劉林煒

常常聽到學(xué)生反饋：老師講的例題都聽懂了，概念、定理和公式也都記熟了，但解題還是困難重重，找不到合適的解題思路和方法。其主要原因在于，在課堂教學(xué)中，教師沒能充分調(diào)動學(xué)生的思維，只注重教學(xué)結(jié)果。因此，在課堂教學(xué)中，教師不僅要傳授知識，更要傳授獲取知識的方法，讓學(xué)生變“學(xué)會”為“會學(xué)”。因此，教師要對教學(xué)內(nèi)容進行準(zhǔn)確的定位，從知識、技能、方法和情感態(tài)度等方面進行判斷，設(shè)計和選擇教學(xué)路徑，實現(xiàn)讓數(shù)學(xué)成為文化、讓探究成為習(xí)慣的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

一、激活思維：緊扣新知本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)問題情境

在教學(xué)中，教師應(yīng)基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，引入恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，提供有思維價值的數(shù)學(xué)問題，激勵、喚醒、鼓舞學(xué)生，引導(dǎo)他們主動投入到建構(gòu)知識的活動中去，投入到數(shù)學(xué)探究的思維活動中去。下面，就從《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用》一課的導(dǎo)入教學(xué)片斷談起。

（一）情境

學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義，下面，我們來研究一下導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用。

教師播放一段汽車越過山坡的視頻，并提出問題。

問題1：觀看視頻后，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

追問：這個視頻與學(xué)過的什么數(shù)學(xué)知識有聯(lián)系？

導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的概念不僅抽象，而且學(xué)生無法直接感知二者之間的聯(lián)系。導(dǎo)入環(huán)節(jié)的視頻中展示了生活中汽車越過山坡時燈光的指向與路面之間的關(guān)系。學(xué)生通過觀看展示，分組討論，交流意見，嘗試將燈光抽象成一條切線，道路抽象成函數(shù)圖象，從而聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系。這樣精心設(shè)計的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生回歸生活。教學(xué)中，這樣設(shè)計不僅使難點得以突破，讓抽象變得直觀，同時也激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。

建模后進一步追問：如果將曲線看作是函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上的圖象，對應(yīng)的函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)？

通過師生活動抽象出所需要的數(shù)學(xué)問題：

（二）猜想

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系？

教師再一次請學(xué)生觀看動畫，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：

于是，猜想得到以下結(jié)論：對于函數(shù)，在某區(qū)間D上有f '（x）>0，f（x）在D上為增函數(shù)；在某區(qū)間D上有f '（x）<0，f（x）在D上為減函數(shù)。

本課的特別之處在于導(dǎo)入新知時抓住知識的本質(zhì)，巧設(shè)貼近本節(jié)知識的生活情境，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生將山坡看作一條曲線，將汽車看作曲線上的動點，把汽車前燈發(fā)出的光線看作動點的切線，而切線斜率也就可以看作函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，進而猜想導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。學(xué)生以一個發(fā)現(xiàn)者的身份來思考問題，而不是把結(jié)論輕易拋出來，這樣就激發(fā)了學(xué)生強烈的求知欲。

二、學(xué)會思維：緊扣新知生成，促進自主探究

在“平面三公理”的探究過程中，有的教師直接將“三公理”內(nèi)容拋給學(xué)生，講清圖形和符號表示后，讓學(xué)生看書學(xué)習(xí)“三公理”并熟記，然后花大量時間解題。一節(jié)課下來，教師說得天花亂墜，而學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容不能充分理解，更談不上掌握運用，從而失去了學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。本節(jié)課學(xué)生要發(fā)現(xiàn)和理解平面的三條公理，確實有困難。這時，就需要教師適時進行監(jiān)控——學(xué)會思維。教師可以讓學(xué)生觀看“平面三公理”探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)視頻。

