江蘇省江陰市澄江中心小學(xué)教育集團 吳 靜

隨著課改的不斷深入，一線教師已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)實驗對變革教與學(xué)的方式有著十分重要的意義，主動采納并使用數(shù)學(xué)實驗進行教學(xué)，但還只是將數(shù)學(xué)實驗視作單純的操作活動，未能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗的育人功能。

數(shù)學(xué)實驗具有工具性、操作性、情境性、探究性等基本特征，可以解決學(xué)習(xí)資源缺乏、學(xué)習(xí)方式單一以及學(xué)習(xí)過程不完整等問題，促進學(xué)生學(xué)會認(rèn)知、學(xué)會做事、學(xué)會共同生活、學(xué)會生存。新課標(biāo)明確指出，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題?？梢姡瑢嶒炇欠治龊徒鉀Q數(shù)學(xué)問題的重要方法，教師要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，形成實驗探究的能力，學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、整體理解內(nèi)容，定位實驗

實驗是以理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論為目的的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。任何一個實驗活動都有清晰的目標(biāo)定向，沒有目標(biāo)指引的活動失去了其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，只能淪為低層次、無意識的動手操作。教師要正確看待實驗，用結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的視角思考學(xué)習(xí)內(nèi)容，將實驗與內(nèi)容、實驗與實驗進行勾連，對實驗進行精準(zhǔn)定位，發(fā)揮實驗應(yīng)有的教育功能。

（一）活動與內(nèi)容關(guān)聯(lián)

實驗是學(xué)生學(xué)習(xí)某個數(shù)學(xué)內(nèi)容所采用的一種方式。教師要正確認(rèn)識實驗和教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，防止出現(xiàn)“為活動而活動”的情況，將實驗和內(nèi)容有機對接，把實驗嵌入適合的知識體系中，真正實現(xiàn)實驗的價值。如教學(xué)“圖形的分割”時，教師的教學(xué)沒有止步于讓學(xué)生學(xué)會“找中心分割圖形”的方法，而是進一步引導(dǎo)學(xué)生用“繞中心旋轉(zhuǎn)180°”的方法檢驗兩邊圖形是否重合。教師將“圖形的分割”與“中心對稱圖形”關(guān)聯(lián)，把實驗作為認(rèn)識和理解中心對稱圖形的方法。這樣處理，為實驗找到了內(nèi)容依附，賦予其新的意義。

（二）活動和活動之間關(guān)聯(lián)

教學(xué)中，教師通常要通過幾個實驗活動才能解決某個問題。這幾個實驗活動不是孤立存在的，而是彼此關(guān)聯(lián)的，共同引領(lǐng)和推進學(xué)生的數(shù)學(xué)探索。為提高實驗活動的指向性，教師要從教與學(xué)兩個方面入手，設(shè)計和開展實驗活動。如教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”時，教師設(shè)計了兩個實驗活動。實驗1：用尺規(guī)作圖法將三條等長的線段圍成三角形。實驗2：用尺規(guī)作圖法將三條不等長的線段圍成三角形。以上兩個實驗活動從“特殊”到“一般”，具有進階性。實驗1 得出的結(jié)論“等長的三條線段能圍成三角形”從表面上看，似乎是多余的，實際上是為學(xué)生全面認(rèn)識三角形的三邊關(guān)系做孕伏。當(dāng)學(xué)生通過實驗2 得出“兩短邊之和大于最長邊”后，教師再引導(dǎo)學(xué)生回到實驗1，用實驗2 得出的結(jié)論進行解釋，因為等長的三邊沒有長短之分，迫使學(xué)生想到“任意兩邊長度和大于第三邊”。至此，學(xué)生才真正理解了三角形的三邊關(guān)系。

實驗的目的是幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容。因此，教師要在設(shè)計實驗活動、設(shè)定實驗?zāi)繕?biāo)之前，先對教學(xué)內(nèi)容進行全局性的思考，不僅要考慮知識結(jié)構(gòu)，還要考慮知識內(nèi)在邏輯和學(xué)生認(rèn)知邏輯之間的關(guān)系。

