梁竹 欒功

作者簡介：梁竹，1985年生，廣西玉林人，研究生，高級教師，主要研究方向為基礎教育；欒功，1982年生，甘肅隴西人，本科，高級教師，主要研究方向為新高考命題分析與拔尖人才培養(yǎng)。

摘 要：培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力乃教育的重中之重，然而學生能在課堂上提出問題，對師生雙方來說都是挑戰(zhàn)。為此，教師可通過數(shù)學文化、數(shù)學應用、解題欣賞、學習心得等四個方面數(shù)學寫作培養(yǎng)學生提出數(shù)學問題的能力。

關鍵詞：數(shù)學寫作；提出問題；高中數(shù)學

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）08-0117-05

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確，要提高學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。由于提出問題對激發(fā)學生學習興趣、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維有獨特價值，因此，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力受到了教育工作者的廣泛關注。提出問題，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎上，采用恰當?shù)臄?shù)學語言和符號對問題進行進一步的數(shù)學抽象，并在特定的邏輯線索和數(shù)學關系中，將問題用數(shù)學語言表達出來。學生要進行數(shù)學表達、數(shù)學交流，其中一個有力工具就是數(shù)學寫作。毛光壽、陳重陽認為數(shù)學作文是指學生通過對自己數(shù)學知識經(jīng)驗進行反芻、回味、整合、理解和領悟，進而再加工、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造［1］。數(shù)學寫作有別于課堂教學，它可以不受空間與時間的限制，為學生提供更加自由的探究、想象和創(chuàng)新平臺。寫作過程其實就是學生思維動態(tài)發(fā)展的過程。學生圍繞一個寫作主題，在已有的認知結(jié)構(gòu)結(jié)點上聯(lián)結(jié)新知識、新信息，經(jīng)過思考，不斷梳理、更新、整合、完善，進而建立更廣泛深刻的知識網(wǎng)絡，從而解決新問題或提出新問題、總結(jié)新知識。有研究表明，學生在數(shù)學寫作過程中能夠?qū)W會自主學習，能夠獨立思考、查閱文獻、搜集信息、歸納概括，進而發(fā)展敢于發(fā)現(xiàn)、提出問題等能力［2］。基于此，本研究從數(shù)學寫作視角探究培養(yǎng)學生提出問題能力的策略。筆者結(jié)合教學實踐，將數(shù)學寫作分為數(shù)學文化寫作、數(shù)學應用寫作、解題欣賞寫作以及學習心得寫作等四大類，下面從這四個方面具體論述如何借助數(shù)學寫作提高學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

一、數(shù)學文化類寫作

數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動［3］。它不僅是數(shù)學本身的文化內(nèi)涵，還是數(shù)學思維與數(shù)學文化的融合，從而成為人們生活中不可或缺的一部分。2019年人教版普通高中數(shù)學教材開設的文獻閱讀與數(shù)學寫作欄目中，就有不少關于數(shù)學文化的題材，如“函數(shù)的形成與發(fā)展”“對數(shù)概念的形成與發(fā)展”“幾何學的發(fā)展”等。給定寫作主題，能夠讓學生有目的、有方向地寫作，但同時也產(chǎn)生了一個問題——如果每次數(shù)學寫作都告訴學生寫什么，那么學生又走上了一味地去解決別人提出的問題的老路，難以提高發(fā)現(xiàn)問題的能力。在平時學習課本上的知識時，少有學生問為什么要學習數(shù)列、正弦定理這樣的知識，而研究的過程卻能告訴學生為什么要走這條路、這條路還有哪些地方?jīng)]人去過，說不定在探索的過程中還有意外的收獲，這是學生僅通過課堂學習達不到的。丘成桐先生曾說：“近40年來，中國的數(shù)學發(fā)展很快，但還是不滿意，最大的問題是人們解決問題，不是自己提出問題。”因此，筆者在組織拔尖學生開展數(shù)學文化類的寫作訓練時，從給定主題的數(shù)學文化類寫作與自主選題的數(shù)學文化類寫作兩方面入手。

