胡鷹 呂暢 原嘉辰

摘 要：為了有效解決電液伺服系統(tǒng)主從控制結(jié)構(gòu)中主缸和從缸PID控制器的參數(shù)設(shè)定問(wèn)題，提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化算法與模型仿真相結(jié)合的求解方法。在該求解方法中，將參數(shù)設(shè)定問(wèn)題建模為了一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)空間包括主從同步誤差、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和積分平方誤差四個(gè)維度，建立了主從結(jié)構(gòu)的PID控制仿真模型，來(lái)獲取目標(biāo)空間的目標(biāo)值。改進(jìn)了MOEAD算法，通過(guò)親代選擇以及子代生成算子選擇強(qiáng)化算法子代的多樣性，通過(guò)個(gè)體與權(quán)重向量的綁定機(jī)制和外部種群對(duì)無(wú)效權(quán)重向量的替換策略對(duì)原始算法中的權(quán)重向量進(jìn)行重調(diào)整。由改進(jìn)的MOEAD算法獲取了最終的Pareto非支配解集，在最終解集中選取了拐點(diǎn)個(gè)體作為控制器的最優(yōu)參數(shù)，提高了主從同步結(jié)構(gòu)的控制品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：同步控制；多目標(biāo)優(yōu)化；仿真；PID控制

中圖分類號(hào)：TP273?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A??? 文章編號(hào)：1001-3695（2024）05-022-1434-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2023.09.0400

Parameter optimization of master-slave PID controller based on improved MOEAD algorithm

Abstract：To solve the parameter tunning problem of PID controllers in master-slave control structure of electro-hydraulic servo system， this paper proposed a solution method based on multi-objective optimization algorithm combined with model simulation. This method modeled the problem as a multi-objective optimization problem whose target space included four dimensions， namely master-slave synchronization error， settling time， overshoot and integral squared error. And it established the simulation model of master-slave PID control structure to obtain the target value of the target space. Additionally， it improved the MOEAD algorithm by strengthenning the diversity of generated offspring through the selection of parents along with the offspring generate operators and readjusting the weight vector through the substitution strategy of invalid ones using external populations and binding mechanism between weight vectors and individuals. Finally， this method got the final Pareto non-dominated solution set and then selected the knee point individual as the optimal parameter of the controller in the solution set， which improves the control quality of the master-slave synchronization structure.

Key words：synchronous control; multi objective optimization; simulation; PID control

0 引言

液壓傳動(dòng)技術(shù)因其具有的輸出功率大、安裝靈活、穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、海洋開發(fā)、土建工程等工業(yè)領(lǐng)域。在大多數(shù)設(shè)備中，往往要求兩個(gè)或多個(gè)元件同步執(zhí)行，這就需要對(duì)多套液壓進(jìn)行同步控制。同步控制系統(tǒng)包括等同式和主從式兩種。等同式控制結(jié)構(gòu)中，兩個(gè)液壓缸的參考值同時(shí)由外部提供，雙缸之間無(wú)耦合關(guān)系，他們各自形成控制閉環(huán)。不同于等同式控制結(jié)構(gòu)，在主從控制結(jié)構(gòu)中，主缸接收外部的參考值，從缸接收主缸的實(shí)時(shí)輸出值作為其參考值，即從缸跟隨主缸的運(yùn)動(dòng)。主從缸的PID控制器參數(shù)需要分別給定。這種主從控制結(jié)構(gòu)中，在滿足PID控制的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、調(diào)節(jié)誤差等目標(biāo)之外，還需要盡量減小主從缸之間的位移誤差。而這種大時(shí)滯、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)的PID參數(shù)整定十分困難。

早期的PID整定方法為Z-N法［1］，由兩位儀器公司的工程師提出，他們通過(guò)系統(tǒng)臨界振蕩時(shí)的增益和振蕩周期計(jì)算出PID控制器參數(shù)。進(jìn)化算法出現(xiàn)之后，很多研究人員將其用于PID控制器的參數(shù)整定。