二、設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動實驗

學(xué)生是實驗活動的主體，因此，教師只有喚醒學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機，才能幫助學(xué)生調(diào)用所有的經(jīng)驗和智慧，參與到探究過程中。教師要通過設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)或問題將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，引導(dǎo)和激勵學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識。設(shè)計指向?qū)W生高階思維發(fā)展的學(xué)習(xí)任務(wù)或問題，是進入實驗探究“軌道”的關(guān)鍵。教師要關(guān)注真實性、實踐性和挑戰(zhàn)性任務(wù)的設(shè)計，引發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生實驗的內(nèi)需。

（一）真實性任務(wù)設(shè)計

任務(wù)中的情境應(yīng)該是真實的，真實情境不僅指在現(xiàn)實生活中真實存在的情境，還可以指模擬真實情境的卡通情境。只要事件、問題是合理的，能引發(fā)學(xué)生真實思考的情境，都具有真實性。教師要設(shè)計基于真實情境的任務(wù)，加深學(xué)生的情緒體驗，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，引發(fā)“共情”，從而主動投入問題的解決過程。如教學(xué)“認(rèn)識長方體和正方體”時，“求出教師制作的一個長方體紙盒（指定），至少需要鐵絲多少厘米？需要硬紙板多少平方厘米”這個任務(wù)對學(xué)生來說就是真實、可信的。

（二）實踐性任務(wù)設(shè)計

數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的任務(wù)解決要有利于學(xué)生開展實踐活動。設(shè)計時，教師要考慮任務(wù)具有實踐性，也就是能讓學(xué)生借助實驗活動探索問題。如“圖形的分割”一課，課始，教師布置分割圖形的任務(wù)，即“畫一條直線，將給定的圖形分成兩個完全相同的部分”，分兩次出示圖形，先出示一組軸對稱圖形，再出示一組平行四邊形。這樣安排的目的是讓學(xué)生從軸對稱圖形轉(zhuǎn)向?qū)Ψ禽S對稱圖形的關(guān)注，啟發(fā)學(xué)生從全新的視角思考平行四邊形的多種分割方法。但是，無論怎么畫分割線，學(xué)生都要根據(jù)圖形之間的關(guān)系，通過動手操作驗證自己的猜想。

（三）挑戰(zhàn)性任務(wù)設(shè)計

挑戰(zhàn)性任務(wù)是指有一定的思維難度，需要學(xué)生通過自身的努力或同伴合作，運用已有的知識和方法，借助外在的工具，憑借意志和耐力等才能完成的任務(wù)。挑戰(zhàn)性任務(wù)的解決路徑、答案等都可以是開放的，通常采用主題學(xué)習(xí)和項目學(xué)習(xí)的方式解決問題。如教學(xué)“升和毫升”時，教師可以讓學(xué)生“了解自己家庭一周的用水情況”。這一任務(wù)的完成至少需要一周的時間，學(xué)生要和家庭成員一起協(xié)作，通過觀察、記錄、計算和推算等完成任務(wù)。

三、展開數(shù)學(xué)猜想，引領(lǐng)實驗

學(xué)生的實驗需求一旦被激活，他們就會遵循原有的思維習(xí)慣，自覺運用自己熟悉的方式進行實驗。這是未經(jīng)加工和雕琢的原生態(tài)的操作，是學(xué)生現(xiàn)有思維狀態(tài)的外在體現(xiàn)，可能包含著一些錯誤和偏差。教師要在學(xué)生產(chǎn)生實驗動機后，幫助學(xué)生進一步明確問題，并基于直觀或借用已有經(jīng)驗，對結(jié)論進行數(shù)學(xué)猜想，在發(fā)展學(xué)生的直覺思維的同時，明確行動的方向。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和推想，形成實驗假設(shè)。

（一）在“觀察”中形成猜想

觀察是智慧的重要能源。與動手操作相比，數(shù)學(xué)實驗的開展需要基于對結(jié)論的猜想。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過對研究對象全面、細(xì)致的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)和感悟現(xiàn)象之間的共同之處以及各要素之間的關(guān)聯(lián)，從而形成數(shù)學(xué)猜想。在教學(xué)“圖形的分割”時，教師將學(xué)生個性化的分割圖作為觀察對象，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察多條分割線的位置，發(fā)現(xiàn)所有的分割線都相交于中心一點，進而引導(dǎo)學(xué)生反向思考，得出“只要是經(jīng)過中心點的直線就能將平行四邊形分割成兩個完全相同的部分”的猜想。

