傅煥銘

一、教材分析

我們收集的原始數(shù)據(jù)往往多而雜，需要對原始數(shù)據(jù)進行分析、處理，找到數(shù)據(jù)背后蘊藏的信息。對總體統(tǒng)計特征的刻畫包括兩個層面：一是總體統(tǒng)計特征的全面刻畫，即刻畫出總體中所有個體的取值規(guī)律，這個規(guī)律可以用總體的頻率分布表和頻率分布直方圖描述或近似描述；二是總體部分統(tǒng)計特征的刻畫，如平均數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差等數(shù)字特征。

二、教學目標

（一）核心素養(yǎng)

學生初步習得科學處理數(shù)據(jù)的能力。

（二）教學目標

（1）學生用頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等數(shù)據(jù)特征。

（2）學生能自行獨立計算樣本數(shù)據(jù)的標準差、方差，并知道分別刻畫統(tǒng)計的什么特征。

（3）學生會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本特征估計總體特征，理解用樣本估計總體的思想，并能利用所學知識解決生活中的一些現(xiàn)實問題。

三、教學重難點

教學重點：學生能從頻率分布直方圖上估計出樣本數(shù)據(jù)特征。

教學難點：學生理解總體分布的概念，形成統(tǒng)計思維。

四、教學過程

師：同學們，前面我們已經(jīng)研究過通過抽樣調(diào)查來研究數(shù)據(jù)的方法，了解了提高樣本代表性的一些具體方法，收集數(shù)據(jù)后，我們要從中找到數(shù)據(jù)背后包含的信息，方可達到用樣本估計總體的目的。今天我們就一起研究“用樣本估計總體”。

（一）課前導學

師：同學們，根據(jù)自學任務(wù)，思考下列問題并完成檢測。

任務(wù)1：樣本數(shù)字特征有哪些？如何求？這些特征在頻率分布直方圖上如何估計？

任務(wù)2：樣本數(shù)字特征是如何反映樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度的？

（設(shè)計意圖：通過出示自學任務(wù)，引導學生自學，相機進行自學效果檢測。學生根據(jù)自學情況，檢測新知中還有哪些內(nèi)容沒有理解和掌握，從而有針對性地學習本節(jié)內(nèi)容，實現(xiàn)高效學習。同時也旨在培養(yǎng)學生良好的學習習慣，指導學生學會學習數(shù)學的方法。）

（二）課堂設(shè)計

探究一：樣本的數(shù)字特征1

1.探究：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念。

師：請同學們根據(jù)概念解釋，完成概念名詞的填空，并揣摩這些概念的含義。

（1）______：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

（2）______：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)（或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）。

（3）______：指一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即■=■（x1+x2+…+xn）。

師指名學生匯報結(jié)果，說出每個概念的關(guān)鍵詞，并分別進一步解釋各概念。

2.探究：在頻率分布直方圖中估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

師：請同學們結(jié)合剛剛對這些概念名詞的理解和題后解釋，完成下面的填空，并揣摩其含義。

（1）______：通常是指頻率分布直方圖中最高矩形的中點的橫坐標。

（2）______：頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等。

（3）______：平均數(shù)每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和。

師指名學生匯報結(jié)果，說說你是怎么想的。

3.師：根據(jù)剛才我們對數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的理解，請嘗試解決下面的問題。

例1.根據(jù)某城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖1），如何估計數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？

學生小組合作完成，指名小組代表匯報，師生共同評析。

（設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)主要目的是引導學生探究樣本的數(shù)字特征1，也就是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。首先，引導學生通過字面意思理解這些概念，然后再通過三個概念的解釋讓學生根據(jù)自己對概念的理解去匹配相應的概念，達到加深理解概念的目的。其次，通過第二個探究活動，引導學生學會通過頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。最后，通過一個例題，加深鞏固所學知識，并應用所學知識解決生活中的實際問題，從而達到學以致用的目的，提升學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。）

探究二：樣本的數(shù)字特征2

師：我們剛剛探究了樣本數(shù)字的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，有時候數(shù)據(jù)的這些特征不足以表征數(shù)據(jù)的隱含信息，比如，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，哪一組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定一些呢？這就需要我們探究樣本數(shù)字的其他特征——標準差與方差。我們繼續(xù)探究。

1.探究：標準差與方差。

師：請同學們完成下面的填空，并揣摩其含義。

（1）________：如果有n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn，則用■表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，s表示樣本的標準差，則s=■。

（2）________：標準差s的平方s2=■［（x1-■）2+（x2-■）2+…+（xn-■）2］。

師指名學生匯報結(jié)果，說說是怎么理解的。

2.師：根據(jù)剛剛我們對一組數(shù)據(jù)的方差和標準差的理解，請嘗試解決下面的問題。

例2.抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位同學的5次跳遠測試成績（單位：厘米），如表1。