一部分學(xué)者將單組PID控制器的整定問(wèn)題建模為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并使用單目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。Feleke等人［2］使用ITAE建立目標(biāo)，并使用差分進(jìn)化算法應(yīng)用于能源系統(tǒng)的PID控制器。盧艷軍等人［3］通過(guò)將PSO算法中的慣性權(quán)重做非線性動(dòng)態(tài)下降處理，提高了算法的搜索性能，同時(shí)使用ITAE作為單目標(biāo)，將算法應(yīng)用于無(wú)人機(jī)PID控制器整定。呂紅芳等人［4］將免疫思想引入PSO算法中，提高了算法精度，并使用ITAE作為單目標(biāo)，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明改進(jìn)后的粒子群算法控制效果更佳。上述研究人員將單組PID控制器的整定問(wèn)題建模為單目標(biāo)問(wèn)題模型，并使用單目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。為了兼顧PID控制中的系統(tǒng)誤差和收斂速度，文獻(xiàn)多使用ITAE做目標(biāo)函數(shù)。但I(xiàn)TAE指標(biāo)傾向于選擇調(diào)節(jié)時(shí)間較短的PID參數(shù)，在超調(diào)方面表現(xiàn)較差。其他的ISE、IAE等指標(biāo)均表現(xiàn)出不同的響應(yīng)特點(diǎn)，均不能得到PID控制器的最佳參數(shù)。

另一些學(xué)者采用加權(quán)和的方法處理PID控制器參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題中的多個(gè)子目標(biāo)。Sibtain等人［5］將光伏與風(fēng)電網(wǎng)PID控制器的三項(xiàng)子目標(biāo)做權(quán)重和，并將其對(duì)時(shí)間的積分作為單目標(biāo)，使用GA進(jìn)行整定。Goud等人［6］將連續(xù)攪拌釜式反器的PID控制器調(diào)節(jié)問(wèn)題中的多個(gè)目標(biāo)加權(quán)為一個(gè)目標(biāo)，并用PSO進(jìn)行優(yōu)化。Ma等人［7］使用調(diào)節(jié)時(shí)間、輸出偏差和系統(tǒng)輸出三項(xiàng)的加權(quán)積分值作為單目標(biāo)，并將改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法應(yīng)用于挖機(jī)電液伺服系統(tǒng)的PID參數(shù)優(yōu)化。加權(quán)和可以將PID整定問(wèn)題中多個(gè)子目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，從而使用單目標(biāo)優(yōu)化算法求解，但整定問(wèn)題中，超調(diào)、調(diào)節(jié)時(shí)間和系統(tǒng)誤差三個(gè)目標(biāo)相互矛盾，它們之間的加權(quán)權(quán)重?zé)o法確定，導(dǎo)致求解結(jié)果不穩(wěn)定。

還有一部分學(xué)者為PID的整定問(wèn)題建立了多目標(biāo)問(wèn)題模型，并使用多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。Milainovic＇等人［8］使用NSGA-Ⅱ來(lái)調(diào)節(jié)水文預(yù)測(cè)工具中的PID控制器，建立了一系列的二維目標(biāo)函數(shù)組，并對(duì)各組目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了測(cè)試。Liu等人［9］為PID參數(shù)調(diào)節(jié)問(wèn)題設(shè)置了直接目標(biāo)和非直接目標(biāo)，并建立了對(duì)應(yīng)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型進(jìn)行求解。Sabahi等人［10］將模糊PID的整定建模為兩目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并使用AWPSO（adaptive weighted PSO）算法求解。Rajamani等人［11］為硬件電路設(shè)計(jì)問(wèn)題中的PID控制器整定問(wèn)題建立了目標(biāo)空間為兩維的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型，并使用NSGA-Ⅱ來(lái)進(jìn)行求解。在這部分文獻(xiàn)中，同樣只對(duì)單組PID控制器的整定問(wèn)題進(jìn)行求解。這些文獻(xiàn)中僅將PID控制器整定問(wèn)題建立為目標(biāo)空間兩維的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，未能有效處理問(wèn)題中其他控制指標(biāo)。

