陳偉流 鐘穎 金保源

圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題源于教材，興于高考，向來(lái)是專家學(xué)者青睞有佳的命題陣地，如經(jīng)典的中點(diǎn)弦軌跡問(wèn)題，點(diǎn)差法問(wèn)題，斜率和積與中點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等，既傳承經(jīng)典，又常考常新，富有典型代表性與示范引領(lǐng)性.基于此，筆者以一道市統(tǒng)考的解析幾何試題為研究對(duì)象，通過(guò)探析試題的一般命制背景，在現(xiàn)代信息技術(shù)GeoGebra的引領(lǐng)下，進(jìn)一步對(duì)試題背景升華總結(jié)，歸納出圓錐曲線中頂點(diǎn)三角形的一個(gè)優(yōu)美通性結(jié)論，并以斜率和積定值問(wèn)題為邏輯主線，淺嘗些許備考必得，以期拋磚引玉，與同行交流.

1 試題呈現(xiàn)，提出問(wèn)題

評(píng)析：試題以中點(diǎn)弦為切入條件，考查橢圓方程、點(diǎn)、線、斜率等基本知識(shí)，注重點(diǎn)差法，同構(gòu)法等解析幾何基本思想方法的應(yīng)用性，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等核心素養(yǎng)有較高的要求.試題打破“斜率和積為定值，中點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)”傳統(tǒng)命題套路，富有創(chuàng)新性和引領(lǐng)性，同時(shí)也具備一定的命題高度，拓展空間及選拔屬性，是一道優(yōu)質(zhì)的模擬試題.

回顧試題情境，發(fā)現(xiàn)三直線斜率和積的定值結(jié)果與點(diǎn)P的具體坐標(biāo)無(wú)關(guān)，僅與點(diǎn)P的位置有關(guān)；同時(shí)，若將點(diǎn)O推廣為x軸上任一定點(diǎn)（異于P），其斜率和積是否仍為定值？進(jìn)一步推廣到圓錐曲線體系，在雙曲線和拋物線中，是否仍有類似的結(jié)論？基于此，筆者對(duì)試題的一般背景展開(kāi)探討.

2 背景探源，揭示本質(zhì)

改變點(diǎn)P，Q在橢圓對(duì)稱軸上的位置，易得如下的一個(gè)對(duì)偶結(jié)論：

將探究背景進(jìn)一步推廣到圓錐曲線體系，在雙曲線和拋物線中，有

注：結(jié)論2，3，4的證明與結(jié)論1類似，故在此省略；經(jīng)歷上述試題背景的探索知：兩弦中點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）G，H及坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)P是決定斜率和積為定值的關(guān)鍵因素，那么這三點(diǎn)是否有其內(nèi)在的必然聯(lián)系呢？能否立足新視角，重新解讀斜率和積為定值的結(jié)論？

3 技術(shù)探路，引申問(wèn)題

在現(xiàn)代信息技術(shù)GeoGebra的軟件平臺(tái)中，依次做出圓錐曲線：橢圓（如圖1），雙曲線（如圖2），拋物線（如圖3）及x軸上的定點(diǎn)P（異于O），過(guò)點(diǎn)P兩相交弦CD，EF，取兩弦中點(diǎn)為G，H，追蹤動(dòng)點(diǎn)G，H并觀察G，H與點(diǎn)P，O的關(guān)系，不難得出：

類比到雙曲線及拋物線中，可得

引理3 已知拋物線x2=2py（p>0）及拋物線的內(nèi)定點(diǎn)P（x0，0）（x0≠0），過(guò)P作拋物線的兩相交弦CD及EF，G，H為兩弦中點(diǎn)，則兩動(dòng)點(diǎn)G，H所在軌跡是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線，且其軌跡方程為x（x－x0）=py.

注：引理2，3的證明與引理1類似，故從略；立足于引理視角，上述的試題背景可升華解讀為圓錐曲線中的內(nèi)接頂點(diǎn)三角形的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，其內(nèi)容如下

4 升華總結(jié)，返璞歸真

注：結(jié)論6，結(jié)論7，結(jié)論8的證明在此省略.

5 逆向思索，完善認(rèn)知

從結(jié)論5到結(jié)論8的探索知：曲線的頂點(diǎn)，定點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)的垂線三大條件是三直線斜率和積為定值的決定因素，若是改變其在條件與結(jié)論上的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的逆命題是否仍成立？以結(jié)論5為例，經(jīng)筆者探究，有

6 立足課標(biāo)，展望思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）》在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上強(qiáng)調(diào)了三個(gè)關(guān)注的理念：即關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的通性通法，數(shù)學(xué)思想［1］.以中點(diǎn)弦問(wèn)題的邏輯主線為例，其內(nèi)容涵蓋圓錐曲線的第三定義、斜率和積與定值定點(diǎn)的“手電筒模型”、圓錐曲線頂點(diǎn)三角形定值問(wèn)題等內(nèi)容，滲透了點(diǎn)差法，斜率同構(gòu)法，齊次式法等數(shù)學(xué)思想，可謂是在中點(diǎn)弦主線的統(tǒng)領(lǐng)下，各支線熠熠生輝般綻放別樣的風(fēng)采.所以在一線教學(xué)中，教師要以知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)的視角審視教學(xué)內(nèi)容，厘清不同模塊知識(shí)在底層邏輯的區(qū)別與聯(lián)系，如此才能為學(xué)生帶來(lái)層次分明，亮出突出，聯(lián)系緊密的課堂內(nèi)容，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的高階思維和整體認(rèn)知的數(shù)學(xué)觀，促進(jìn)高考備考的提質(zhì)增效.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.