（二）針對“變化”提出假設(shè)

教師通過改變研究對象的某個要素，引發(fā)學(xué)生對關(guān)鍵點的關(guān)注，并基于“變”與“不變”的思考，產(chǎn)生對新研究對象特征和對象之間關(guān)系的猜測。如教學(xué)“平行四邊形”時，教師可先出示長方形框架，復(fù)習(xí)面積計算方法，再拉動長方形框架將其變?yōu)槠叫兴倪呅?，組織學(xué)生觀察并思考“圖形變化過程中，什么不變，什么變了”。學(xué)生通過對前后圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)圖形的周長、邊長不變，面積和高發(fā)生了變化，自然產(chǎn)生“平行四邊形的面積和底、高有關(guān)系”“平行四邊形面積=底×高”等一系列連續(xù)性的猜想。

（三）在“類比”中進行推想

通過類比推理形成猜想是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種方式。在研究某個數(shù)學(xué)對象時，教師會引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)與其具有相似屬性的研究對象，借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗猜想、推斷新研究對象的特征或要素關(guān)系。類比推理形成的猜想具有一定的合理性，教學(xué)時，教師要相機運用。如在教學(xué)“圓錐的體積”時，教師可以先讓學(xué)生明確圓錐的體積與底面積和高有關(guān)，再進一步提問“是不是底面積乘高算出的就是圓錐的體積？為什么”，引導(dǎo)學(xué)生將圓錐和圓柱進行關(guān)聯(lián)，并通過直接觀察，猜想“圓錐的體積可能是與它等底等高圓柱體積的或”，為后續(xù)的實驗探究指明方向。

四、聚焦關(guān)鍵要素，策劃實驗

學(xué)生得出的數(shù)學(xué)結(jié)論的猜想不是事實，僅僅是一種數(shù)學(xué)假設(shè)，可能正確，也可能錯誤。為了得到正確的結(jié)論，學(xué)生需要進一步通過實驗活動加以驗證，如果證實則猜想正確，如果證偽則猜想錯誤，需要重新猜想，開始新一輪的實驗探究。從猜想到驗證是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要路徑，教師要指導(dǎo)學(xué)生自主策劃實驗方案，驗證自己的猜想。

（一）思路構(gòu)想

實驗活動的策劃要經(jīng)歷從整體到局部這一不斷細(xì)化的過程。教師要先帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)想實驗路徑，明確研究的思路。如在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時，教師通過提問“怎么知道任意一個多邊形的內(nèi)角和呢”，啟發(fā)學(xué)生想到“先找?guī)讉€圖形研究，找到規(guī)律，再運用規(guī)律求內(nèi)角和”。當(dāng)學(xué)生對實驗思路有了大致的規(guī)劃后，教師再引導(dǎo)學(xué)生細(xì)化方案，使各個實驗環(huán)節(jié)清晰化、明朗化。教師可以進一步追問“要選幾個圖形研究才能找到規(guī)律，從哪個圖形開始研究”，幫助學(xué)生明確“找規(guī)律”要遵循以下三點：一是由易到難，從簡單的入手；二是研究對象要滿足一定的數(shù)量，至少有3 個及以上；三是及時驗證規(guī)律。隨著實驗方案的不斷完善，實驗的可行性也在不斷增強。

（二）工具選擇

與其他學(xué)科實驗相比，數(shù)學(xué)實驗對材料、工具的要求比較低，只要具備操作性、可重復(fù)操作的圖形或模具等都可以作為實驗的素材。在教學(xué)中，教師除了要為學(xué)生準(zhǔn)備充足的實驗材料或工具，還要幫助學(xué)生學(xué)會選擇合適的實驗材料或工具。如教學(xué)“圓錐的體積”時，教師可以出示圓錐、長方體、正方體和圓柱等一些底、高不一的容器，讓學(xué)生自主選擇實驗工具并說明理由，呼應(yīng)猜想。另外，教師可以利用多媒體技術(shù)，讓學(xué)生借助幾何畫板等工具完成實驗，提高實驗結(jié)果的精確度。