本文將主從控制結(jié)構(gòu)的液壓缸同步控制系統(tǒng)PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題建模為目標(biāo)空間四維、決策空間六維的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。在目前相關(guān)文獻(xiàn)中，常用且較為成熟的求解算法包括GA［12］、PSO［13］、DE［14］和NSGA-Ⅱ［15］等。GA模擬自然進(jìn)化過(guò)程對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，作為一種隨機(jī)搜索算法，其適用于任意形式的目標(biāo)函數(shù)，但其搜索能力較差。PSO算法受鳥群捕食行為啟發(fā)而來(lái)，算法使用群體最優(yōu)信息與個(gè)體最優(yōu)信息來(lái)引導(dǎo)種群迭代，因此其收斂速度較GA快，但易早熟收斂，且無(wú)法保證獲取全局最優(yōu)解。DE基于個(gè)體間差向量做變異操作，算法參數(shù)少，原理簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，但仍易落入局部最優(yōu)。GA、PSO和DE同屬于單目標(biāo)優(yōu)化算法，不適用于本文的多目標(biāo)問(wèn)題模型。NSGA-Ⅱ是多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA的改進(jìn)版，加入了精英策略與擁擠距離，提高了原算法的性能，但隨著目標(biāo)數(shù)量增多，非支配排序的選擇壓力逐漸不足，因此僅適用于三個(gè)目標(biāo)或以下的優(yōu)化問(wèn)題。MOEAD算法［16］基于權(quán)重向量分解生成子問(wèn)題，天然具有更好的搜索能力，且其選擇壓力強(qiáng)于NSGA-Ⅱ，算法復(fù)雜度低于NSGA-Ⅱ。本文選擇MOEAD算法進(jìn)行求解，通過(guò)對(duì)MOEAD算法的改進(jìn)，加強(qiáng)其獲取復(fù)雜帕累托前沿的能力。將改進(jìn)后的多目標(biāo)優(yōu)化算法應(yīng)用于主從控制結(jié)構(gòu)的PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題中。對(duì)比該方法與傳統(tǒng)的Z-N法、經(jīng)典單目標(biāo)優(yōu)化方法和經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化方法，驗(yàn)證了本文方法對(duì)主從結(jié)構(gòu)PID控制器進(jìn)行整定的可行性和有效性，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 同步控制系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)

閥控液壓缸的閉環(huán)同步控制有等同同步控制和主從同步控制兩種控制策略。圖1、2分別為兩種控制策略下的PID控制框圖。本文解決后者的PID控制器整定問(wèn)題。

圖中，PID控制器將給定參考值與實(shí)際輸出值的偏差分別做比例（P）、積分（I）、微分（D），并將三個(gè)計(jì)算量線性組合為控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制。

2 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題建模

使用MATLAB中的Simulink工具箱對(duì)主從模式的PID控制結(jié)構(gòu)建模。以某型矯直機(jī)為例，其主壓下系統(tǒng)采用主從同步控制結(jié)構(gòu)。一組閥控液壓缸的傳遞函數(shù)通過(guò)查閱文獻(xiàn)［17］得到。由伺服閥閥芯位移到液壓缸活塞位移的傳遞函數(shù)為

其中：Kh為伺服閥的增益；ωh為閥控液壓缸系統(tǒng)固有頻率；ξh為系統(tǒng)阻尼比。文獻(xiàn)［17］給出了某型矯直機(jī)的一組參數(shù)，并依據(jù)設(shè)備參數(shù)計(jì)算得到了閥控液壓缸傳遞函數(shù)中三個(gè)參數(shù)Kh、ωh、ξh的取值。具體取值情況見(jiàn)表1。

故，此閥控液壓缸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

使用Simulink建立的主從結(jié)構(gòu)同步控制仿真模型中，PID模塊共有兩個(gè)，分別對(duì)應(yīng)主、從缸的控制器，共6個(gè)參數(shù)，分別對(duì)應(yīng)主、從缸控制器的P、I、D值。

仿真模型的輸出設(shè)定為對(duì)應(yīng)時(shí)間序列的位移量。依據(jù)仿真模型來(lái)建立多目標(biāo)優(yōu)化的問(wèn)題模型。

圖3為仿真模型。圖中1、2、3號(hào)輸出端口為后續(xù)建立問(wèn)題模型所使用，simout即為含有對(duì)應(yīng)時(shí)間序列的位移量。

2.1 同步誤差目標(biāo)

