摘要：彈簧木板分離問題是高中物理中的重要臨界模型，是牛頓運(yùn)動定律、功能關(guān)系與胡克定律相結(jié)合的典型應(yīng)用，是簡諧運(yùn)動的有效拓展，對提升學(xué)生物理核心素養(yǎng)發(fā)揮著必要的作用.比較整體做勻加速直線運(yùn)動和簡諧運(yùn)動這兩種典型的物理模型并熟練應(yīng)用，對解決相關(guān)問題起到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：彈簧；木板；分離；模型；比較

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0115-03

彈簧木板分離問題是高中物理中的重要臨界模型，是力學(xué)板塊的難點(diǎn)知識，含彈簧的問題也是高頻考點(diǎn).彈簧木板分離問題涉及的過程多，處理該問題所用的規(guī)律、公式復(fù)雜，不易理解，導(dǎo)致學(xué)生在考試中容易失分.這就需要學(xué)生學(xué)習(xí)時對這類現(xiàn)象及規(guī)律進(jìn)行浸潤式思維，深刻領(lǐng)會物理概念、規(guī)律的本真，深度學(xué)習(xí)，不斷提升核心素養(yǎng).因此，弄清兩類典型模型的特點(diǎn)，掌握應(yīng)用相應(yīng)規(guī)律的方法，熟悉應(yīng)用模型去解決實(shí)際問題很有必要.為此，本文將對彈簧木板分離前一起做勻加速運(yùn)動和簡諧運(yùn)動進(jìn)行分析和探討，以求達(dá)到掌握其特點(diǎn)并熟練應(yīng)用的目的[1-2].

1 模型分類

如圖1所示，一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在水平面上，另一端與滑塊B相連，滑塊A與B靠在一起（不粘連），兩滑塊的質(zhì)量分別為mA、mB，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧始終在彈性限度范圍內(nèi)，從零時刻起對滑塊A施加一個豎直向上的力F作用.

1.1 勻加速運(yùn)動（F是變力）

滑塊A與B向上一起勻加速直線運(yùn)動，設(shè)勻加速運(yùn)動的加速度已知為a.則：

運(yùn)動性質(zhì)：分離前二者一起做勻加速直線運(yùn)動，分離后A做勻變速直線運(yùn)動，B做簡諧運(yùn)動.

外力變化：分離前變力，分離后是恒力.

分離臨界條件：二者加速度、速度相等，相互作用力為零.

分離前（含分離時）滿足的物理規(guī)律：如圖2所示，初始時刻，對整體，由力的平衡條件，有：

kx1=（mA+mB）g①

分離時，對滑塊B，由牛頓第二定律，有：

kx2-mBg=mBa

②

由幾何關(guān)系，得：x1-x2=12at21③

聯(lián)立解得：t1=2（mAg-mBa）ka④

在勻加速過程中，設(shè)整體的位移為x，有：

F+k（x1-x）-（mA+mB）g=（mA+mB）a⑤

成立，變形得：F=kx+（mA+mB）a⑥

函數(shù)圖像如圖3所示.且當(dāng)x=0時，拉力取最小值，有：

Fmin=（mA+mB）a⑦

當(dāng)x=x1-x2時，拉力取最大值，有：

Fmax=mA（g+a）⑧

由運(yùn)動學(xué)公式，得：v=at1⑨

解得：v=2a（mAg-mBa）k⑩

v-t圖像如圖4所示.由于在F-x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”在數(shù)值上表示力F在這段位移所做的功，由圖3可知，外力所做的功為：

WF=12［（mA+mB）a+mA（g+a）］（x1-x2）B11

解得WF=m2Ag（g+2a）-mBa2（2mA+mB）2kB12

對整體，由動能定理，得：

WF+［-（mA+mB）g（x1-x2）］+W彈

=12（mA+mB）v2B13

彈簧彈力所做的功為：

W彈=-ΔEP彈

=m2Ba（2g+a）-mAg2（mA+2mB）B14

1.2 簡諧運(yùn)動（F是恒力）

A與B向上一起簡諧運(yùn)動，已知豎直向上的拉力為F.則：

運(yùn)動性質(zhì)：分離前二者一起做簡諧運(yùn)動，分離后滑塊A做勻變速直線運(yùn)動，滑塊B做簡諧運(yùn)動.

分離臨界條件：二者加速度、速度相等，相互作用力為零.

