顏壽春

［摘? 要］ “圖形認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，是研究圖形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)。教師通過(guò)深入分析教材、學(xué)情，聯(lián)結(jié)學(xué)生知識(shí)斷層處、探明學(xué)習(xí)障礙處，探索“圖形認(rèn)識(shí)”教學(xué)的基本路徑：以知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系為主線(xiàn)，以概念理解為支撐，以邏輯推理為手段，以空間觀念培養(yǎng)為核心。

［關(guān)鍵詞］ 圖形認(rèn)識(shí)；三角形的認(rèn)識(shí)；教學(xué)策略

2022年12月底，一名有八年教齡的青年教師借鑒某特級(jí)教師成功的教案執(zhí)教“三角形的認(rèn)識(shí)”，雖然教案非常詳盡，操作性也很強(qiáng)，但是教學(xué)效果不理想。該青年教師兩次教學(xué)均以失敗告終：學(xué)生參與的積極性不高，思維明顯跟不上教學(xué)節(jié)奏。那么這樣教學(xué)的問(wèn)題在哪里？除了教師課堂駕馭能力不夠強(qiáng)、部分學(xué)生基礎(chǔ)差等因素，更為本質(zhì)的原因是什么？

于是，筆者求教于那位特級(jí)教師，他的反問(wèn)讓人深思：“你們有沒(méi)有深入了解學(xué)情？有沒(méi)有認(rèn)真解讀教材？有沒(méi)有細(xì)細(xì)體會(huì)教學(xué)設(shè)計(jì)中的每個(gè)環(huán)節(jié)是如何落實(shí)教學(xué)目標(biāo)的？”“一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人”，筆者決定結(jié)合教材研究、學(xué)情分析，追本溯源去探尋“圖形認(rèn)識(shí)”教學(xué)的基本路徑。

■ 一、教材縱橫分析，聯(lián)結(jié)知識(shí)斷層處

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“圖形認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象。學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過(guò)程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系?！苯滩淖裱菪仙⒂蓽\入深的原則，將相關(guān)內(nèi)容分散編排在十二冊(cè)教材中，學(xué)習(xí)時(shí)間跨度大，導(dǎo)致學(xué)生思維容易出現(xiàn)斷層。

1. 縱向梳理

縱觀人教版十二冊(cè)教材，筆者發(fā)現(xiàn)教材對(duì)“圖形認(rèn)識(shí)”的編排遵循以下路線(xiàn)：

（1）由“辨認(rèn)”到“認(rèn)識(shí)”

第一學(xué)段的要求是讓學(xué)生“辨認(rèn)”圖形，積累感性經(jīng)驗(yàn)；第二學(xué)段的要求是讓學(xué)生“認(rèn)識(shí)”圖形，系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)圖形的特征；第三學(xué)段的要求是對(duì)圖形的性質(zhì)、定理的證明。因此每一課的圖形認(rèn)識(shí)教學(xué)教師都要合理把握教學(xué)目標(biāo)，為下一階段的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（2）由“一維”到“三維”

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，圖形的認(rèn)識(shí)從一維到二維、再到三維，從三個(gè)維度理解：首先，縱向認(rèn)識(shí)路線(xiàn)是“線(xiàn)—角—多邊形—立體圖形”，既體現(xiàn)了要求的層次性，又體現(xiàn)了局部到整體的認(rèn)識(shí)過(guò)程；其次，橫向比較發(fā)現(xiàn)教材都從“點(diǎn)—線(xiàn)—面”三個(gè)維度去研究某類(lèi)圖形的特征，主要指圖形的頂點(diǎn)、邊（或棱）、角（或面）三個(gè)要素，以及要素之間的關(guān)系的研究；最后縱向梳理，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生理解“線(xiàn)—面—體”之間的關(guān)系，理解“點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)、線(xiàn)動(dòng)成面、面動(dòng)成體”，從全局角度理解圖形間的相互聯(lián)系。