使用同步誤差建立目標(biāo)函數(shù)，用式（3）來(lái)計(jì)算調(diào)節(jié)過(guò)程中主、從缸之間的位移累計(jì)誤差。

其中：T為仿真模型的仿真時(shí)長(zhǎng)；mt和st為對(duì)應(yīng)時(shí)間標(biāo)簽t處的主缸和從缸位移值。

2.2 主、從缸的調(diào)節(jié)時(shí)間目標(biāo)

當(dāng)系統(tǒng)偏移量小于2%時(shí)，系統(tǒng)判定為穩(wěn)定，計(jì)算此時(shí)的時(shí)間。計(jì)算方法如式（4）所示。

Tst=Tm_st+Ts_st（4）

其中：Tm_st和Ts_st分別為主、從缸的調(diào)節(jié)時(shí)間，計(jì)算方法由式（5）（6）來(lái)表示。

其中：sm_output為主缸位移值；rm為主缸接收的外部參考值；ss_output為從缸的位移值；rs（t）為從缸的參考值，從缸跟隨主缸移動(dòng)，它的參考值即為主缸的位移值，是時(shí)間t的函數(shù)。在偏差小于參考值的2%時(shí)判為穩(wěn)定。

2.3 主、從缸的超調(diào)目標(biāo)

超調(diào)量也叫最大偏差，表示被控量偏離參考值的程度，這項(xiàng)指標(biāo)在實(shí)際工程中十分重要，使用式（7）進(jìn)行計(jì)算。

σ=σm+σs（7）

式（7）包括主缸超調(diào)部分σm和從缸超調(diào)部分σs，從缸參考值會(huì)隨時(shí)間改變，因此，從缸的超調(diào)值取所有仿真時(shí)間標(biāo)簽中的最大值。主缸超調(diào)部分和從缸超調(diào)部分分別為

σm=max（sm_output（t）－rm）（8）

σs=max（|ss_output（t）－rs（t）|）（9）

其中，主缸超調(diào)計(jì)算時(shí)只考慮位移大于參考值的情況，從缸超調(diào)計(jì)算時(shí)考慮與其參考值偏差的絕對(duì)值。

2.4 主、從缸的積分平方誤差目標(biāo)

主缸和從缸的積分平方誤差（ISE）計(jì)算式為

Fise=Fm_ise+Fs_ise=∫（|em（t）|2）dt+∫（|es（t）|2）dt（10）

包含了一組PID控制中，控制量與參考值的偏差。其中：Fm_ise為主缸積分平方誤差；Fs_ise為從缸積分平方誤差；e（t）為時(shí)刻t時(shí)的位移值與參考值之間誤差，t為仿真時(shí)間。

綜上所述，建立多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型。其目標(biāo)空間為四維，決策空間為六維。問(wèn)題模型的描述如式（11）所示，式中決策向量為主從兩組PID控制器的參數(shù)，每組為三個(gè)。目標(biāo)向量由四個(gè)目標(biāo)值組成，分別為同步誤差、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和積分平方誤差。

min y=f（x）=［Fsyc，Tst，σ，F(xiàn)ise］

x=［xm_p，xm_i，xm_d，xs_p，xs_i，xs_d］

s.t. ?xmin≤x≤xmax（11）

3 MOEAD多目標(biāo)優(yōu)化算法的改進(jìn)

真實(shí)世界的優(yōu)化問(wèn)題不同于測(cè)試函數(shù)，它的Pareto前沿未知。這就要求算法能夠有效處理各種復(fù)雜的Pareto前沿面。MOEAD算法的三種分解方法中，基于切比雪夫的分解法對(duì)凸和非凸問(wèn)題均表現(xiàn)較好，本文基于此分解法進(jìn)行改進(jìn)。傳統(tǒng)的MOEAD算法在面對(duì)降維、不連續(xù)、非凸等的復(fù)雜Pareto前沿時(shí)，存在不能找到所有Pareto前沿、處理結(jié)果依賴超參數(shù)、易落入局部最優(yōu)等問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題，本文提出基于權(quán)重向量重調(diào)整的改進(jìn)MOEAD算法，即MOEAD-WDN（weighted vector dynamic readjust based on non-dominated external population）。

