李建莉 馬君　侯思晨

關(guān)鍵詞： MATLAB 模態(tài)分析 有限元計(jì)算 頻率響應(yīng)分析

中圖分類(lèi)號(hào)： TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1672-3791（2024）01-0216-08

動(dòng)力學(xué)分析的目的是分析在慣性、阻尼二者確定的條件下，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)特性的變化情況。動(dòng)力學(xué)特性分為以下幾個(gè)方面：自振特性—頻率和振型；不同的荷載效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變會(huì)產(chǎn)生不同的效果； 周期和隨機(jī)荷載的效應(yīng)。靜力學(xué)分析只能分析一個(gè)結(jié)構(gòu)承受穩(wěn)定荷載的情況，不足以全面分析所有的工況，尤其是那些穩(wěn)定的荷載也包括很多動(dòng)荷載的情況，而動(dòng)力學(xué)分析就是在靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，確定動(dòng)力荷載的存在分析結(jié)構(gòu)的位移，以及內(nèi)力和振動(dòng)頻率隨時(shí)間是如何變化的，從而達(dá)到實(shí)際最優(yōu)化，為以后的設(shè)計(jì)和分析提供依據(jù)［1］。

模態(tài)分析是一種對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行研究的方法，通常用于工程振動(dòng)領(lǐng)域。其中，模態(tài)系指的是結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特征，每個(gè)模態(tài)系具有一定的自振頻率，阻尼比及模態(tài)振型。對(duì)這些模態(tài)參數(shù)進(jìn)行分析的方法叫作模態(tài)分析。亦可稱為特征值分析，通過(guò)線性代數(shù)的原理求解代表模態(tài)特征向量和頻率的特征值。根據(jù)其計(jì)算方式，可以將其劃分為計(jì)算型和試驗(yàn)型兩種。如采用有限元法進(jìn)行了模態(tài)分析為計(jì)算型模態(tài)分析，對(duì)應(yīng)各階有特定的參數(shù)，即頻率、阻尼、模態(tài)參數(shù)等。文章中主要介紹計(jì)算模態(tài)分析在振動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用。在工程實(shí)際中為了進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)一般對(duì)振型進(jìn)行線性假設(shè)。它的物理含義是：當(dāng)多個(gè)激勵(lì)共同作用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)就是這一組中各個(gè)激勵(lì)分別起作用時(shí)的響應(yīng)的線性累加。進(jìn)行模態(tài)分析的意義是，每個(gè)物體都有它自身的固有頻率，當(dāng)外界激勵(lì)作用在物體上時(shí)，同時(shí)接近這個(gè)頻率會(huì)產(chǎn)生共振，從而導(dǎo)致物體的破壞。

1 模態(tài)分析基本理論

模態(tài)分析理論是研究和分析振動(dòng)特性的一種技術(shù)手段，可以判斷在各種工況下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性［2］。通常針對(duì)一個(gè)線性定常系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)描述可以得到方程組：

式（1）中：[M] 為質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K ]為剛度矩陣；{x（t）}為位移向量；{F（t）}為力矩陣。我們的目標(biāo)是求解這個(gè)線性定常系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組得到{x（t）}，也就是系統(tǒng)上各點(diǎn)隨時(shí)間的位移。對(duì)于線性定常系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組，通常采用的方法是將物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)，從而將方程組解耦，變成一組用模態(tài)坐標(biāo)和模態(tài)參數(shù)來(lái)描述的獨(dú)立方程，這樣就可以得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。其中變換矩陣為模態(tài)矩陣，每列為相應(yīng)的模態(tài)振型。

每個(gè)集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)可用線性坐標(biāo)來(lái)描述，描述模型中全部集中質(zhì)量運(yùn)動(dòng)所需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目，稱為系統(tǒng)的自由度數(shù)。這些獨(dú)立坐標(biāo)又被稱為廣義坐標(biāo)，該坐標(biāo)的數(shù)量與系統(tǒng)的自由度數(shù)目相等。

2 單自由度的彈簧振動(dòng)