（３）由“一般”到“特殊”

根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教材都是先認(rèn)識(shí)某類(lèi)圖形的特征，再將關(guān)鍵特征特殊化得出特殊的圖形。比如先認(rèn)識(shí)四邊形的特征，再將邊和角的特征特殊化，引出平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形的認(rèn)識(shí)。

（４）由“表”及“里”

教材基本遵照從生活實(shí)物引入—抽象出幾何圖形—研究特征—引出定義—內(nèi)涵延伸（如各部分的關(guān)系、特性、高等知識(shí)）的順序，逐漸從外部特征認(rèn)識(shí)到內(nèi)涵研究，再到豐富特征的認(rèn)識(shí)，這就是由表及里的學(xué)習(xí)路徑。

２. 橫向比較

筆者選取了現(xiàn)行的人教版、蘇教版、北師大版、浙教版四個(gè)版本的教材進(jìn)行對(duì)比分析（如表１），探尋其共性和個(gè)性，以引發(fā)深思、改進(jìn)教學(xué)。四種版本教材都將這一內(nèi)容安排在四年級(jí)下冊(cè)，主要知識(shí)點(diǎn)基本相同，但在整體架構(gòu)及細(xì)節(jié)呈現(xiàn)處各具特色。

（１）蘇教版教材更加注重與生活的聯(lián)系

教材將三角形的“高”與生活聯(lián)系，從具體物體中抽象出高的模型，將抽象的“高”具體化、生活化。

（２）北師大版教材更加強(qiáng)調(diào)與四邊形的聯(lián)系

教材將“三角形的認(rèn)識(shí)”放在圖形認(rèn)識(shí)的知識(shí)體系中，與“四邊形的認(rèn)識(shí)”安排在同一單元：先認(rèn)識(shí)三角形，再認(rèn)識(shí)四邊形；“高”的認(rèn)識(shí)則后移到五年級(jí)下冊(cè)，安排在“多邊形的面積”這一單元，這樣的編排有利于學(xué)生整體感知，方便進(jìn)行知識(shí)聯(lián)系、遷移。

（３）浙教版教材更突出圖形知識(shí)的系統(tǒng)性

教材將角、圖形的運(yùn)動(dòng)與變換、三角形、平行四邊形、梯形的認(rèn)識(shí)安排于同一單元——“幾何小天地”，先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)各種多邊形圖形的邊與角，再安排學(xué)生進(jìn)行各類(lèi)圖形高的學(xué)習(xí)。將三角形的認(rèn)識(shí)置于整個(gè)“圖形認(rèn)識(shí)”的知識(shí)體系中，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)遷移、積累關(guān)于圖形認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他圖形打下基礎(chǔ)。

■ 二、學(xué)情細(xì)致剖析，探明學(xué)習(xí)障礙處

兒童認(rèn)識(shí)圖形遵循一定的認(rèn)知規(guī)律，需要經(jīng)歷從對(duì)具體直觀圖形的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到對(duì)一類(lèi)圖形共同特征理解的過(guò)程［１］。學(xué)者李曉東博士認(rèn)為：初入學(xué)兒童通過(guò)對(duì)外界的觀察與接觸，對(duì)幾何圖形及其概念已經(jīng)有了初步的了解，但是前科學(xué)概念（日常生活概念）多于科學(xué)概念。教師教學(xué)時(shí)要基于學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律幫助學(xué)生順利過(guò)渡、減少障礙。

教材內(nèi)容雖然看似簡(jiǎn)單，但是學(xué)生學(xué)起來(lái)不輕松。學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙是什么？筆者針對(duì)本節(jié)課的三個(gè)知識(shí)重點(diǎn)，設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題來(lái)了解學(xué)情。

