楊 益 程文明,2 饒 雄

1 西南交通大學機械工程學院 成都 610031 2 軌道交通運維技術與裝備四川省重點實驗室 成都 610031

0 引言

起重機主梁是橋門式起重機的主要受力部件，其承載性直接關系到起重機的安全性和可靠性，統(tǒng)計數據表明[1]：橋門式起重機的主梁占起重機自重的30%～60%。隨著人們對保護環(huán)境的意識不斷增強，國家出臺了相關政策以鼓勵企業(yè)降低能耗，所以工程中對箱形梁結構進行輕量化設計有著重要的研究意義。

到目前為止，國內外學者對橋門式起重機輕量化進行了大量研究。朱強等[2]基于SIMP變密度法與數學折中規(guī)劃優(yōu)化法，建立了橋式起重機多工況優(yōu)化模型，通過Optistruct求解器以體積分數和靜態(tài)位移為約束，在3種典型靜態(tài)工況下以最小柔度為目標進行多工況拓撲優(yōu)化，優(yōu)化后的主梁質量減輕6.055%；Abid M等[3]在綜合考慮加勁肋的形狀、尺寸、位置及箱形梁截面等參數的基礎上，采用2部優(yōu)化策略對起重機箱形梁結構的輕量化進行研究，通過優(yōu)化箱形梁結構的寬度、高度和厚度尺寸可得到合理的減重方案；宋佳雄等[4]為得到合理的起重機主梁結構建立以主梁截面尺寸和構件厚度為設計變量，綜合考慮主梁結構強度、剛度約束條件，并以主梁質量最小為目標函數的數學模型，采用Ansys軟件中的零階優(yōu)化算法求解該模型，優(yōu)化后主梁結構質量可縮減23.1%；付為剛等[5]以竹子為仿生對象對正軌箱形梁橫向肋進行結構優(yōu)化，并建立了正軌箱形梁加勁肋變間距等穩(wěn)定性優(yōu)化策略，結合有限元彈性屈曲分析進行迭代優(yōu)化，實現了加勁肋變間距等穩(wěn)定性設計，最終仿生箱形梁較傳統(tǒng)箱梁減重136.12 kg，各截面屈曲抗失穩(wěn)能力差異減??；王玉璞等[6]以粒突箱鲀魚嘴特征曲線為仿生原型，設計出可附著在箱形梁迎風面上的部件，并運用計算流體力學對仿生設計進行評估，研究顯示以某40 t集裝箱起重機箱形梁為例，仿生箱梁較傳統(tǒng)箱形梁結構風阻減小了65.77%，增重2.28%，提高了起重機在風場重運行的平穩(wěn)性。

綜上所述，箱形梁結構的輕量化研究多集于利用變密度法對主梁結構進行拓撲優(yōu)化、利用生物仿生設計對箱形梁的橫向肋結構進行優(yōu)化、對箱形梁結構中的部分零件進行尺寸優(yōu)化?？傊瑢ζ鹬貦C箱形梁結構輕量化的研究主要集中在拓撲優(yōu)化、尺寸優(yōu)化和仿生學設計3個方向，這3種方法多局限于現有的四邊形主梁截面形狀，缺少對主梁截面形狀的研究。

本文提出的主梁截面優(yōu)化流程為：1）建立待優(yōu)化主梁簡化模型；2）根據輕量化目標確定形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化的組合設計變量；3）對設計變量進行靈敏度分析，并確定設計變量的變化范圍；4）以自重最小為目標，以撓度為約束條件，求出箱形梁截面形狀的最優(yōu)解，利用該流程獲得新的輕量化箱形梁截面形狀。

1 40 t集裝箱門式起重機參數

以某MG40 t-40 m起重機的主梁為研究對象開展主梁截面形狀的優(yōu)化研究，主梁結構參數如圖1所示，具體參數有：上下蓋板材料為Q235，板的厚度均為14 mm，腹板選用Q235，厚度為8 mm，主梁高度為2 428 mm，主梁寬度為1 518 mm，翼緣板厚度為22 mm。根據設計說明書選取MG40 t-40 m起重機最具代表性的4個工況進行靜力分析，具體工況如表1和表2所示。