關于自主選題的數(shù)學文化類寫作，通過結(jié)合學生已有的數(shù)學寫作情況，筆者歸納出幾種選題思路。

第一種是從課本選題。例如，陳同學在學習復數(shù)的知識時，受到課本中“函數(shù)的形成與發(fā)展”數(shù)學寫作的啟發(fā)，自己提出一個研究的方向——復數(shù)的形成與發(fā)展，接著通過查閱書籍與上網(wǎng)搜索相關資料，弄清楚復數(shù)的來龍去脈，將其寫成一篇文章，并錄制視頻，在課上展示，得到了教師和其他同學的一致好評，這節(jié)課也被評為“一師一優(yōu)課”的優(yōu)秀案例。以下是作文片段。

復數(shù)由實踐的需要而產(chǎn)生，隨著社會的不斷發(fā)展，又在數(shù)學、力學、電學中不斷得到應用，成為被廣泛使用的一種數(shù)學工具。然而歷史上引進虛數(shù)，把實數(shù)擴充到復數(shù)可不是件容易的事，足足經(jīng)歷了漫長的三百年，經(jīng)過眾多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得虛數(shù)揭去了神秘的、不可思議的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目。請同學們通過查閱書籍、上網(wǎng)等方式了解復數(shù)的發(fā)展歷程及其廣泛應用，并用文獻綜述的方式形成讀書報告，在班上分享交流。

第二種是從習題選題。鄭同學在做題時遇到了好幾道以《九章算術》為背景的數(shù)列題，于是他利用課外時間整理了《九章算術》中關于數(shù)列的題目，撰寫了一篇題為《〈九章算術〉中數(shù)列題鑒賞》的文章，在班級中廣泛傳閱。

第三種是從數(shù)學游戲中選題。曾同學的數(shù)學寫作來源于“漢諾塔游戲”。他挖掘了“漢諾塔游戲”中蘊含的遞推數(shù)列問題，由于他對編程很感興趣，由遞推數(shù)列聯(lián)想到編程中的遞歸思想，將“漢諾塔游戲”進行了編程。以下是作文片段。

在一節(jié)數(shù)學課上，老師組織我們玩“漢諾塔游戲”。這個游戲我小時候也玩過，不過當時挪動的環(huán)片比較少，自己多嘗試幾次就可以完成任務。而老師要求我們挪動64片環(huán)片，單靠嘗試摸索估計要耗費很長時間。數(shù)學老師曾經(jīng)說過：研究復雜的數(shù)學問題時，可以從簡單的情況入手，由特殊到一般。于是我先從最簡單的1片入手，然后研究2片、3片、4片……得到以下表格。

[圓盤個數(shù) 挪移次數(shù) 挪移規(guī)律1 挪移規(guī)律2 1 1 1 1 2 3 1[×2+1] 2[×2-1] 3 7 3[×2+1] 2[×2×2-1] 4 15 7[×2+1] 2[×2×2×2-1] 5 31 15[×2+1] 2[×2×2×2×2-1] … … … … ]

從表格中發(fā)現(xiàn)每一次挪動環(huán)片都與上一次挪動環(huán)片有聯(lián)系，類似于我們剛學不久的遞推數(shù)列。假設移動n片環(huán)片所需要的最小移動次數(shù)為an，滿足遞推關系a1=1，an=2an-1+1（n≥2）。這里滲透著一種遞歸的思想，其算法歸結(jié)如下……

二、數(shù)學應用類寫作

蔡金發(fā)教授認為，數(shù)學問題提出應該是支持教師和學生的具體活動，使他們能夠根據(jù)特定的情境（即問題背景或情境）形成或重新形成數(shù)學問題或任務。筆者在實際教學中按照“閱讀材料，提出問題”“篩選問題，達成共識”“數(shù)學建模，解決問題”“歸納總結(jié)，拓展延伸”等四個步驟指導學生開展指向問題提出能力培養(yǎng)的數(shù)學應用類寫作。下面以測量距離問題（平面）的數(shù)學寫作為例展開說明。