（1）甲、乙兩位同學成績的方差是多少？

（2）甲、乙兩位同學成績的標準差是多少？

（3）甲、乙兩位同學誰的成績更穩(wěn)定？

提示：方差反映樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越大，數(shù)據(jù)波動程度越大，方差越小，樣本波動程度越小。

學生小組合作探究，然后派小組代表匯報，全班交流，師生共同評析。

（設(shè)計意圖：引導學生探究樣本的數(shù)字特征2，即樣本數(shù)據(jù)的標準差和方差，要從字面意思理解這兩個概念很難，不像眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)那樣簡單，但是，這次給出的概念解釋就很簡單、明顯，學生通過這兩個概念的解釋很容易匹配相應的概念。但是，學生不太容易理解標準差和方差。接下來，我通過一個例題，讓學生以小組合作的形式解決這個問題，使學生在解決實際問題的過程中加深理解標準差和方差，從而降低學生的學習難度，提升學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。）

師：本節(jié)課我們學習樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差和標準差這些特征的目的就是通過樣本數(shù)字的這些特征去估計總體數(shù)字的特征。接下來，我們就一起開啟第三個探究活動——用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征。

探究三：用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征

師：（多媒體出示例3）請看例3，思考下面的問題。

例3.抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次的成績，每次命中的環(huán)數(shù)如表2：

思考：如果你是教練，如何評價這兩位運動員的射擊成績呢？如果選拔一名運動員參賽，你將選誰呢？

學生小組合作探究，然后派小組代表匯報，全班交流，師生共同評析。

師：我們順利地通過三個探究活動完成了今天這節(jié)課的學習任務(wù)，了解了樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差和標準差等特征，并能用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體數(shù)據(jù)特征。接下來，我們通過幾個題目來檢測一下你們究竟學得怎么樣。

（三）課堂檢測

1.下列說法正確的是（? ）

A.在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)的大小決定其方差的大小。

B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動大小。

C.方差是一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與平均值的差的平方之和。

2.已知一組數(shù)據(jù)是18，15，10，20，17，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差和標準差按從小到大的順序排列為（? ? ? ? ）。

3.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的標準差為（? ）

A．8? ? ? B.15

C.16? ? ? D.32

學生獨立完成后，教師指名學生匯報，師生共同評析。

（設(shè)計意圖：從“雙減”的角度，通過3個題目鞏固學生所學知識，檢測學生數(shù)學核心素養(yǎng)的生成情況。）

（四）課堂小結(jié)

1.梳理所學知識點，形成知識結(jié)構(gòu)。

2.交流學習方法和學習體驗。

（設(shè)計意圖：通過讓學生梳理所學知識點，檢測學生學習效果和教師教學效果，旨在促進學生學習和改進教師教學，引導學生把零散的知識點形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)并內(nèi)化于心。讓學生交流學習方法和學習體驗，目的是引導學生學會學習，總結(jié)有效的數(shù)學學習方法，同時讓學生分享學習數(shù)學的美好體驗，使學習數(shù)學成為學生的一種享受，不斷激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。）

五、教學反思

本節(jié)內(nèi)容中對統(tǒng)計的學習，主要是通過一些實際問題案例，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全部過程，在處理過程中理解統(tǒng)計的基本思想方法，逐步形成統(tǒng)計觀念，使學生養(yǎng)成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的生活態(tài)度，在解決實際問題中發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析能力。對于學科素養(yǎng)下的高中數(shù)學教學，我們應注意以下兩點：

（一）設(shè)計教學時目標要指向核心素養(yǎng)

在設(shè)計教學時，我們不能僅僅圍繞教授知識點進行，還要弄清楚核心素養(yǎng)是什么。這節(jié)內(nèi)容的核心素養(yǎng)就是數(shù)據(jù)分析，在例題教學時，我特別注重讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析處理的全過程，以提高學生的數(shù)據(jù)分析能力。

（二）教學時活動要指向核心素養(yǎng)

教學活動要為教學目標服務(wù)，一切不為教學目標服務(wù)的活動都是無效的活動，沒有任何意義。在本課教學活動中，每一個探究活動都指向了核心素養(yǎng)。如例1，讓學生根據(jù)頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，是提升學生數(shù)據(jù)分析能力的一種途徑；例2，讓學生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析樣本的特征，是在鍛煉學生的數(shù)據(jù)分析能力；例3，讓學生通過分析樣本數(shù)據(jù)特征，挖掘數(shù)據(jù)背后的信息，從而科學、合理地對問題做出決策。這樣，學生通過參與教學活動，就可以在獲得新知的過程中有效提升核心素養(yǎng)。

（作者單位：紹興市陽明中學）

編輯：溫雪蓮