宋 軼 王振興 陳旭東 陳 禮 杜玉龍

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0 引言

汽車起重機根據(jù)伸縮臂伸縮方式的不同主要分單缸插銷方式和液壓缸繩排方式2種[1-5]，因工作方式、運動模式不同，受力傳遞方式也不同。

單缸插銷伸縮機構(gòu)主要應(yīng)用于100 t以上汽車起重機，承載能力強，但伸縮控制方式復(fù)雜、伸縮時間長、技術(shù)難度大。起重機通過缸頭實現(xiàn)伸縮液壓缸與任意伸縮臂的鎖死和解鎖，實現(xiàn)伸縮臂按順序的伸臂、縮臂。在吊載過程中，載荷引起的垂直臂節(jié)的受力會以剪力、彎矩的形式從臂頭依次向下傳遞，最后傳遞到基本臂。載荷沿著臂節(jié)的軸向力從臂頭傳到臂節(jié)再通過臂銷往下傳遞，最后傳遞到基本臂。單缸插銷伸縮臂的受力傳遞為逐級傳遞，方式較為簡單。

液壓缸繩排起重機主要應(yīng)用于100 t以下汽車起重機，具有尺寸小、質(zhì)量輕、同步伸縮快、無極伸縮等優(yōu)勢。液壓缸繩排起重機通過滑輪組、繩排實現(xiàn)臂節(jié)的同步伸縮，部分可以帶載伸縮。在吊載過程中，載荷垂直臂節(jié)的剪力、彎矩與單缸插銷相同，軸向力則是通過繩排和液壓缸進行傳遞，傳遞方式復(fù)雜。

針對單缸插銷傳動的研究較多，如對單缸插銷傳動動力學(xué)[6,7]、液壓電氣控制系統(tǒng)的仿真研究[8,9]，伸縮臂截面優(yōu)化[10]。伸縮缸繩排傳動方面的研究較少，張玖[11]通過分析受力傳遞方式建立了多節(jié)臂結(jié)構(gòu)液壓缸及鋼絲繩的計算數(shù)學(xué)模型，討論對強度、剛度、局部穩(wěn)定性的影響，沒有考慮非線性大變形的影響。

以上研究，對液壓缸繩排在結(jié)構(gòu)分析中的建模討論較少，設(shè)計計算沒有考慮變形的影響。正確的傳遞受力計算模型對于產(chǎn)品設(shè)計尤為關(guān)鍵。滑輪繩排具有2個特殊性：1）滑輪轉(zhuǎn)動是機構(gòu)不是結(jié)構(gòu)；2）當(dāng)忽略滑輪的摩擦和傳遞效率時，滑輪兩側(cè)繩排受力相同，這些特殊性導(dǎo)致建模復(fù)雜。

本文推導(dǎo)了汽車起重機液壓缸+繩排伸縮機構(gòu)傳遞受力計算公式，并基于有限元法、多體系統(tǒng)動力學(xué)，建立了五節(jié)臂的雙缸繩排伸縮臂分析模型。通過算例驗證了滑輪繩排模型的有效性，討論了變形對液壓缸繩排受力的影響，為液壓缸繩排的設(shè)計提供準(zhǔn)確的計算模型。

1 模型與方法

1.1 液壓缸繩排受力計算

汽車起重機主要包含底盤、轉(zhuǎn)臺、變幅液壓缸、臂架系統(tǒng)。本文研究的是變幅液壓缸及臂架系統(tǒng)。

五節(jié)臂雙缸繩排汽車起重機臂架系統(tǒng)簡化力學(xué)模型如圖1所示，部件包括伸縮臂、變幅液壓缸、伸縮液壓缸、滑輪繩排、臂頭等。如圖2所示，其中變幅液壓缸的黑色線為缸筒、白虛線為缸桿；5組黑色大橫線為伸縮臂節(jié)；基本臂內(nèi)白虛線為伸縮缸1的缸桿，二節(jié)臂內(nèi)白實線為伸縮缸1的缸筒；二節(jié)臂內(nèi)白虛線為伸縮缸2的缸桿，三節(jié)臂內(nèi)白實線為伸縮缸2的缸筒；三節(jié)臂臂頭的2個虛線圓及連線為滑輪組1；四節(jié)臂臂頭的2個虛線圓及連線為滑輪組2；五節(jié)臂臂頭的2個實線圓為臂頭上下滑輪；二節(jié)臂～五節(jié)臂間的細長實線為繩排；各節(jié)臂頭、臂尾的長方塊表示滑塊。