3.1 子代的生成

為了增強(qiáng)子代個(gè)體的多樣性，依概率p在鄰居內(nèi)或在全部個(gè)體中隨機(jī)選取親本，算法中p取0.8。如式（12）所示，i為種群中個(gè)體的序號(hào)，T為個(gè)體的鄰域范圍，mi為個(gè)體i的配對(duì)池，population為全體種群。

在確定配對(duì)池后，依概率選擇GA算子或選擇DE算子生成子代。依次遍歷種群中的個(gè)體后，得到子代種群offspring。如式（13）所示，r為0～1的隨機(jī)數(shù)，在本文算法中，q取0.5。

3.2 外部種群的更新

如圖4所示，子代全部生成后形成的子代種群將與當(dāng)前的外部種群合并形成新的外部種群EP，對(duì)合并形成的EP非支配排序，并取得其非支配解，取非支配解集作為最終的外部種群EP。外部種群更新如圖4所示。

隨著迭代的進(jìn)行，子代種群offspring中的非支配解會(huì)越來(lái)越多，為了減小計(jì)算的開銷，限制外部種群EP的數(shù)量上限為三倍的種群數(shù)量。當(dāng)外部種群EP中的個(gè)體過(guò)多時(shí)，計(jì)算其中個(gè)體的擁擠程度，并去掉較擁擠的個(gè)體，使外部種群個(gè)體數(shù)量維持在種群個(gè)體數(shù)量的三倍。

3.3 無(wú)效權(quán)重向量的判定

執(zhí)行切比雪夫分解，并進(jìn)行鄰域更新，被更新的鄰居個(gè)體上限設(shè)為鄰域個(gè)體數(shù)量的30%。形成當(dāng)前的種群后，對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行非支配排序，得到非支配解。為了增強(qiáng)算法的探索能力，改進(jìn)的算法中，將權(quán)重向量與種群中的非支配解按照余弦距離最近原則進(jìn)行嚴(yán)格的一對(duì)一綁定。一個(gè)權(quán)重向量只能與一個(gè)距離自己最近的非支配解綁定，同時(shí)，一個(gè)非支配解只能綁定在一個(gè)權(quán)重向量上。當(dāng)非支配解與權(quán)重向量綁定完成后，一部分權(quán)重向量未參與綁定。未綁定的權(quán)重向量即為當(dāng)前迭代中的失效權(quán)重向量。依據(jù)失效權(quán)重向量擁擠程度對(duì)其進(jìn)行排序。采用鄰近距離作為擁擠度量，計(jì)算方法如式（14）所示，其中：m為目標(biāo)空間維度，dis為離第j個(gè)wv最近的第i個(gè)wv的距離。標(biāo)記失效權(quán)重向量中較為擁擠的前8%，在下一步中對(duì)其重調(diào)整。

如圖5所示，以兩目標(biāo)情況下的算法為例， f1和f2為所優(yōu)化問(wèn)題的兩個(gè)目標(biāo)，假設(shè)a～f為當(dāng)前目標(biāo)空間存在的6個(gè)權(quán)重向量，1～4為當(dāng)前種群對(duì)應(yīng)的目標(biāo)空間的點(diǎn)，它們是非支配的。權(quán)重向量a與點(diǎn)1綁定，距離權(quán)重向量b較近的有兩個(gè)點(diǎn)，分別為點(diǎn)2和點(diǎn)3，但b已經(jīng)與點(diǎn)2綁定，所以點(diǎn)3只能與距離其較近的下一個(gè)權(quán)重向量c綁定。點(diǎn)4距離權(quán)重向量e較近且e未參與綁定，所以將點(diǎn)4與權(quán)重向量e綁定。在綁定完成后，權(quán)重向量d、f即為本次判定得到的無(wú)效權(quán)重向量。

3.4 無(wú)效權(quán)重向量的調(diào)整

取出種群中與無(wú)效權(quán)重向量對(duì)應(yīng)的個(gè)體，并從權(quán)重向量集合中去除失效權(quán)重向量。使用外部種群EP中的個(gè)體對(duì)去掉的個(gè)體和權(quán)重向量進(jìn)行補(bǔ)全。

依次選擇距離種群最遠(yuǎn)的外部種群中的個(gè)體對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行補(bǔ)全，同時(shí)將個(gè)體的坐標(biāo)映射到目標(biāo)空間的單位超平面上，建立對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量，補(bǔ)全權(quán)重向量集合。依次執(zhí)行上述步驟，直到種群數(shù)量恢復(fù)至原有。