（三）數(shù)據(jù)收集

實驗數(shù)據(jù)是產(chǎn)生實驗結(jié)論的參考和依據(jù)。實驗數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量直接關(guān)系到結(jié)論的得出。實驗前，教師要組織學(xué)生討論收集實驗數(shù)據(jù)的方法，以提高實驗結(jié)果的可信度。如教學(xué)“可能性”時，教師可以通過教師示范摸球和提問等方式，讓學(xué)生明確為了得到正確的實驗結(jié)果需要多次摸球。另外，為了解決課堂時間和摸球次數(shù)之間的矛盾，教師需要對各個小組的摸球數(shù)據(jù)進行匯總。在進行“怎樣滾得遠(yuǎn)”實驗時，教師還需要讓學(xué)生計算出平均數(shù)，使實驗數(shù)據(jù)具有代表性。

五、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化實驗

實驗方案涉及活動選擇的材料、工具和大致的實驗流程，對學(xué)生開展實驗具有一定的指導(dǎo)作用，但不是萬能的。在實際操作過程中，學(xué)生可能因?qū)χR本質(zhì)的理解不到位，并未使用正確、高效的實驗方法，從而影響實驗的結(jié)果。為此，教師要根據(jù)實際教學(xué)情況，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，改進和優(yōu)化實驗方法，從而提高實驗品質(zhì)，提升學(xué)生的思維能力。

（一）發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，調(diào)整活動

教師要關(guān)注實驗活動與知識本質(zhì)的契合度，及時引導(dǎo)學(xué)生在原有活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，聚焦知識本質(zhì)，調(diào)整實驗活動。教學(xué)“圖形的分割”時，為了讓學(xué)生認(rèn)識到中心對稱圖形的特征，教師在學(xué)生用原始的測量方法分割圖形后，引導(dǎo)學(xué)生從圖形名稱入手，聚焦“中心”對實驗方法進行再思考，進而掌握“繞中心旋轉(zhuǎn)180°，觀察圖形兩邊是否重合”這一方法。學(xué)生在用新方法進行實驗時，不斷感悟中心對稱圖形的本質(zhì)。

（二）確認(rèn)本質(zhì)，修正活動

實驗?zāi)苁箤W(xué)生內(nèi)隱的思維過程外顯化，反過來，外在的操作活動能夠反映出學(xué)生的思維動態(tài)。教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實驗情況分析和判斷學(xué)生的思維狀態(tài)，及時調(diào)整教學(xué)策略。特別是在學(xué)生出現(xiàn)錯誤操作時，教師要相機引導(dǎo)，幫助學(xué)生回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，修正數(shù)學(xué)實驗。如學(xué)生在利用分三角形的方法求多邊形內(nèi)角和的過程中，出現(xiàn)了隨意分成三角形的情況，其根本原因是對三角形內(nèi)角和的本質(zhì)沒有正確的認(rèn)知。此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生再次回歸概念本身，重新理解“內(nèi)角和”的本質(zhì)，進而選擇適切的方法。

（三）強化本質(zhì)，優(yōu)化活動

學(xué)生在判斷直角三角形是否按2 ∶1 的比例放大時，很容易受制于概念本質(zhì)，在驗證對應(yīng)斜邊的比中出現(xiàn)困難。教師要及時介入，基于學(xué)生的活動經(jīng)驗，幫助學(xué)生進行方法的優(yōu)化。教師可以先組織學(xué)生思考“兩條對應(yīng)直角邊的比相同，能否判斷對應(yīng)斜邊也具有相同的比”，再組織學(xué)生通過測量或重疊的方法研究斜邊比，證明猜想，從而得出用對應(yīng)直角邊的比判斷圖形放大或縮小的簡單方法。接著，教師讓學(xué)生放大任意的三角形來檢驗新方法，進一步明確新方法的局限性。學(xué)生在經(jīng)歷判斷方法的“繁”到“簡”再到有選擇使用的過程中，加深了對圖形放大本質(zhì)的理解。