圖1 32 t門式起重機示意圖

表1 4個工況中主梁、起重小車的狀態(tài)和位置

表2 4個工況載荷參數 kN

2 尺寸和形狀優(yōu)化及結果分析

2.1 主梁有限元模型

主梁模型截面高度為2 414 mm，寬度為1 628 mm，長度為62 787 mm，單元類型為Shell 63殼單元，用四邊形結構化網格劃分，單元數量為52 860，節(jié)點數量為82 720。材料的彈性模量為E＝2.1×105MPa，泊松比為μ＝0.3，密度為ρ＝7.85×10-9t/mm3。

本文僅研究截面形狀對主梁的影響，所以模型排除主梁內部隔板、翼緣板等改善局部應力的結構[7]，同時為降低載荷區(qū)域的應力集中現象，將載荷區(qū)域多個節(jié)點通過柔性節(jié)點REB3共結在一起進行加載，分別施加在箱形梁有效懸臂位置和箱形梁跨中位置。載荷位置和節(jié)點分布如圖2和圖3所示。

圖2 主梁載荷施加位置

圖3 REB3節(jié)點示意圖

2.2 形狀優(yōu)化設計變量а的定義

形狀優(yōu)化[8，9]是采用節(jié)點法思路將截面形狀用若干個節(jié)點劃分成若干線段，并通過控制節(jié)點間網格的位移來對網格進行形狀的變化。通常將節(jié)點變形前的空間位置稱作初始位置，記作X0；將1個節(jié)點的最大位移距離看作1個一維常向量統(tǒng)稱為節(jié)點位移向量，記作ΔXj，如圖4中變形起點和終點之間的箭頭所示。

圖4 形狀優(yōu)化的設計變量

為了便于計算，在優(yōu)化過程中ΔXj保持不變，算法只對ΔXj按一定縮放系數進行變化，且縮放系數是一個標量，取值范圍為[-1，1]，其中1表示節(jié)點可移動ΔXj數值上的最遠處，-1表示節(jié)點可移動ΔXj數值上的反向最遠處，故形狀優(yōu)化中的設計變量確定為縮放系數а。

通過優(yōu)化后的節(jié)點位置稱為終點位置，記作X，故形狀優(yōu)化的通用數學模型可表示為

其中

將主梁截面按圖5所示的22個節(jié)點分成22段，再按圖6所示將節(jié)點劃分為10對節(jié)點變形組，這10對節(jié)點的初始位置記作初始位置X0，即

圖5 節(jié)點的分布位置

圖6 節(jié)點初始位置X 0

形狀優(yōu)化的設計變量а對應的X0為

其中，а1、а2、а3、а4、а5、а6通過控制對應的節(jié)點水平移動從而引導截面寬度方向變形；а7、а8、а9、а10控制對應的對節(jié)點豎直位移引導截面高度方向變形。

2.3 尺寸優(yōu)化設計變量Ti的定義

箱形梁的主要受力零件是上蓋板、下蓋板和腹板，將這些板材的板厚作為設計變量Ti，即上蓋板板厚Ta、腹板板厚Tp、下蓋板板厚Tb，如圖7所示。設計變量與尺寸之間的線性關系可表示為

圖7 尺寸優(yōu)化設計變量

式中：p為屬性中要優(yōu)化的對象，C0為常數，Ti為設計變量，Ci為每個設計變量變化的線性系數。

由于優(yōu)化對象為殼單元的厚度，即C0＝1，Ca＝Cp＝Cb＝1，故式（2）可簡化為

2.4 設計變量靈敏度分析

靈敏度分析[10]是結構優(yōu)化中常用的手段，常用于尋找結構性能影響最大的設計變量。設計變量變化的靈敏度數值直觀地反映了該變量對性能的影響程度和趨勢，故可用于快速篩選出重要的設計變量進行優(yōu)化。

靈敏度分析一般是用于分析系統(tǒng)輸出響應對系統(tǒng)輸入參數的敏感度，對復雜的數學模型求取其倒數的階數較高時較復雜，鑒于此，常規(guī)的靈敏度分析均為設計響應對設計變量的一階偏導數，其數學表達式為

式中：g（X）為系統(tǒng)性能指標，X為系統(tǒng)設計參數向量，xi為系統(tǒng)設計參數向量中的第i個參數。

箱形梁截面形狀和尺寸優(yōu)化的設計變量關于質量、撓度的靈敏度分析結果如圖8、圖9所示。由圖8可知，為減輕主梁自重應減小а1、а6、а7等3個變量數值；由圖9可知，提高變量а2、а3、а6、а8的數值可降低主梁的撓度。