圖1 五節(jié)臂雙缸繩排汽車起重機結(jié)構(gòu)圖

圖2 五節(jié)臂雙缸繩排汽車起重機臂架系統(tǒng)簡化模型

為方便推導(dǎo)伸縮臂以及滑輪繩排受力的解析公式，做以下假設(shè)：1）由于繩排、繩排滑輪組、臂頭滑輪組的質(zhì)量較小，忽略繩排、各滑輪組的質(zhì)量；2）起升繩方向與五節(jié)臂方向相同，即認(rèn)為起升倍率引起的起升繩向后拉力沿著臂節(jié)的軸向方向；3）忽略摩擦力、臂架變形引起的軸向力分布影響；4）由于安裝后各節(jié)臂的質(zhì)心水平方向的偏差較小，忽略該差異，假設(shè)均處于同一水平線上。

設(shè)各節(jié)臂的質(zhì)量為mi，i＝1～5。基本臂與二節(jié)臂之間的伸縮缸桿、缸筒質(zhì)量分別為ma1、ma2，二節(jié)臂與三節(jié)臂之間的伸縮缸桿、缸筒質(zhì)量分別為mb1、mb2。工況參數(shù)包括重力加速度為g、吊載載荷為m、起升繩倍率為k、基本臂變幅角度為α等。

吊載、起升繩、五節(jié)臂引起的軸向受力為液壓缸繩排2的繩子受力為

液壓缸繩排1的受力為2倍液壓缸繩排2的受力以及四節(jié)臂的重力軸向分量，表示為

將式（1）代入后得

伸縮液壓缸2的受力為2倍液壓缸繩排1的受力加上伸縮液壓缸2缸筒質(zhì)量、三節(jié)臂的重力軸向分量，并減去液壓缸繩排2的受力，表示為

將式（1）、式（2）代入后得

伸縮液壓缸1的受力為伸縮液壓缸1的受力加上伸縮液壓缸1缸筒質(zhì)量、伸縮液壓缸2缸桿質(zhì)量、二節(jié)臂的重力軸向分量，減去液壓缸繩排1的受力，表示為

將式（2）和式（3）代入后得

以上公式未考慮變形，如果考慮變形，式（1）～式（4）中的α應(yīng)使用對應(yīng)臂節(jié)所在的角度。各節(jié)臂的真實角度計算需要考慮變形，利用有限元法的非線性計算能準(zhǔn)確地計算臂節(jié)角度。

1.2 梁單元有限元

采用有限元法分析梁彎曲問題時，通常選用的2結(jié)點梁單元[12，13]如圖3所示。

圖3 單元節(jié)點變形和受力圖

圖3中，u1、v1、θ1和u2、v2、θ2分別為節(jié)點1和2的軸向、切向、轉(zhuǎn)角位移。N1、R1、M1和N2、R2、M2為對應(yīng)節(jié)點1和節(jié)點2受到的軸向力、切向力、轉(zhuǎn)角力矩。

梁單元的平衡方程為

其中，C1=AE/L、C2=EI/L3可簡寫為

式中：Fe為6×1單元力向量，Ke為對稱的6×6單元剛度矩陣，qe為6×1單元位移向量。

利用對梁單元局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，對單元剛度陣和單元力向量進行剛度矩陣和等效結(jié)點力的組集，即得到梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限元平衡方程。組集后可得

式中：K為總體剛度矩陣，q為總體節(jié)點位移列陣，F(xiàn)為總體外力列陣。

對平衡方程進行施加邊界條件后即可進行線性變形求解。

然而，當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受載后的幾何變形較大不滿足小變形假設(shè)時，此時剛度矩陣、外力列陣不再是常量，而與變形有關(guān)，平衡方程可寫為

此方程為非線性方程組，總體剛度矩陣K(q)不再是常數(shù)矩陣，而是隨節(jié)點變形改變，總體外力列陣F也與節(jié)點變形相關(guān)。該方程組可用牛頓-萊夫森法求解或修正的牛頓-萊夫森法進行迭代求解，從而獲得大變形非線性解。

1.3 臂架系統(tǒng)有限元模型

為研究變形導(dǎo)致液壓缸、繩排的受力差異，建立臂架及液壓缸繩排系統(tǒng)有限元模型。利用二維梁有限元對圖2的汽車起重機臂架系統(tǒng)進行建模，并進行簡化處理說明。