六、回顧學(xué)習(xí)過程，反思實驗

波利亞在《怎樣解題》中指出，數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思。對探究過程的回顧和反思，可以深化對問題的理解，增進對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，優(yōu)化思維過程，促進知識和方法的遷移與運用。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧借助實驗探究數(shù)學(xué)知識的歷程，聚焦探究的關(guān)鍵進行反思，幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生學(xué)會實驗，學(xué)會借助實驗進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（一）反思實驗數(shù)據(jù)

受實驗工具、條件和方法等制約，由實驗獲得的數(shù)據(jù)往往會有誤差。實驗誤差會讓學(xué)生陷入思維困境，阻礙和影響數(shù)學(xué)結(jié)論的得出。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生直面實驗誤差，反思實驗誤差的成因，幫助學(xué)生走出思維的“迷障”。如學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時，學(xué)生通過量角器測量計算得到180°、179°、174°等不同的內(nèi)角和。顯然，這些不同的誤差不利于驗證“三角形內(nèi)角和為180°”的猜想。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對“174°”和“179°”這兩個與“180°”不同的數(shù)據(jù)進行成因分析和數(shù)據(jù)再測，從而認(rèn)識到得出174°是實驗錯誤導(dǎo)致，得出179°是由量角器、手測和所畫三角形邊線的粗細(xì)等所導(dǎo)致的實驗誤差，實驗錯誤可以避免，但實驗誤差是客觀存在的。

（二）反思實驗結(jié)論

基于觀察、操作和推理等活動得出的實驗結(jié)論是歸納、推理的結(jié)果，不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)結(jié)論。為了增強實驗結(jié)論的可靠性，教師要盡可能地通過追溯原理，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解和解釋結(jié)論。如學(xué)生通過實驗得到多邊形內(nèi)角和“（n-2）×180°”后，教師要通過提問算式意義并追問“為什么要計算（n-2）個180°”，讓學(xué)生進一步根據(jù)將多邊形分成三角形的經(jīng)驗，用“頂角與對邊‘一一對應(yīng)’”或“分割線和三角形‘一一間隔’”等個性化、樸素的語言進行解釋。這樣從不同的角度認(rèn)識規(guī)律，不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解，還能豐富其實驗的經(jīng)驗，提升其數(shù)學(xué)推理能力。

（三）反思實驗方案

學(xué)生按預(yù)定的實驗方案進行數(shù)學(xué)探究時，并不總是順利的，常常會根據(jù)實際需要調(diào)整方案。教師要通過引導(dǎo)學(xué)生反思探究過程，幫助學(xué)生認(rèn)識到實驗方案并不是一成不變的，只是一種暫時性的研究思路，需要不斷地調(diào)整和優(yōu)化。如探究“釘子板上的多邊形”時，原定的實驗方案是同時研究“邊點數(shù)”“內(nèi)點數(shù)”這兩個變量，找到釘子板上多邊形的面積公式。事實上，絕大多數(shù)學(xué)生沒有能力通過對幾個例子的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)“邊點數(shù)”“內(nèi)點數(shù)”與多邊形面積之間的關(guān)系。此時，教師讓學(xué)生反思“邊點數(shù)和內(nèi)點數(shù)都在變化，同時研究不容易看出它們與面積之間的關(guān)系，怎么辦”，幫助學(xué)生想到通過控制變量探索面積公式。

回顧實驗探究數(shù)學(xué)知識的過程時，除了引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)據(jù)、結(jié)論和方案，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生反思工具、方法等。能幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想和方法的活動環(huán)節(jié)，都可以經(jīng)由反思幫助學(xué)生將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

綜上所述，教師要引導(dǎo)學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)情境下，將數(shù)學(xué)實驗作為解決問題的重要方法，貫穿于數(shù)學(xué)探究的全過程。教師要將“做”和“思”有機融合，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，形成和發(fā)展自主設(shè)計和優(yōu)化實驗方案、搜集和選用實驗工具、回顧和反思實驗過程等能力，積累借助實驗探究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。