問(wèn)題１：請(qǐng)你畫(huà)幾個(gè)不同的三角形，并說(shuō)一說(shuō)什么是三角形？

問(wèn)題２：欣賞生活中的三角形（由教師提供），說(shuō)一說(shuō)為什么這些物體外形都做成三角形？

問(wèn)題３：請(qǐng)選1個(gè)三角形，畫(huà)出高。

通過(guò)分析，筆者發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙處。

１. “定義”難以概括

因?yàn)橛械谝粚W(xué)段的感性認(rèn)知，大多數(shù)學(xué)生都知道三角形的特征是3條邊、3個(gè)角、3個(gè)頂點(diǎn)，也有部分學(xué)生提到三角形是“封閉”圖形，可見(jiàn)學(xué)生能初步從點(diǎn)、線(xiàn)、面三個(gè)維度去研究平面圖形的基本特征，但是學(xué)生要概括出與課本完全一致的定義則非常困難。因此三角形的定義不適合也沒(méi)必要讓學(xué)生去探究，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、自學(xué)、解讀，產(chǎn)生認(rèn)同即可。

２. “特性”理解局限

學(xué)生受平行四邊形特性的遷移影響，認(rèn)為三角形的穩(wěn)定性是指“拉不開(kāi)”，其深層的本質(zhì)——三角形3條邊的長(zhǎng)度確定，形狀是唯一的，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)無(wú)法自行領(lǐng)會(huì)。這不僅需要學(xué)生動(dòng)手操作，還需要學(xué)生與四邊形進(jìn)行對(duì)比、分析才能理解。因此人教版教材安排的實(shí)驗(yàn)操作很有必要。

３. “畫(huà)高”操作困難

“畫(huà)高”一直都是教學(xué)的難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)“高”的理解會(huì)受到豎直經(jīng)驗(yàn)的干擾，要突破這一點(diǎn)，就要從它的“根”——畫(huà)垂線(xiàn)段抓起。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的高，這些經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形的高有很大的幫助，因此教師要讓學(xué)生先回憶畫(huà)平行四邊形的高，緊扣“頂點(diǎn)”“對(duì)邊”“垂線(xiàn)段”等關(guān)鍵詞，然后從操作、比較中進(jìn)一步感悟其本質(zhì)特征。

三、“教”“學(xué)”深刻反思，尋找有效突破處

基于以上分析，筆者回顧這名青年教師的兩次執(zhí)教過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)其失敗的主要原因。

１. 忽視聯(lián)系

該教師沒(méi)有深入分析教材，認(rèn)為有特級(jí)教師“高大上”的教學(xué)設(shè)計(jì)，不需要重新思考，只要照本宣科就行。這說(shuō)明，該教師對(duì)教材體系不熟悉，對(duì)知識(shí)前后聯(lián)系不了解；學(xué)生被教師牽著走，缺乏主動(dòng)探究的欲望，不知道為什么而學(xué)，也不知道怎么學(xué)，更不知道學(xué)了有什么用。教師“為了教而教”，學(xué)生“為了學(xué)而學(xué)”，這其實(shí)是部分教師課堂教學(xué)中存在的通病。

２. 不顧學(xué)情

“三角形的認(rèn)識(shí)”知識(shí)點(diǎn)多而抽象，教師沒(méi)有分析學(xué)生在學(xué)習(xí)上的困難之處，想當(dāng)然地認(rèn)為只要按照教學(xué)預(yù)設(shè)上課，學(xué)生就一定能掌握相關(guān)知識(shí)；課堂上當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維障礙時(shí)，教師沒(méi)有停下來(lái)思考原因、調(diào)整方案。預(yù)設(shè)和生成脫節(jié)，這樣的課堂依然是“師本課堂”。因此，無(wú)論教師的教學(xué)設(shè)計(jì)如何新穎、高端，如果沒(méi)有樹(shù)立正確的學(xué)生觀，就會(huì)使課堂效果不盡如人意。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者重新調(diào)整了教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)課堂教學(xué)有了充足的信心。