如圖6所示，D為目標(biāo)空間的單位超平面，二維情況下單位超平面為一條線。在上一步去除無(wú)效權(quán)重向量d、f后，目標(biāo)空間僅剩a、b、c、e四個(gè)權(quán)重向量，需從外部種群中取個(gè)體對(duì)當(dāng)前權(quán)重向量和當(dāng)前種群進(jìn)行補(bǔ)全。點(diǎn)5和6為外部種群中距離當(dāng)前種群較遠(yuǎn)的點(diǎn)，將它們補(bǔ)進(jìn)當(dāng)前種群，并根據(jù)其在單位超平面上的映射點(diǎn)建立權(quán)重向量g和h。此時(shí)權(quán)重向量數(shù)量和個(gè)體數(shù)量又恢復(fù)至初始情況。而無(wú)效權(quán)重向量d、f被替換為權(quán)重向量g、h。

隨后判斷是否滿足算法停止條件，若不滿足，則使用此時(shí)形成的種群進(jìn)行下一次的迭代，當(dāng)滿足條件后，輸出此時(shí)的種群作為最終種群。

在解決真實(shí)世界問(wèn)題時(shí)，需要在獲取的最終種群中提取最終個(gè)體。由于在拐點(diǎn)附近，一個(gè)目標(biāo)值的少量提升會(huì)造成其他一個(gè)或多個(gè)目標(biāo)值的顯著下降，所以這個(gè)具有最大邊際效用的點(diǎn)常被認(rèn)為是最具吸引力的點(diǎn)。本文取拐點(diǎn)作為最終個(gè)體。獲取到最終種群后，對(duì)目標(biāo)空間個(gè)體歸一化，計(jì)算由極值構(gòu)成的超平面，并計(jì)算距離此超平面最遠(yuǎn)的點(diǎn)，即為拐點(diǎn)。

如圖7所示，以目標(biāo)空間三維為例，圖中圓點(diǎn)為算法運(yùn)行結(jié)束后目標(biāo)空間得到的最終點(diǎn)集，此時(shí)建立超平面D，并計(jì)算各點(diǎn)到D的距離，取距離最大的點(diǎn)3作為拐點(diǎn)。

拐點(diǎn)在決策空間對(duì)應(yīng)的個(gè)體即為最終決策向量。決策向量前三位元素為系統(tǒng)主PID控制器參數(shù)，后三位元素即為系統(tǒng)從PID控制器參數(shù)。改進(jìn)后的MOEAD算法流程如圖8所示。算法結(jié)束條件設(shè)為10 000次評(píng)價(jià)次數(shù)。

4 算法的有效性驗(yàn)證

本文算法運(yùn)行環(huán)境主要為Intel Core i5-8400、2.8 GHz CPU、8 GB RAM、64 bit Windows10系統(tǒng)的PC機(jī)。算法采用MATLAB編程，版本為2021b，使用基于MATLAB的多目標(biāo)優(yōu)化算法測(cè)試平臺(tái)PlatEMO［18］進(jìn)行測(cè)試，PlatEMO平臺(tái)版本為3.5。

4.1 測(cè)試函數(shù)及指標(biāo)

使用典型多目標(biāo)優(yōu)化測(cè)試問(wèn)題系列IMOP［19］。IMOP測(cè)試函數(shù)系列共包含八個(gè)測(cè)試函數(shù)，其中，IMOP1、IMOP2和IMOP3為二維問(wèn)題，其余為三維問(wèn)題。IMOP1和IMOP2的Pareto前沿分別為具有尖尾的一維凸曲線和一維非凸曲線。對(duì)進(jìn)化算法來(lái)說(shuō)，非凸問(wèn)題較難求解，尖尾部分的解通常較難獲得。IMOP3的Pareto為一維不連續(xù)曲線。IMOP4是在三維空間中的一條波浪線，代表了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的降維問(wèn)題。IMOP5為三維空間中不連續(xù)的8個(gè)圓面。IMOP6為空間中的網(wǎng)格平面，IMOP7為空間中球體非凸的一部分。IMOP8則包含了100個(gè)不連續(xù)的小區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域由離散的點(diǎn)組成。圖9為IMOP測(cè)試集的8種Pareto前沿面。為了有效對(duì)比各個(gè)算法的測(cè)試結(jié)果，使用反轉(zhuǎn)世代距離指標(biāo)IGD［20］和超體積指標(biāo)HV［21］作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