（一）閱讀材料，提出問題

教師在上寫作課前，布置學生查閱書籍以及上網(wǎng)了解幾何學中測量的發(fā)展歷史。課始，教師展示材料：湖南岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一。其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖，下瞰洞庭，前望君山。始建于東漢建安二十年（215年），歷代重修，現(xiàn)存建筑沿襲清朝光緒六年（1880年）重建時的形制與格局。北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世，有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽。接著教師提問：那么，岳陽樓有多高呢？并向?qū)W生提出要求：閱讀時嘗試從不同角度去思考，提出自己的問題并將其寫下來，和同學交流。

以岳陽樓的高度為背景引入課題，能夠激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣。在自主提問階段，學生不僅需要理解閱讀材料的字面意思，還需要對這些知識進行提煉、挖掘、拓展，這樣才能提出新的問題。正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，每一名學生看待事物的角度不同，可以提出的問題也不同，從而實現(xiàn)個性化學習。

（二）篩選問題，達成共識

學生經(jīng)過思考后提出了各種各樣的問題。為了使學生的研究更集中、效率更高，教師組織學生進行小組交流討論，每個小組篩選出兩個最有價值的問題。緊接著，各小組派代表上臺分享本小組的兩個問題。各小組進行角逐，層層篩選，最終整理出以下三個問題。

已知A為岳陽樓主體的頂部，B為主體的底部。

1.請你畫出岳陽樓的平面圖。

2.請你利用所學的三角知識，利用測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）等工具測量岳陽樓主體的高度，給出必要說明，所使用的字母和符號均需要解釋說明，并給出計算公式。

3.某學習小組利用你的測量方案進行了實地測量，并將計算結(jié)果匯報給老師，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與該建筑物實際高度有誤差，請你針對誤差情況進行說明。

圖1 岳陽樓的主體

在“閱讀材料，提出問題”環(huán)節(jié)，學生針對閱讀材料提出了問題，學生的思維得到了發(fā)散，他們有很多想法，能提出各種各樣的問題。為了使數(shù)學問題更集中，教師引導學生小組內(nèi)部交流探討，剔除與本課題關系不大的問題，從而使得接下來的研究效率更高，更好地服務于數(shù)學寫作。

（三）數(shù)學建模，解決問題

第一種方案：測量并記錄測量工具距離地面的高度h；用測角儀，將一邊對準樓的頂部A，計算并記錄仰角[α]，后退a，再用測角儀對準樓的頂部A測得仰角[β]，此時可求樓的高度（如圖2所示）。

圖2 第一種方案示意圖

由圖可知AC=[atanαtanβtanα-tanβ]，故AB=[atanαtanβtanα-tanβ]+h。

實際測量的各數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 第一種方案測量所得數(shù)據(jù)

[ 第一次 第二次 仰角大小 67° 52° ]

后退距離為6 m，人的“眼高”為1.5 m，計算可得岳陽樓的高度約為18.32 m，結(jié)果與期望值19—20 m相差不大。

第二種方案：測量并記錄測量工具距離地面的高度h，將平面鏡置于平地E處，人后退至從鏡中能夠看到房頂A的位置，測量人與鏡子的距離a1；將鏡子后移a至F處，重復前面的操作，測量人與鏡子的距離a2，此時可求樓的高度（如圖3所示）［4］。

圖3 第二種方案示意圖

由相似三角形可得[ha1=ABBE]且[ha2=ABBF]，因此BE=[AB×a1h]，BF=[AB×a2h]，故a=[AB×a2h]-[AB×a1h]即AB=[aha2-a1]。

實際測量的各數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 第一種方案測量所得數(shù)據(jù)

[ 第一次 第二次 人與鏡子的距離/m 3.84 4.91 ]