（１）聯(lián)系與辨別：感受三角形的地位

師：（如圖１，逐個(gè)出示多邊形）你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１：分別是三角形、四邊形、五邊形、六邊形、七邊形……

生２：都有角，都有邊，都有頂點(diǎn)。（教師板書(shū)：邊、角、頂點(diǎn)）

師：這些多邊形中邊數(shù)最多的有嗎？（學(xué)生搖頭）邊數(shù)最少的哪個(gè)圖形呢？（三角形）

師：我們繼續(xù)觀察。（播放課件）你們又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生３：這些多邊形都可以分成一個(gè)個(gè)不同的三角形。

師：所有的多邊形都能分成很多個(gè)三角形，看來(lái)三角形就是所有多邊形的基本單位。今天，我們就來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形。

（２）感悟與自學(xué)：理解三角形的定義

師：我們來(lái)判斷圖２中的圖形是不是三角形？為什么？

生４：第一個(gè)不是三角形，因?yàn)橛?條邊不是直的。

生５：第二不是三角形，因?yàn)橛校礂l邊、４個(gè)角。

生６：第三個(gè)不是三角形，因?yàn)檫@個(gè)不是封閉圖形。

師：到底什么叫作三角形？

生７：有３條邊、３個(gè)角、３個(gè)頂點(diǎn)的圖形叫三角形。

生８：還應(yīng)該是封閉的。

師：到底什么是三角形呢？請(qǐng)大家翻開(kāi)課本仔細(xì)讀三遍三角形的概念，想一想：這句話(huà)哪些詞語(yǔ)是非常重要的？

師：3條線(xiàn)段是什么意思？（給線(xiàn)段加著重號(hào)）其實(shí)就是三角形的什么？

生９：３條邊。

（３）操作與比較：理解三角形的穩(wěn)定性

師：只要你們留心觀察生活，其實(shí)三角形在我們生活中無(wú)處不在。那么在生活中，你們?cè)谀男┑胤揭?jiàn)過(guò)三角形呢？（略）

師：接下來(lái)，老師給你們看幾個(gè)三角形，（課件展示生活中的三角形，籃球架的支架、自行車(chē)的三角檔、電線(xiàn)桿的支架、斜拉索橋等）想想它們?yōu)槭裁匆龀扇切蔚男螤睿?/p>

生１０：三角形不容易變形，也就是具有穩(wěn)定性。

師：是不是真的具有穩(wěn)定性？想不想驗(yàn)證？請(qǐng)大家按操作要求動(dòng)手驗(yàn)證：①每組左邊同學(xué)的信封里裝著2根長(zhǎng)棒、2根短棒，每個(gè)同學(xué)的小棒都是一樣的，請(qǐng)你們用小棒拼成1個(gè)四邊形；②每組右邊同學(xué)的信封里裝著3根小棒，并且每個(gè)同學(xué)信封里的小棒都是一樣長(zhǎng)，請(qǐng)你們拼成1個(gè)三角形。

師：拼好后，請(qǐng)把你們的圖形貼到黑板上。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１１：所有的三角形形狀一樣、大小一樣。

師：像這樣，給你3根小棒，并且它們的長(zhǎng)度都定了，拼出來(lái)的三角形肯定是形狀一樣、大小一樣，我們就說(shuō)三角形具有穩(wěn)定性。

師：再來(lái)看四邊形，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１２：四邊形的形狀都不一樣。

生１３：四邊形容易變形。

師：想想看，五邊形會(huì)不會(huì)變形？六邊形、七邊形、八邊形呢？由此我們可以得出什么結(jié)論？

生１４：只有三角形具有穩(wěn)定性。

（４）遷移與延伸：學(xué)會(huì)畫(huà)三角形的高

師：我們學(xué)習(xí)了什么是平行四邊形、各部分的名稱(chēng)、特點(diǎn)，還學(xué)會(huì)了畫(huà)高。三角形有沒(méi)有高呢？請(qǐng)你們?cè)囍?huà)一畫(huà)。