單元說明：1）伸縮臂、液壓缸單元均按實際尺寸計算截面面積、抗彎、抗扭截面參數(shù)。2）變幅液壓缸上鉸點到基本臂形心單元、繩排滑輪組單元的截面參數(shù)根據(jù)尺寸近似計算，并進行放大。

節(jié)點說明：1）各節(jié)臂臂頭、臂尾、中間滑塊搭接處為主要節(jié)點，基本臂變幅液壓缸支撐節(jié)點需要從形心處往下偏置，末節(jié)臂臂頭上下滑輪中心設(shè)置節(jié)點。2）伸縮缸桿和缸筒頭、尾、中間滑動連接處設(shè)置為節(jié)點；與伸縮臂固定連接的地方，增加伸縮臂的節(jié)點；變幅液壓缸缸桿和缸筒頭、尾、中間滑動連接處設(shè)置為節(jié)點。3）每個繩排滑輪兩側(cè)與繩排相切點、滑輪中心設(shè)置為節(jié)點，即1個滑輪簡化為3個節(jié)點。

節(jié)點耦合說明：1）變幅液壓缸下鉸點節(jié)點、基本臂根鉸點節(jié)點與地面轉(zhuǎn)動約束，放開轉(zhuǎn)動自由度。2）變幅液壓缸上鉸點節(jié)點與基本臂連接點節(jié)點、三四節(jié)臂繩排滑輪中間節(jié)點與相應(yīng)臂頭部節(jié)點轉(zhuǎn)動耦合，放開轉(zhuǎn)動自由度。3）各節(jié)臂相互搭接節(jié)點放開軸向移動自由度，耦合其余自由度。4）變幅液壓缸、伸縮液壓缸中間連接的節(jié)點放開沿軸向移動方向的自由度，耦合其余自由度。

按初始變幅角度為0°，即臂架水平放置時建好的有限元模型如圖4所示，共包含37個單元，46個節(jié)點。其中五節(jié)臂單元依次為4、3、3、3、5個單元，共18個單元；3套液壓缸共9個單元；2套滑輪繩排共10個單元。

圖4 液壓缸繩排起重機臂架系統(tǒng)有限元模型

1.4 動力學(xué)模型

根據(jù)25 t汽車起重機建立的動力學(xué)模型如圖5所示。模型一共13個物體，3個自由度。其中物體為五節(jié)臂、變幅液壓缸的缸桿和缸筒、2套伸縮液壓缸的缸桿和缸筒，2個滑輪。3個自由度指3個伸縮液壓缸的運動，仿真中給定運動學(xué)驅(qū)動。除了施加重力外，在臂頭上滑輪中心施加向后的起升繩拉力（重物質(zhì)量除以倍率），在下滑輪中心施加豎直向下的重力。

圖5 液壓缸繩排起重機臂架系統(tǒng)動力學(xué)分析模型

滑輪繩排1和2使用Cable子模塊建立，如圖6和圖7所示。第1套滑輪繩排是在三節(jié)臂里的伸縮液壓缸缸筒頭部建立滑輪，在繩排連接的二節(jié)臂、四節(jié)臂尾部建立繩排錨點。同理第2套滑輪繩排在四節(jié)臂頭建立滑輪，在繩排連接的三四節(jié)臂尾部建立繩排錨點。使用Cable模塊建立的繩排滑輪模型，既可體現(xiàn)滑輪的轉(zhuǎn)動、繩子的彈性伸縮，也可保證兩側(cè)繩的受力相同，能真實體現(xiàn)實際繩排滑輪的運動學(xué)、動力學(xué)效果。

圖6 動力學(xué)模型伸縮繩排1

圖7 動力學(xué)模型伸縮繩排2

為避免運動過程中動力學(xué)慣性力的影響，以較慢速度進行變幅運動控制。采用1 000 s，0.01的步長仿真，仿真完成后進入后處理輸出需要時刻或角度的伸縮液壓缸受力、繩排受力。

2 算例

以25 t汽車起重機為例進行計算研究。該起重機的伸縮臂、伸縮液壓缸的參數(shù)如表1、表2所示。

表1 伸縮臂參數(shù)

表2 伸縮液壓缸參數(shù)

2.1 受力計算驗證對比

當(dāng)不考慮變形時，液壓缸繩排起重機的液壓缸力、繩排力可通過解析公式、動力學(xué)模型、有限元模型（把彈性模量增大1 000倍近似剛性）進行計算。為驗證模型的一致性，進行算例分析對比。