反轉(zhuǎn)世代距離是一個(gè)綜合性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，它計(jì)算每個(gè)在真實(shí)Pareto上的點(diǎn)到算法獲取的個(gè)體集合之間的最小距離和，其值越小，代表著算法的收斂性和分布性越好。IGD的計(jì)算方法如式（15）所示。

其中：P為測(cè)試函數(shù)的Pareto面上均勻分布的點(diǎn)集；|P|為Pareto前沿面上點(diǎn)的個(gè)數(shù)；Q為算法獲取的最優(yōu)Pareto最優(yōu)解集；d（v，Q）為P中的個(gè)體到Q中點(diǎn)集的最小歐氏距離。當(dāng)算法性能較好時(shí)，IGD指標(biāo)會(huì)相對(duì)較?。划?dāng)性能較差時(shí)，算法獲取的最優(yōu)解集會(huì)匯聚在局部區(qū)域，解集中的點(diǎn)距離真實(shí)Pareto會(huì)較遠(yuǎn)，使得IGD指標(biāo)偏大。

另一項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)超體積HV的計(jì)算方法如式（16）所示。

在HV計(jì)算式中，P為與測(cè)試函數(shù)的真實(shí)Pareto對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)集，通常為多個(gè)目標(biāo)上的最大值形成的向量。當(dāng)算法性能較優(yōu)時(shí)，超體積更大。

4.2 與其他多目標(biāo)算法的對(duì)比

取近年來(lái)的六個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法與MOEAD-WDN進(jìn)行對(duì)比。分別為：DEAGNG［22］、TiGE2［23］、PREA［24］、NSGAⅡSDR［25］、MOEADVOV［26］、DEGA［27］。對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)置為其推薦值，如表2所示。每個(gè)算法在每項(xiàng)測(cè)試函數(shù)上均獨(dú)立進(jìn)行20次測(cè)試，最終采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)以0.05的顯著性水平來(lái)比較各個(gè)算法的性能。當(dāng)p值小于0.05則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明作為對(duì)比對(duì)象的兩個(gè)算法存在顯著差異，否則說(shuō)明對(duì)比對(duì)象的相差不大。

在IMOP測(cè)試函數(shù)系列上的結(jié)果見(jiàn)表3、4?！?”表示算法優(yōu)于比較對(duì)象，“-”表示算法劣于比較對(duì)象，而“=”則表示算法與比較對(duì)象沒(méi)有統(tǒng)計(jì)意義上的顯著差異。測(cè)試中的種群數(shù)量設(shè)為100，最大評(píng)價(jià)次數(shù)設(shè)為10 000。在表3、4中，較優(yōu)結(jié)果已用加粗字體表示。由結(jié)果可知，在IGD指標(biāo)方面，本文算法僅在IMOP1上與最優(yōu)方法有小幅差距。在HV指標(biāo)指標(biāo)方面，MOEAD-WDN僅在IMOP8上與最優(yōu)算法有少許差距，在其他7個(gè)測(cè)試函數(shù)上均占優(yōu)。結(jié)果表明，MOEAD-WDN算法可以有效得到各種特殊的Pareto前沿，且算法綜合性能優(yōu)于六個(gè)比較對(duì)象。

5 仿真與對(duì)比實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真條件設(shè)置

對(duì)主從控制結(jié)構(gòu)的PID系統(tǒng)施以單位階躍激勵(lì)。其他仿真條件包括仿真時(shí)間、種群規(guī)模、評(píng)價(jià)次數(shù)，取值見(jiàn)表5。

5.2 仿真與結(jié)果分析

將本文方法與其他傳統(tǒng)PID整定方法進(jìn)行對(duì)比。用作對(duì)比的方法包括Z-N、GA、PSO、NSGA-Ⅲ和MOEAD算法。Z-N中主從缸控制器取同一組PID參數(shù)。由于本文問(wèn)題模型目標(biāo)空間為四維，所以使用適用于超多目標(biāo)的升級(jí)版算法NSGA-Ⅲ作為對(duì)比。得到的PID參數(shù)見(jiàn)表6。