師：到底什么是三角形的高呢？請(qǐng)看大屏幕，我們一起來(lái)讀一讀。

師：（畫(huà)銳角三角形的高）想一想三角形有幾條高呢？為什么？（有３個(gè)頂點(diǎn)）

師：請(qǐng)你畫(huà)出三角形的３條高。（學(xué)生畫(huà)高，教師巡視）

教師展示反饋學(xué)生畫(huà)高的情況：觀察這3條高，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（相交）

師：是的，只要我們這３條高畫(huà)準(zhǔn)了，就會(huì)剛好相交于一點(diǎn)，如果你畫(huà)的高沒(méi)有相交于一點(diǎn)，說(shuō)明你畫(huà)得不夠準(zhǔn)確。

師：（畫(huà)直角三角形的高）現(xiàn)在，請(qǐng)你們畫(huà)高。（學(xué)生畫(huà)，教師巡視）

教師展示反饋學(xué)生畫(huà)高的情況：直角三角形有幾條高？你們能指出三角板的高分別在哪里嗎？（教師指定學(xué)生指高）看來(lái)，直角三角形的2條直角邊就是其中的2條高。

師：（畫(huà)鈍角三角形的高）再來(lái)看△ＤＥＦ，請(qǐng)畫(huà)出它的高。

生１５：展示圖３。

師：鈍角三角形還有2條高在哪里呢？我們只要把ＦＥ延長(zhǎng)出去，從頂點(diǎn)Ｄ向ＦＥ畫(huà)垂線(xiàn)段……（教師在黑板上畫(huà)另外兩條高）

師：同學(xué)們學(xué)得真好！現(xiàn)在，請(qǐng)看圖４（動(dòng)態(tài)演示課件）。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，高一樣長(zhǎng)，底也一樣，在數(shù)學(xué)上就叫同底等高。

（５）反思與沉淀：感受圖形認(rèn)識(shí)的研究路徑

師：我們從哪些方面認(rèn)識(shí)三角形？學(xué)到了什么知識(shí)？用了哪些方法去研究？

同樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，因?yàn)橛辛怂伎迹陀辛遂`魂，才有了靈動(dòng)的課堂！

四、“點(diǎn)”“面”結(jié)合，探尋“圖形認(rèn)識(shí)”教學(xué)基本路徑

反思這節(jié)課的磨課歷程，教師從一開(kāi)始純粹模仿，到結(jié)合學(xué)情開(kāi)展教學(xué)，兩次參考的雖是同一份教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)效果卻大不一樣。

１. 以知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系為主線(xiàn)

一些教師將每一節(jié)“圖形認(rèn)識(shí)”課作為獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)來(lái)教學(xué)，因此忽視了知識(shí)的前后聯(lián)系，這樣的教學(xué)顯然是片面的。教師要用聯(lián)系的觀點(diǎn)，把單個(gè)圖形放在整個(gè)知識(shí)體系大背景下，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光看問(wèn)題，做到活學(xué)活用、舉一反三。

知識(shí)求“聯(lián)”不求“全”，教師要讓學(xué)生從聯(lián)系中構(gòu)建起對(duì)圖形的整體認(rèn)知。這里的“聯(lián)”有三層含義：一是指圖形各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，如面與面、線(xiàn)與線(xiàn)的關(guān)系；二是指圖形各要素之間的聯(lián)系，如面、棱、頂點(diǎn)之間關(guān)系；三是指不同種類(lèi)圖形之間的聯(lián)系，各類(lèi)三角形之間、三角形和其他圖形、平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系。