圖8 設計變量關于主梁質量的靈敏度

圖9 設計變量關于主梁撓度的靈敏度

經分析，減小設計變量а1、а6、а7數值對減重有利，增加這3個設計變量數值對降低撓度有利，故在優(yōu)化時需給予這些設計變量足夠的變化空間求解出最優(yōu)解。

2.5 優(yōu)化的數學模型

本文優(yōu)化的目標是箱形梁質量最輕。根據靈敏度分析結果和箱形梁結構模型參數，以及板厚初始值，設計變量板厚Ti變化范圍，如表3所示。節(jié)點初始位置X0的初始值、節(jié)點位移向量ΔXj的距離、縮放系數а的變化范圍如表4所示。

表3 板厚初始值和變化范圍Ti

表3 板厚初始值和變化范圍Ti

板厚初始值設計變量變化范圍T0 a 14 Ta[4，20]T0 p 8 Tp[4，20]T0 b 14 Tb[4，20]

表4 初始位置X0、變形向量ΔXj、縮放系數a

優(yōu)化約束條件為根據設計書工況1、工況2中跨中位置的Y向位移約束邊界為Cmid≤-40 mm；工況3、工況4中懸臂位置的Y向位移約束邊界為Cleft≤-28.6 mm。形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化的數學模型可表示為

3 優(yōu)化結果分析

3.1 主梁截面形狀與質量的耦合關系

經過18次迭代運算后，得到主梁自重最輕的截面形狀，以及主梁截面形狀與質量耦合關系曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 主梁截面形狀優(yōu)化的最優(yōu)解

圖11 主梁截面形狀與質量耦合關系曲線

由圖11可知，計算過程中的主梁自重隨迭代次數的增加逐漸趨于收斂，故該優(yōu)化結果有效。優(yōu)化前四邊形主梁自重為41.5 t，優(yōu)化后的箱形梁截面形狀由四邊形變成多邊形，且自重降至33.01 t，減重20.46%。

通過分析圖11形狀變化規(guī)律，可知迭代數0、1、2、3、4、5、8、18的形狀發(fā)生標志性變化，將這8個標志性形狀后對應的設計變量Xi、Ti的優(yōu)化結果單獨列表，如表5所示。

表5 8個標志性主梁截面形狀和尺寸優(yōu)化設計變量的值

3.2 優(yōu)化后主梁結構的靜力和線性屈曲分析

結構屈曲分析能夠用去確定結構開始變得不穩(wěn)定是的臨界載荷，也能從側面反映出主梁結構受力時的臨界載荷。故對新的主梁結構進行靜力和屈曲分析。通過靜力分析后，獲得優(yōu)化前后各工況的最大位移、最大應力如表6所示。通過線性屈曲分析可以得出箱形梁結構在工況2和工況4的載荷條件下的屈曲特征值λi數值如表6所示。屈曲臨界載荷Fi的計算公式為

表6 優(yōu)化前后各工況的位移、應力、屈曲特征值

式中：Fi為第i階屈曲臨界載荷，λi為第i階屈曲特征值，Wn為第n個工況的載荷。

由表6可知，優(yōu)化后的箱形梁結構在4種工況中的最大位移和最大應力均大幅低于優(yōu)化前結構，其中最大位移降低84.53%，最大應力降低71.74%。

分別將工況2、工況4優(yōu)化前后的Wn、λi代入式(6)得到優(yōu)化前后第1階、第2階的屈曲臨界載荷如表7所示。由表7可知，主梁結構經優(yōu)化后在工況2、工況4的前2階屈曲臨界載荷均高于優(yōu)化前，且比原結構最大高出300%。

表7 優(yōu)化前后第1階、第2階臨界屈曲載荷 N

4 結論

本文通過對門式起重機主梁截面的優(yōu)化，實現了箱形梁結構的輕量化設計。利用形狀和尺寸優(yōu)化組合的優(yōu)化模型，對箱形梁結構進行輕量化求解，經18次迭代后得到新多邊形的主梁結構。對新結構進行靜力和線性屈曲分析得到以下結論：

1）箱形梁截面經過形狀和尺寸優(yōu)化后，得到新的截面形狀和上下蓋板，2腹板的板厚，新的多邊形主梁結構減重20.46%；

2）新箱形梁結構的最大位移和最大應力均大幅低于優(yōu)化前原箱形梁結構，最多下降70%；

3）新箱形梁結構第1階、第2階的臨界屈曲載荷均高于優(yōu)化前結構，且高出3倍。