鏡子的相對距離為12 m，人的“眼高”為1.52 m，計算可得岳陽樓的高度約為17.05 m，結(jié)果與期望值19—20 m相較大。

接下來是誤差分析。第一種方案產(chǎn)生誤差的原因是量尺、測角儀測量時讀數(shù)有誤差。減小誤差的方法是幾個人分別測量高度及仰角，再取平均值。

第二種方案產(chǎn)生誤差是因為鏡面放置不能保持水平，兩次放鏡子的相對距離太短；人眼看鏡內(nèi)物像時，兩次不一定都看準鏡面上的同一個點，人體不一定在兩次測量時保證高度不變，減少誤差的方法是多測量幾次，再取平均值。

將立體圖形平面化，是解決幾何問題的常用方法；再結(jié)合平面幾何的知識進行推理運算，在推理中尋找規(guī)律，最終解決問題，提高了學生解決問題的能力。

（四）歸納總結(jié)，拓展延伸

將整個數(shù)學建模的過程用文字方式記錄下來，并加以總結(jié)，適當拓展。比如教師可以提問：某同學完成后，提出了新問題“請結(jié)合自己所學的三角、平面幾何知識想想，你是否還有其他的測量計算方法？”，你的問題又是什么呢？請?zhí)岢鰡栴}后，一起和同學交流解決。

愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！币粋€好的數(shù)學問題就好比一把利劍，學生用它在荊棘遍布的科學叢林中開辟出一條新的道路，探索出一片新的領域。所以，在數(shù)學應用類寫作的結(jié)尾仍需鼓勵學生提出更多的好問題。

最后要求學生整理以上研究過程，將自己的所感所得用文字記錄下來，形成一篇數(shù)學應用類報告。

三、解題欣賞類寫作

解題欣賞類的寫作不同于解題，它可以把學生解題的過程可視化于書面上，一方面通過寫作促進學生再認識、再總結(jié)解題過程，甚至在解題欣賞中靈光一現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題；另一方面幫助教師評價學生對數(shù)學知識的理解水平和潛在能力等，發(fā)現(xiàn)存在問題或困難，這有利于教師調(diào)整完善教學。

呂傳漢、汪秉彝及其團隊針對“數(shù)學情境與提出問題”教學從理論到實踐進行了較為系統(tǒng)的研究，發(fā)現(xiàn)情境不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，還能讓學生產(chǎn)生認知沖突，喚起問題意識、促使學生提出數(shù)學問題［5］。因此，筆者布置解題欣賞類寫作時，嘗試設計一些具體的問題情境（如下所示）。

校學生會希望調(diào)查學生對食堂飲食的意見，你自愿擔任調(diào)查員，并打算在學校里抽取12%的同學作為樣本。（1）怎樣安排抽樣可以提高樣本的代表性？（2）在調(diào)查抽樣中你可能遇到哪些問題？（3）你打算怎么解決這些問題？……

教師拋磚引玉，學生自由發(fā)揮。慢慢地，學生在寫作的過程中，不僅學會解題，還學會通過觀察、類比、猜想等，自己提出一些新的問題。比如在解三角形時，運用正弦定理求角度時會出現(xiàn)無解、一解甚至兩解的情況，很多學生分辨不清，為了解決這個問題，筆者設計了以下數(shù)學寫作練習。

在正弦定理的應用過程中，我們碰到有無解、一解、兩解的情況，最終有多少個解是由題目條件決定的。請同學們通過列舉三道例題，總結(jié)什么題型會出現(xiàn)無解、一解、兩解，并進一步總結(jié)歸納三角形解的個數(shù)的決定因素。最后你能結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，對初中所學的“SSA不能判定三角形全等”做出解釋嗎？

學生作品片段如下。

解的個數(shù)問題

今天，我做了這樣三道題，發(fā)現(xiàn)答案有兩個解的，有無解的，有唯一解的。這三道題目，它們都是“己知三角形的兩邊及其中一邊的對角，求其他邊和角”類型的。以已知a、b、A，解三角形為例。按照一般解題過程，利用正弦定理計算出另一邊所對角的正弦值，即[sinB=bsinAa]，由此得出角B，再用三角形的內(nèi)角和定理算出第三個角，[∠C=180°-][∠B][-][∠A]。接著利用正弦定理算出邊[c=asinCsinA]即可。為什么會出現(xiàn)三種情況呢？什么情況下出現(xiàn)兩個解，什么情況下出現(xiàn)唯一解，什么情況又無解呢？決定要素具體是什么呢？由此我拿著三道題去請教老師，在老師點撥下我進一步思考得以下結(jié)論。