２. 以概念理解為支撐

圖形的概念理解是學(xué)習(xí)圖形的特征、特性、關(guān)系的基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)教學(xué)中教師往往只關(guān)注圖形各部分的名稱(chēng)和特征這些外顯的知識(shí)，教學(xué)要求也僅停留于此，這樣就忽視了學(xué)生自主探究和經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，導(dǎo)致其在后續(xù)的學(xué)習(xí)中難以理解其他相關(guān)知識(shí)。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形的概念進(jìn)行深入解讀與仔細(xì)體會(huì)，從聯(lián)系概念本身入手（如圖５），抽絲剝繭、層層遞進(jìn)、步步深入進(jìn)行探究?；谶@樣的前提，學(xué)生在探究圖形相關(guān)知識(shí)時(shí)的學(xué)習(xí)才是深刻的。

３. 以邏輯推理為手段

圖形的特征和各要素之間存在著相互依存、不可分割的聯(lián)系，如果學(xué)生忽視了邏輯推理這一重要手段，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)將是膚淺而平面的［２］。

比如特級(jí)教師任敏龍執(zhí)教“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，先通過(guò)操作、觀察得出面、棱、頂點(diǎn)的特征；然后，通過(guò)比較、刪選，提取長(zhǎng)方體的關(guān)鍵特征，由關(guān)鍵特征推理論證其他特征；再次，借助特殊化的方法推導(dǎo)出兩類(lèi)特殊的長(zhǎng)方體，其中一類(lèi)是正方體；最后，借助點(diǎn)、線(xiàn)、面的運(yùn)動(dòng)變化推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的特征。整個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程以推理為主要手段，拓展了學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的途徑，加深了學(xué)生對(duì)圖形本質(zhì)的理解。

４. 以空間觀念培養(yǎng)為核心

“圖形與幾何”的課程內(nèi)容是以發(fā)展學(xué)生的空間觀念為核心。教師要以知識(shí)與技能的教學(xué)為載體，將培養(yǎng)學(xué)生空間觀念貫穿教學(xué)始終。

（１）操作中思考

操作是幫助學(xué)生認(rèn)知的手段，學(xué)生動(dòng)手操作的過(guò)程其實(shí)是多種感官協(xié)同的活動(dòng)，是促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化的過(guò)程。操作的目的是在豐富學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，逐步讓學(xué)生在大腦中形成比較清晰的表象，為學(xué)生自由展開(kāi)想象奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。比如“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”一課，教師提供給學(xué)生幾組長(zhǎng)短不一、數(shù)量不一的小棒，讓學(xué)生制作一個(gè)長(zhǎng)方體框架，學(xué)生要結(jié)合長(zhǎng)方體的特征進(jìn)行思考：首先選擇哪幾組小棒，其次按照什么順序拼搭，最后思考如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)（寬或高）變化，會(huì)引起哪些面的變化和導(dǎo)致整個(gè)長(zhǎng)方體發(fā)生什么樣的變化。這樣的操作既能夠幫助學(xué)生更好地理解圖形特征，又培養(yǎng)了學(xué)生空間觀念。

（２）比較中深化

比如“角的認(rèn)識(shí)”一課，為了突破“角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)、與兩邊叉開(kāi)的大小有關(guān)”這一教學(xué)難點(diǎn)，教師可以安排四個(gè)層次的比較：第一個(gè)層次是教師將一個(gè)角的兩邊變長(zhǎng)、變短，比較角的大小變化；第二個(gè)層次是將一個(gè)活動(dòng)角的兩邊張開(kāi)、并攏進(jìn)行比較；第三個(gè)層次是同時(shí)出示兩個(gè)大小相同、邊的長(zhǎng)短不同的角，用重疊法進(jìn)行比較；第四個(gè)層次是出示兩個(gè)同樣是３時(shí)、但是指針長(zhǎng)短不一樣的鐘面讓學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的推理分析角。

（３）想象中提升

想象是學(xué)生獲取信息和提煉信息不可或缺的有效途徑和必不可少的一種能力，圖形的認(rèn)識(shí)更是離不開(kāi)想象。

參考文獻(xiàn)：

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