對比工況為所有臂節(jié)50%伸臂，即伸縮液壓缸1伸出4.25 m，伸縮液壓缸2也伸出4.25 m。臂頭吊載5 t，起升繩倍率為2，無風(fēng)載，有重力。

由圖8伸縮液壓缸和繩排的受力與臂架變幅角的關(guān)系曲線可見，當(dāng)不考慮臂架變形影響時，3種不同的計算方法的結(jié)果曲線基本重合，說明計算方法是等同正確的。

圖8 液壓缸、繩排受力與變幅角關(guān)系

隨著變幅角的增加，受力均呈非線性的遞增。變幅角小說明臂架接近于水平，重力引起的受力沿著臂架軸向分量小，伸縮液壓缸、繩排的受力就小；反之臂架變幅角大說明臂架垂直性大，重力軸向分量大，伸縮液壓缸、繩排的受力就大。繩排2受力是繩排1受力的一半，伸縮液壓缸2受力是伸縮液壓缸1受力的2倍多。

以上分析如解析公式計算、動力學(xué)計算均不能考慮變形的影響。利用有限元模型可以考慮變形計算臂架傾斜角度，從而準(zhǔn)確地計算液壓缸繩排受力。

2.2 考慮變形受力對比

采用有限元模型進行計算，應(yīng)考慮變形對結(jié)果的影響。圖9為伸縮臂變幅30°、臂架半伸、吊載5 t、起升倍率為2的變形前后對比圖。由于重力作用，臂架由基本臂到臂頭漸漸下彎，臂頭前探。即整體臂架軸線由于變形前彎的影響由原來的在一條直線上逐漸傾斜。

圖9 液壓缸繩排起重機臂架系統(tǒng)變形前后對比

分析不同變幅角對臂架整體位移變形、彎曲變形、伸縮液壓缸受力、繩排受力的影響。圖10a和圖10b為吊載5 t時臂頭位移變形、轉(zhuǎn)角變形與變幅角度的關(guān)系。由此可見，隨著變幅角的增加，臂頭位移變形由0.94 m降到0.25 m，臂頭轉(zhuǎn)角由3.2°降到0.7°。即在變幅角度30°時，臂頭位移和轉(zhuǎn)角最大。

圖10 液壓缸繩排起重機臂架系統(tǒng)變形前后對比

由于變形影響臂架傾角，進一步會影響液壓缸繩排的受力（見圖10c和圖10d），不考慮臂架變形與考慮變形的受力略有差異。其中伸縮缸2的伸縮力最大差值在變幅角30°時為0.98 t，相對誤差為5.5%。

2.3 伸縮臂受力分析

伸縮液壓缸、滑輪繩排的分配導(dǎo)致各節(jié)臂的軸向力與單缸插銷方式有所不同。對同一工況，分析對比2種方式對臂節(jié)軸向受力的影響。

圖11為五節(jié)臂的軸向受力圖，x軸為長度單位，用以查看臂長，y軸為軸向受力。每節(jié)伸縮臂y方向進行平移處理，方便區(qū)分不同臂節(jié)。由圖11a可見，單缸插銷的載荷傳遞為逐級傳遞，臂尾到銷軸之間均受到吊載載荷和臂節(jié)重力的軸向力傳遞，銷軸到臂頭承受的該段臂節(jié)重力引起的軸向力很小。液壓缸繩排對臂節(jié)間的軸向力傳遞如圖11b所示，基本臂由于變幅液壓缸的影響，變幅液壓缸以下，軸向力最大達到46.5 t。伸縮臂每節(jié)臂從臂頭到臂尾軸向受力均勻，變化很小。四節(jié)臂軸向力比其余伸縮臂大。伸縮臂受力均勻是因為繩排由臂尾托著臂節(jié)，載荷由臂尾傳遞到臂頭。

圖11 液壓缸繩排起重機臂架軸力、彎矩圖

3 結(jié)論

1）本文建立的液壓缸繩排受力計算公式、動力學(xué)模型、有限元模型均可用于液壓缸繩排的受力計算。解析計算公式更方便，有限元模型計算更準(zhǔn)確。

2）變形可減小臂節(jié)實際傾斜角度，從而導(dǎo)致軸向受力比不考慮的受力小。隨著起重量的增加，變形加劇，影響會變大。

3）伸縮臂節(jié)的軸向力與單缸插銷有區(qū)別，液壓缸繩排方式伸縮臂節(jié)的軸向受力遍布整個臂節(jié)，且分別均勻。