2.1 單自由度振動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)建模與仿真

最簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)就是單自由度無(wú)阻尼（阻尼系數(shù)C=0）自由振動(dòng)。彈簧振子是最簡(jiǎn)單的模型，如圖1所示。以靜平衡位置為原點(diǎn)建立獨(dú)立坐標(biāo)。對(duì)于單自由度的系統(tǒng)是方便求解的，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析可以得到微分方程，如公式（2）所示，設(shè)勁度系數(shù)k=200，物塊質(zhì)量m=10，初始位移x=5。

通過(guò)公式進(jìn)行進(jìn)一步變化，可以看出在等式左側(cè)x 的二階微分就是代表加速度a，也就是說(shuō)，加速度經(jīng)過(guò)兩次積分，得到位移。-k/m是系數(shù)，作為常數(shù)處理，在MATLAB 中利用Simulink 進(jìn)行仿真，確定仿真基本思路。接下來(lái)建立Simulink 模型，主要用到積分模塊，增益模塊，初始值設(shè)為-20，仿真模型如圖2 所示。啟動(dòng)仿真后，物塊的加速度、速度、位移曲線顯示在示波器中，結(jié)果如圖3 所示。

根據(jù)圖3 曲線圖可以看出，對(duì)于單自由度振動(dòng)方式，在不考慮阻尼的情況下，物塊應(yīng)在平衡位置來(lái)回振動(dòng)，曲線圍繞坐標(biāo)軸上下波動(dòng)，周期性進(jìn)行變化，橫坐標(biāo)代表時(shí)間，縱坐標(biāo)代表振幅，和預(yù)測(cè)情況是一致的。

4 有限元計(jì)算模態(tài)分析

事實(shí)上，每一個(gè)模態(tài)都有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。它是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、約束狀態(tài)有關(guān)，與外載荷無(wú)關(guān)，且每一階固有頻率與每一階振型相對(duì)應(yīng)［7］。如圖8 所示，肩部關(guān)節(jié)為機(jī)械臂最關(guān)鍵的部件之一，模態(tài)為其主要影響因素，在MATLAB 中對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，主要分析機(jī)械臂的肩部關(guān)節(jié)連接部件在一定壓力下可能的形變。機(jī)械臂通過(guò)多個(gè)關(guān)節(jié)鏈接，一端固定。這些鏈接結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要夠大以避免電機(jī)帶動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)。機(jī)械臂終端的負(fù)載會(huì)讓每個(gè)鏈接處產(chǎn)生壓力。壓力的方向取決于負(fù)載的方向。

本研究采用Inventor 對(duì)機(jī)械臂肩部關(guān)節(jié)進(jìn)行建模，模態(tài)分析MATLAB 中有限元求解流程創(chuàng)建結(jié)構(gòu)模型、導(dǎo)入幾何形狀、生成網(wǎng)格（見(jiàn)圖9（a））、設(shè)置材料屬性，彈性模量206 GPa、泊松比0.3、密度7.9 g/cm³，求解分析。利用facelabel 命令將面進(jìn)行可視化出來(lái)，具體情況見(jiàn)圖9（b）。方便設(shè)置邊界約束和負(fù)載。通過(guò)加載F41 一端作為固定端，F(xiàn)8 一端作為自由端條件求解出固有頻率，通過(guò)擴(kuò)展模態(tài)獲得關(guān)節(jié)的前六階模態(tài)參數(shù)。

約束模態(tài)分析包含了很多種情況，由于結(jié)構(gòu)的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)在不同的約束狀態(tài)下會(huì)發(fā)生變化，因此，施加約束后的模態(tài)分析可以反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際振動(dòng)情況［7］。圖10 為前六階可視化模態(tài)振型。

通過(guò)模態(tài)振型圖10 所示，可以發(fā)現(xiàn)一階模態(tài)的固有頻率值為317 Hz，一階模態(tài)的振動(dòng)方向沿Z 軸負(fù)向彎曲，變形主要在與相鄰構(gòu)件配合處；二階模態(tài)固有頻率值為431 Hz，振型體現(xiàn)為沿Z 軸的正方向垂直彎曲振動(dòng)，同時(shí)沿Y 向存在拉伸變形，其形變產(chǎn)生在構(gòu)件的邊緣處，橫向尺寸變小；三階模態(tài)固有頻率值為507 Hz，振型表現(xiàn)為擠壓變形，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)峰值在自由端所在面的中心位置，并呈中部向邊緣遞減的狀態(tài)，六階模態(tài)固有頻率值為798 Hz，主要變形表現(xiàn)為沿Z 軸垂直扭轉(zhuǎn)變形，變形量最大值位置仍在振動(dòng)峰值在自由端所在面的中心位置和邊緣處，固定端約束值仍為0。