[已知兩邊

和一對角

（SSA）]

根據(jù)老師提示“抓住三角形的特點”，我查閱了三角形的特點有“大邊對大角，大角對大邊”“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，由此一個想法閃過：“大邊對大角，大角對大邊”可以驗證……

從學生的寫作中可以看出，該生從三個具體的數(shù)學例子得到啟發(fā)，探究出了三角形解的個數(shù)的規(guī)律。更難能可貴的是，在寫作過程中，該生自己提出問題、探究問題、解決問題。整篇文章邏輯嚴密，很有價值。

四、學習心得類寫作

學習心得類寫作指的是用文字語言將自己的學習所得、學習所感記錄下來。這類寫作，能夠搭建起學生與知識的橋梁，讓學生與自己的內(nèi)心進行一場深度對話。學生用文字分享自己對知識的探索過程，記錄自己的思維過程，述說自己的情感。在這場用文字進行的交流中，學習的過程不再是機械、冰冷的解題過程，而變成一次有溫度的寫作旅程，這有利于提高學生的學習興趣。而人一旦對某種事物產(chǎn)生了興趣，自然會有強大的動力去鉆研它。各種具有創(chuàng)新性的問題和想法就會像雨后春筍般冒出來。

比如梁同學在學習概率時，就和同學一起合作寫了一篇題為《基于貝葉斯理論的抖音僵尸粉識別研究》的文章。文章新穎有趣，運用數(shù)學知識來解決實際生活中的問題，被錄用發(fā)表到班級刊物上。她在數(shù)學周記中寫道：“寫‘用貝葉斯理論推開抖音僵尸粉的大門，從起初的一時興起，到寫作，再到最后的完工，耗時整整一個月。期間請教過老師，也和周圍的同學交流，整個研究的過程讓我受益匪淺，最后能在班級刊物上發(fā)表，我非常開心！老師和同學的認可給了我寫作的信心，同時也讓我有了深深的危機感，我必須搞好學科基礎，不然怎么配得上我的論文？”

梁同學的情感真實流露，充分展示了一名有理想、有抱負的高中生的陽光心態(tài)。她在文中寫到“我必須搞好學科基礎，不然怎么配得上我的論文？”，可以預見在不久的將來，她必然會提出很多新的看法，做出更優(yōu)秀的研究。

數(shù)學寫作體現(xiàn)了觀察數(shù)學現(xiàn)象—提出數(shù)學問題—探究思考問題—找到數(shù)學方法—解決數(shù)學題—反思拓展問題—表達成果觀點的初步數(shù)學研究過程。它對培育學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)以及提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力都起著重要的作用。本次實踐研究，為數(shù)學教師開展數(shù)學寫作教學提供了一個參考案例，也為學生提出問題能力的培養(yǎng)提供了一條新途徑。

參考文獻

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［3］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：10.

［4］陳剛.基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的建模活動設計：測量學校內(nèi)外建筑物的高度項目的教學評價設計［J］.新課程導學，2021（Z1）：80-81.

［5］溫建紅.基于數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生提出問題能力的意義與策略［J］.數(shù)學教育學報，2023（3）：13-17.

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注：本文系南寧市教育科學“十四五”（2023年度）規(guī)劃課題“新高考背景下運用數(shù)學留白式教學構(gòu)建思維型課堂的教學研究”（2023C863）、廣西教育科學“十四五”（2023年度）規(guī)劃課題“強基計劃背景下‘雙向—五維—交互的中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑的實踐研究”（2023C464）的研究成果。

（責編 劉小瑗）