林子珊

設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a，b，c，其內(nèi)切圓半徑、半周長(zhǎng)、面積分別為r、s、S.對(duì)應(yīng)邊上的旁切圓半徑、高線、角平分線、中線長(zhǎng)分別為ra、rb、rc；ha、hb、hc；wa、wb、wc；ma、mb、mc.

下面我們來(lái)研究《數(shù)學(xué)通報(bào)》中的2021年第11期問(wèn)題2631［1］.

問(wèn)題? 在△ABC中，求證：（b+c）cosA2+（c+a）cosB2+（a+b）cosC2>3（a+b+c）2.? ①

式①形式簡(jiǎn)潔優(yōu)美，但破解之并非易事.命題老師巧妙的利用局部不等式2acosB2+2bcosA2>a+b+c證明了上述不等式，讀罷給人以啟迪.關(guān)注式①的形式，一個(gè)自然的想法是：∑（b+c）cosA2（記Σ表示輪換對(duì)稱求和）的上界是什么？

顯然，∑（b+c）cosA2的上界可嘗試用∑a進(jìn)行估計(jì).根據(jù)對(duì)稱性，令△ABC為等邊三角形，得∑（b+c）cosA2=33a，∑a=3a，故猜測(cè)有3∑a≥∑（b+c）cosA2，經(jīng)驗(yàn)證，筆者得到：

定理1? 在△ABC中，有32∑a<∑（b+c）cosA2≤3∑a.②

證明：由柯西不等式得∑（b+c）cosA2≤∑（b+c）2·∑cos2A2.

由恒等式∑a=2s、∑ab=s2+r（4R+r）得

∑（b+c）2=2∑a2+2∑bc=2（∑a）2－2∑bc=6s2－2r（4R+r），又∑cosA=R+rR［2］，則∑cos2A2=∑1+cosA2=32+12∑cosA=2+r2R，從而∑（b+c）2·∑cos2A2=［6s2－2r（4R+r）］（2+r2R）.

要證明∑（b+c）cosA2≤3∑a，只需證明［6s2－2r（4R+r）］（2+r2R）≤3（2s），等價(jià)于證明12s2－［6s2－2r（4R+r）］（2+r2R）≥0，即證16R2+8Rr+r2－3s2≥0，由s2≤4R2+4Rr+3r2（Gerrestsen不等式），只需證明16R2+8Rr+r2－3（4R2+4Rr+3r2）≥0，即證4（R+r）（R－2r）≥0，由Euler不等式知4（R+r）（R－2r）≥0成立，故式②成立.

注意到wa=2bcb+ccosA2，則cosA2=b+c2bcwa，式②等價(jià)于32∑a<∑（b+c）22bcwa≤3∑a，不等式鏈的形式引發(fā)筆者進(jìn)一步的思考：∑（b+c）22bcra、∑（b+c）22bcha、∑（b+c）22bcma等與3∑a、∑a的大小關(guān)系又是如何？經(jīng)整理，得到；

定理2? 在△ABC中，有∑（b+c）22bcra≥2∑ra≥3∑a≥∑（b+c）22bcwa≥∑（b+c）22bcha.③

證明：由基本不等式得（b+c）22bc≥2，故∑（b+c）22bcra≥2∑ra成立.

由于ra=Ss－a=rss－a=s·rs－a=stanA2，又∑tanA2=4R+rs［2］，得∑ra=4R+r，要證明2∑ra≥3∑a，只需證明4R+r≥3s，等價(jià)于證明16R2+8Rr+r2－3s2≥0，此不等式在定理1中已證明，故2∑ra≥3∑a成立.

由于∑（b+c）2=6s2－2r（4R+r），abc=4Rrs，則∑（b+c）22bcha=∑［（b+c）22bc·2Sa］=rsabc∑（b+c）2=3s2－r（4R+r）2R，

得3∑a≥∑（b+c）22bcha等價(jià)于23s≥3s2－r（4R+r）2R，等價(jià)于3s2－43Rs－r（4R+r）≤0，即（3s+r）（4R+r－3s）≥0，則只需證明4R+r≥3s，此不等式已驗(yàn)證.

由常見(jiàn)不等式wa≥ha，顯然∑（b+c）22bcwa≥∑（b+c）22bcha成立.

綜上，式③成立.

評(píng)注：結(jié)合式②與式③，還可得不等式鏈

∑（b+c）22bcra≥2∑ra≥3∑a≥∑（b+c）22bcwa>32∑a.④

由于∑（b+c）22bcha無(wú)法用∑a進(jìn)行有效的下界估計(jì)，故無(wú)法將其列入式④中.∑（b+c）22bcma與3∑a無(wú)恒定的大小關(guān)系，故也無(wú)法將其列入式③或式④中，筆者發(fā)現(xiàn)∑（b+c）22bcma>2716∑a成立.限于篇幅，驗(yàn)證留給有興趣的讀者進(jìn)行.

參考文獻(xiàn)

［1］李居之，孫文雪.問(wèn)題2631［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（60），11：65.

［2］何燈，王少光.串聯(lián)五個(gè)基本三角不等式的一條不等式鏈［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2017（2）：49-50.