通過(guò)分析六階次的頻率及云圖，模態(tài)振型大致經(jīng)歷了彎曲變形—拉伸變形—擠壓變形—扭轉(zhuǎn)變形，其中拉伸變形量最大為1.2 mm，最大變形出現(xiàn)的位置由邊緣向中間，再向邊緣的趨勢(shì)。關(guān)節(jié)在此結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料下，變形不大，且在理論的可控范圍內(nèi)，可以有效地避免共振。本研究能為機(jī)械臂關(guān)節(jié)使用設(shè)計(jì)提供參考，極大地減少共振的發(fā)生，并為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和故障診斷提供參考依據(jù)。

5 頻率響應(yīng)分析

當(dāng)結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)下受到外界激勵(lì)載荷時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)效應(yīng)，可以通過(guò)頻率響應(yīng)分析方式，計(jì)算出給定外界激勵(lì)載荷后結(jié)構(gòu)在確定頻率下的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，比如位移、速度、加速度，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)和頻率繪制成曲線圖，從曲線圖中可以得到峰值響應(yīng)，用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)者預(yù)測(cè)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，驗(yàn)證設(shè)計(jì)是否可以消除疲勞、共振等有害效應(yīng)的影響［8］。本文針對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)在壓力載荷下頻率響應(yīng)分析。假設(shè)附加其上的連桿對(duì)各半面分別施加大小相等方向相反的壓力，分析面上某點(diǎn)的頻率響應(yīng)和形變。同上述流程一樣，創(chuàng)建結(jié)構(gòu)，導(dǎo)入幾何形狀，生成網(wǎng)格。其他過(guò)程跟模態(tài)分析相同，區(qū)別在于加一個(gè)力，使用pressFcnFR 函數(shù)在面4 上施加邊界載荷。這個(gè)函數(shù)作用一個(gè)推力和一個(gè)扭轉(zhuǎn)壓力信號(hào)。拉壓分量是均勻的。扭力對(duì)左側(cè)面施加正壓力，對(duì)右側(cè)施加負(fù)壓力。

根據(jù)圖11 的頻率響應(yīng)曲線可以發(fā)現(xiàn)，在頻率為200 Hz、600 Hz、820 Hz 三處都出現(xiàn)了不同程度的極大值點(diǎn)，在這些頻率下，很小的外界激勵(lì)載荷便可以把系統(tǒng)激勵(lì)振動(dòng)起來(lái)，容易造成共振，所以此幅值的極大值點(diǎn)也稱為共振峰，對(duì)應(yīng)的頻率稱為共振頻率，一旦關(guān)節(jié)發(fā)生共振，對(duì)機(jī)械臂的安全運(yùn)行會(huì)產(chǎn)生較大影響。因此應(yīng)避免關(guān)節(jié)發(fā)生共振破壞，影響系統(tǒng)的安全使用。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)整體振動(dòng)微小，激發(fā)共振的可能性很小。在MATLAB 中也可以利用max 函數(shù)找到峰值響應(yīng)頻率對(duì)應(yīng)的峰值和索引，可以看到所施加的載荷主要激發(fā)了部件的模態(tài)。

6 結(jié)語(yǔ)

本文利用MATLAB 中simulink 對(duì)單自由度彈簧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)求解分析，利用腳本求解矩陣方程對(duì)多自由度的彈簧系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行分析，進(jìn)而基于有限元的思想對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)在壓力載荷下模態(tài)分析和頻響分析，得出進(jìn)行模態(tài)研究一般思路和解決方案。為計(jì)算模態(tài)的場(chǎng)景利用在MATLAB 中內(nèi)置函數(shù)做進(jìn)一步探索研究提供了思路。