12W12+W21+W23+W32+W13+W31

=W12+W23+W13.

簡單地說，假定電荷qi在qj處激發(fā)的電勢為Uij，則有qjUij=qiUji.比如q2U12=q1U21.以此類推，得總功為

W=12［q1（U21+U31）+q2（U12+U32）+q3（U13+U23）］

令U1=U21+U31，U2=U12+U32，U3=U13+U23，則

W=12q1U1+q2U2+q3U3=12∑3i=1qiUi.

推廣可知，n個點(diǎn)電荷系統(tǒng)的互能為

W=12∑ni=1qiUi.

特別注意，式中Ui為qi所在處除qi以外的其他電荷所產(chǎn)生的電勢.

如果我們畫個圈，把上面討論中的q1，q2和q3全部囊括進(jìn)去，使其變成一個帶電體A的 3個組成部分，這樣上面討論中得到的W=12∑3i=1qiUi就是A的自能了.

3 自能和互能的關(guān)系

就像研究運(yùn)動時要說明參考系一樣，在研究靜電能時也要說明要研究的對象到底是點(diǎn)電荷還是一個帶電體.如圖2所示的3個點(diǎn)電荷，我們做兩種處理來比較：

（1）將每個獨(dú)立的點(diǎn)電荷看作一個“子系統(tǒng)”，整個體系的靜電能等于3個點(diǎn)電荷的自能和它們之間的互能之和.

（2）將q1和q2合起來看作一個“子系統(tǒng)”，而q3視作另一個“子系統(tǒng)”，整個系統(tǒng)的靜電能等于兩個子系統(tǒng)的自能和它們之間的互能之和.

很明顯，兩次的自能和互能都不相等，但是自能和互能之和是相同的.如果系統(tǒng)中有點(diǎn)電荷q，除了它還有許多其他的電荷，假定q在其他電荷共同激發(fā)的電場中運(yùn)動，再假設(shè)在q運(yùn)動的過程中q和其他電荷的電荷分布均不改變，即q和其他電荷的自能均不改變.我們把眼光緊緊盯著q，如果它在加速，則根據(jù)能量守恒可知，它增加的動能必然來源于兩個子系統(tǒng)之間的互能的減少量.而我們又知道q動能的增加量等于系統(tǒng)勢能的減少量.這樣就自然可以得：到子系統(tǒng)互能的減少量=系統(tǒng)勢能的減少量.

所以點(diǎn)電荷q在電場中一點(diǎn)的勢能就是點(diǎn)電荷q在外電場中一點(diǎn)的互能，即并未包括q的自能.

將以上的點(diǎn)電荷系統(tǒng)推而廣之，自然只需要考慮體系中互能的變化量，前提是自能不發(fā)生變化，即帶電體的電荷分布不改變.但實(shí)際上是很難保持電荷分布不變的，例如由兩個導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，由于遠(yuǎn)近不同，其上分布的電荷肯定會有所變化，這個時候再把導(dǎo)體整體作為一個子系統(tǒng)，其自能就必然會變化.

這樣一想，我們不如把每個微元電荷作為一個子系統(tǒng)，這樣每個子系統(tǒng)的自能就自動為零，所有的靜電能全為互能，并且所有的“導(dǎo)體系”也不再成立，變成了“點(diǎn)電荷系”.這樣，總的靜電能自然是W=12∑ni=1qiUi，其中Ui為qi所在處除qi以外的其他電荷所產(chǎn)生的電勢.

如果只有一個帶電體，它的靜電能可做如下定義： 設(shè)想將該帶電體分割成無限多的電荷元，把所有電荷元從現(xiàn)有的集合狀態(tài)彼此移送至無限遠(yuǎn)處，則電場力所做的功即為此帶電體的自能.可用下式表示：W=12∫qUdq.

4 在強(qiáng)基計劃試題中的應(yīng)用

例1一絕緣的均勻帶電球體，其半徑為R，總電荷為Q，求其靜電能.

解導(dǎo)體內(nèi)、外的電場分布為

E1=kQR3r（rR），

球內(nèi)取r→r+dr的薄球殼， 電量為

dQ=ρdV=Q43πR3·4πr2dr=3QR3r2dr，

電勢為

U=∫RrkQR3rdr+∫

SymboleB@

RkQr2dr=kQ2R33R2-r2，

所以靜電能為

W=12∫UdQ=12∫R0kQ2R33R2-r2·3QR3r2dr

=3kQ25R.

例2如圖3所示，正六邊形的邊長為a，各頂點(diǎn)處有固定的負(fù)點(diǎn)電荷-q，中心有一正點(diǎn)電荷2q，試求該帶電體系的互能.

解在這些點(diǎn)電荷中，不重復(fù)地選出各種可能的配對，則帶電體系的互能就是這些配對能量之和，所謂不重復(fù)就是說不用最后除以2，下面來數(shù)數(shù)看.

兩個-q相距為a，共6對，互能為

W1=6×kq2a=6kq2a.

兩個-q相距為2a， 共3對，互能為

W2=3×kq22a=3kq22a.

兩個-q相距為3a，共6對，互能為

W3=6×kq23a=23kq2a.

-q與2q相距為a，共6對，互能為

W4=6×-2kq2a=-12kq2a.

所以系統(tǒng)的互能為

W=∑4i=1Wi=kq2a23-92.

例3（2017年清華領(lǐng)軍）平行板電容器和電源相連，現(xiàn)向電容器極板間插入電介質(zhì)，則下列說法中正確的是（）.

A.電源對電容器做正功

B.電容器儲存的能量在增加

C.極板對電介質(zhì)做正功

D.極板對電介質(zhì)做負(fù)功

解電容器電容變大，但電壓不變，因此帶電量和儲能都相應(yīng)增大.選ABC.

例4（2014年復(fù)旦大學(xué)千分考）原先不帶電的電容C通過導(dǎo)線接到電動勢為U的電源兩端充電，直至電荷充滿.設(shè)電容極板電阻和電源內(nèi)阻與導(dǎo)線電阻相比可忽略不計，各種熱傳導(dǎo)忽略不計，則充電前后（）.

A.電容質(zhì)量沒有變化

B.電源質(zhì)量沒有變化

C.電源質(zhì)量減小CU22c2

D.導(dǎo)線質(zhì)量增大CU22c2

解充電后電容器貯有電能CU22，但電源減少的能量為CU2.忽略電磁波損耗，則在導(dǎo)線上的發(fā)熱量為CU22，相應(yīng)導(dǎo)線的質(zhì)量增大CU22c2.選D.

例5（2017年北大博雅） 如圖4所示，一平行板電容器，極板面積為S，板間距離為d， 與電動勢為U的穩(wěn)恒電源串聯(lián).現(xiàn)將一厚度為d、面積為S、相對介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)插入極板之間，則在該過程中外力做的功為（）.

A.SU22πkdεr-1B.SU24πkdεr-1

C.SU28πkdεr-1D.SU216πkdεr-1

解插入前C1=S4πkd，插入后C2=εrS4πkd，故外力做的功為

W=12C2U2-12C1U2=SU28πkdεr-1.

選C.

5 結(jié)束語

電容器除了常見的平行板電容器外，還有球形電容器、圓柱形電容器及孤立導(dǎo)體電容器.電容器能量的統(tǒng)一公式是W=12CU2，熟悉該能量公式及其等價形式，對解決高校強(qiáng)基計劃考試題是很有幫助的.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈建堂.平行板電容器的能量計算[J].物理通報，1995（08）：28-29.

[2] 彭先玉，張守娟.靜電場能量的計算[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1996（02）：25-31.

［責(zé)任編輯：李璟］