GA和PSO均屬于單目標(biāo)優(yōu)化法，在這些方法中，使用主從缸各自的積分平方誤差、超調(diào)、調(diào)節(jié)時(shí)間以及主從缸同步誤差七個(gè)目標(biāo)取權(quán)重1組成加權(quán)目標(biāo)。NSGA-Ⅲ、MOEAD和本文方法均屬于多目標(biāo)優(yōu)化方法。這些方法的仿真使用本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型。將取得的六組PID控制參數(shù)分別代入仿真模型，得到響應(yīng)曲線后，計(jì)算控制質(zhì)量指標(biāo)，結(jié)果見(jiàn)表7。

表7中各項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)值均以粗體表示，最劣值均以下畫線標(biāo)出。在同步控制的各項(xiàng)控制指標(biāo)中，同步誤差是其中的關(guān)鍵指標(biāo)。其結(jié)果對(duì)比如圖10所示。

由圖10可知，三種多目標(biāo)優(yōu)化方法得到的主從同步誤差均遠(yuǎn)小于Z-N和單目標(biāo)法。其中MOEAD最差，NSGA-Ⅲ最優(yōu)。

各種方法得到的主從缸調(diào)節(jié)時(shí)間對(duì)比結(jié)果如圖11所示，超調(diào)指標(biāo)和ISE指標(biāo)的對(duì)比結(jié)果分別如圖12、13所示。

如圖11所示，NSGA-Ⅲ取得的主缸調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他方法，它對(duì)主缸的調(diào)節(jié)時(shí)間超過(guò)了3 s，這在現(xiàn)場(chǎng)作業(yè)中不可接受。其他各方法調(diào)節(jié)時(shí)間均低于0.5 s。

超調(diào)方面，如圖12所示，Z-N的主、從缸超調(diào)值遠(yuǎn)高于其他，而NSGA-Ⅲ最低。在ISE指標(biāo)方面，如圖13所示，NSGA-Ⅲ的主缸數(shù)值要遠(yuǎn)高于其他方法，其他方法均在0.05以內(nèi)。綜合考慮上述各項(xiàng)指標(biāo)，三種多目標(biāo)優(yōu)化方法在關(guān)鍵的同步誤差指標(biāo)方面優(yōu)于Z-N和單目標(biāo)優(yōu)化方法。多目標(biāo)優(yōu)化方法中的NSGA-Ⅲ雖然在同步誤差方面優(yōu)于本文方法，但其調(diào)節(jié)時(shí)間、ISE指標(biāo)在六種方法中最差，且主缸調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。本文方法的同步誤差僅有MOEAD方法的一半，而在其他方面均無(wú)明顯差距。對(duì)比實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證明本文方法較優(yōu)。

6 結(jié)束語(yǔ)

液壓同步機(jī)構(gòu)有等同式和主從式兩種控制結(jié)構(gòu)，其中的主從式控制結(jié)構(gòu)存在非線性、強(qiáng)耦合、大延遲的特點(diǎn)。主、從缸的PID控制器參數(shù)難以找到最優(yōu)值。為解決此問(wèn)題，本文將其建模為目標(biāo)空間四維、決策空間六維的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。分別圍繞控制質(zhì)量指標(biāo)要求中的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、調(diào)節(jié)誤差以及同步控制中要求的同步誤差建立四個(gè)目標(biāo)函數(shù)。在處理真實(shí)世界多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于Pareto前沿面未知，傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)這種情況的處理不理想。本文以MOEAD算法為框架，提出基于失效權(quán)重向量的判定與重調(diào)整的改進(jìn)算法MOEAD-WDN，增強(qiáng)了算法對(duì)未知Pareto前沿面的逼近能力，使算法能更有效地處理具有退化、不連續(xù)、非凸等特殊Pareto前沿的問(wèn)題。通過(guò)與其他PID調(diào)節(jié)方法對(duì)比，證明了本文方法的先進(jìn)性，有效提高了主從同步控制結(jié)構(gòu)PID控制器的控制品質(zhì)。

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