問題1：在空間中，直線與平面、平面與平面有怎樣的位置關(guān)系？教師可組織學(xué)生利用手里的硬紙板和牙簽進行小組探究。用硬紙板和牙簽分別代表平面和直線。通過實際操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定直線與平面的位置關(guān)系時可以根據(jù)公共點的個數(shù)。

問題2：如何證明線在平面上？此時，需要驗證有無窮多個點在面上，這顯然是行不通的。那么，至少需要有幾個點在平面上，直線就在平面上呢？學(xué)生很快就想到了兩點確定一線，從而找到了解決問題的突破口。

教師追問：你能使牙簽的一個點在平面內(nèi)嗎？你能使牙簽上的兩個點在平面內(nèi)嗎？

經(jīng)過實驗，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出公理1，判定直線在平面上。

問題3：平面與平面的位置關(guān)系如何？通過類比，學(xué)生很快得到以下的結(jié)論。

通過分析，平面相交或平面重合的判定方法是行不通的。學(xué)生反思，至少需要幾個公共點重合時，兩個平面才重合。通過思考、討論，學(xué)生歸納出不在同一直線上的三點就能確定一個平面。教師進一步追問為什么不是四個點？學(xué)生們經(jīng)歷逐步深入的思考過程，結(jié)合公理1說明了原由并歸納出公理2。

接下來，教師讓學(xué)生用硬紙板探究兩個平面相交時有哪些位置關(guān)系。學(xué)生們經(jīng)過實際操作，得到以下位置關(guān)系：

進一步追問：圖2中，兩個相交平面只有一個公共點嗎？學(xué)生思考后指出，不是一個點，因為平面是無線延展的，因此是一條過該點的直線（如圖3所示）。

本節(jié)課的不同之處在于，教師抓住“線在平面”“平面相交”“平面重合”都有無窮個公共點的特征，將公理串聯(lián)起來，使得知識由碎片拼接為整體。學(xué)生經(jīng)歷了這樣的過程，對數(shù)學(xué)的理解和體驗就會更加深刻，從中也能體會到類比的思想。

三、發(fā)展思維：緊扣新知核心，進行類比遷移

在教學(xué)中，教師要有整體意識，將一般性知識“聚焦”在相關(guān)的核心知識上，再圍繞核心知識進行深度加工，精心組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體會知識間的聯(lián)系，揭示其中隱含的知識背景，凸顯數(shù)學(xué)核心知識的價值。

例如：在“y=Asin（wx+?）”的教學(xué)中，通常的思路都是教師直接告訴學(xué)生先分別研究A、w、?對y=sin x的影響，然后再通過具體實例，作圖體會其結(jié)論，最后生成一般性結(jié)論。學(xué)生只是聽教師的指令按部就班完成操作，思維并不專注和深入。這樣的教學(xué)即忽視了“核心知識”的價值，又忽視了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。為此，進行了如下設(shè)計。

問題1：在研究圖像y=sin x的基礎(chǔ)上來研究y=Asin（wx+?）的圖像，你有過類似的經(jīng)歷嗎？學(xué)生經(jīng)過討論，在教師適時引導(dǎo)下，很容易想到，在y=x2基礎(chǔ)上進行研究。

問題2：回憶初中研究的情形。

由此，我們不難發(fā)現(xiàn)，y=Asin（wx+?）的研究就沒那么困難了。這樣的教學(xué)符合學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，符合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。學(xué)生能夠很自然地確定本節(jié)課的研究方案。同時，通過這樣的類比遷移，學(xué)生也學(xué)會了面對多個變量時，要通過減少變量的個數(shù)將復(fù)雜問題簡單化。

以上這些教學(xué)案例的分析，目的是讓教師在設(shè)計、組織開展教學(xué)活動時，要基于學(xué)生的思維發(fā)展，合理設(shè)計教學(xué)路徑，緊扣新知本質(zhì)，通過恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。這樣，才能掌握一定的數(shù)學(xué)知識和技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣和能力，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（吳? 瑩）