是否分離的條件及規(guī)律：初始位置，對整體，由力的平衡條件，有：

kx1=（mA+mB）g①

設(shè)振幅為A，此時在F的作用下二者的加速度最大且滿足：

F=kA=（mA+mB）amax②

若在滑塊B運(yùn)動的最高點(diǎn)分離，由對稱性，對滑塊A，有：

mAg-F=mAamax③

對滑塊B，滿足：mBg-kx2=mBamax④

解得：F=mA（mA+mB）2mA+mBg⑤

得出結(jié)論：若F

二者永不分離；若F>mA（mA+mB）2mA+mBg⑦

二者一定會分離；且分離時彈簧的壓縮量

x2=mBFmAk⑧

平衡位置：設(shè)二者做簡諧運(yùn)動的平衡位置對應(yīng)彈簧的壓縮量為x3，由對稱性，則振幅

A=x1-x3=x3-x2⑨

且F+kx3=（mA+mB）g⑩

解得振幅A=mA（mA+mB）g-mBF2mAkB11

函數(shù)圖象：若不分離，v-t圖像為標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù).

2 應(yīng)用品鑒

例1如圖5（a）所示，光滑斜面的傾角為30°，一根輕質(zhì)彈簧一端固定在斜面底端，另一端與滑塊A相連，滑塊B與A靠在一起（不粘連），兩滑塊的質(zhì)量均為m，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).從零時刻起對滑塊B施加一個平行斜面的變力F，兩滑塊的v-t圖像如圖5（b）所示，t0時刻F的大小是零時刻F大小的2倍，重力加速度大小為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，則下列說法正確的是（）.

A.t0時刻前兩滑塊的加速度大小均為g3

B.t0時刻兩滑塊的速度大小均為16gt0

C.彈簧的勁度系數(shù)為2mt20

D.0到t0時間內(nèi)彈簧彈性勢能的減少量為572mg2t20

解析由圖5（b）所示圖像可知，t=t0時刻兩滑塊開始分離，此時它們的加速度大小、速度大小分別相等，它們間的作用力為零，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x，設(shè)t=0時彈簧的壓縮量為x0，彈簧的勁度系數(shù)為k，則t0時刻拉力大小為2F0，施加拉力前，對A、B整體，由平衡條件得：

kx0=2mgsin30°①

t=0時刻，對A、B整體，由牛頓第二定律得：

F0+kx0-2mgsin30°=2ma②

t0時刻，對滑塊B，由牛頓第二定律得：

2F0-mgsin30°=ma③

解得：a=16g，選項A錯誤；由圖（b）所示圖像可知，在t0內(nèi)， A、B一起做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，t0時刻兩滑塊的速度大小為：

v=at=16gt0

④

選項B正確；由圖5（b）所示圖像可知，在t0內(nèi)， A、B一起做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，位移大小為：

x0-x=12at20⑤

t0時刻，對滑塊A，由牛頓第二定律得：

kx-mgsin30°=ma⑥

解得彈簧的勁度系數(shù)為：k=4mt20，選項C錯誤；任意時刻在A、B系統(tǒng)在斜面上的位移為s，則此時有：

F+k（x0-s）-2mgsin30°=2ma⑦

即F=ks+2ma，則F-s圖像如圖6所示，根據(jù)A中分析可得：F0=13mg，則此過程中F做的功即為圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積，有：

W=F0+2F02·12at20⑧

設(shè)彈簧彈性勢能的減少量為EP，則根據(jù)功能關(guān)系，F(xiàn)做功與彈簧彈性勢能的減少量之和等于系統(tǒng)重力勢能與動能的增加量，即

W+EP=122mv2+2mgsin30°·s⑨

解得：EP=572mg2t20，

或EP=12kx20-12kx2=572mg2t20⑩

選項D正確.

3 結(jié)束語

彈簧木板分離問題本質(zhì)還是彈簧的臨界問題[3]，對學(xué)生物理核心素養(yǎng)要求較高.彈簧問題幾乎在每年的高考試題中都有所體現(xiàn)，解決彈簧問題的關(guān)鍵是畫出物體運(yùn)動的情境圖，然后進(jìn)行正確的受力分析、運(yùn)動過程分析、做功分析、能量分析、沖量分析、動量分析[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]?孫志華.芻議簡諧運(yùn)動中的能量問題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（16）：19-21.

[2] 王立良.彈簧木塊分離模型：由清華大學(xué)強(qiáng)基試題說起[J].高中數(shù)理化，2022（08）：13-15.

[3] 楊天才.一道試題的變形[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2007（01）：31-33.

[4] 顏福莉，楊天才.不可或缺的彈簧[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2022（08）：21-24.

［責(zé)任編輯：李璟］