金晟 宋立瑤 曹鵬 李堅(jiān) 游有鵬 朱如鵬 王旦

摘要： 為最大化提高直升機(jī)功重比，越來越多的直升機(jī)設(shè)計(jì)中應(yīng)用了超臨界尾傳動(dòng)系統(tǒng)，這一系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致跨臨界振動(dòng)的產(chǎn)生。安裝干摩擦阻尼器是一種常見的抑制直升機(jī)尾傳動(dòng)軸跨臨界劇烈振動(dòng)的方法。以某裝有干摩擦阻尼器的尾傳動(dòng)軸為研究對(duì)象，建立控制方程，并分析系統(tǒng)在傳動(dòng)軸偏心激勵(lì)下各類碰摩響應(yīng)的邊界特性。建立傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)的非線性控制方程；依據(jù)掃頻獲得系統(tǒng)典型碰摩響應(yīng)特征，使用解析法針對(duì)無碰摩響應(yīng)求解碰摩發(fā)生邊界，并對(duì)同頻全周碰摩響應(yīng)求解其穩(wěn)定性條件的邊界；通過Runge?Kutta法驗(yàn)證了所推導(dǎo)的響應(yīng)邊界，并探討了響應(yīng)邊界與系統(tǒng)參數(shù)的影響關(guān)系。

關(guān)鍵詞： 超臨界尾傳動(dòng)軸； 干摩擦阻尼器； 碰摩； 響應(yīng)特性； 穩(wěn)定性分析

中圖分類號(hào)： V214.19??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）05-0756-14

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.004

1 概? 述

直升機(jī)尾傳動(dòng)軸是直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，如圖1所示，主要用于傳遞主減速器的尾輸出動(dòng)力到尾槳［1］。傳動(dòng)軸有兩種設(shè)計(jì)方案［2］：一是亞臨界設(shè)計(jì)，傳動(dòng)軸的最大工作轉(zhuǎn)速低于一階臨界轉(zhuǎn)速；二是超臨界設(shè)計(jì)，實(shí)際運(yùn)行中傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速在一階臨界轉(zhuǎn)速甚至二階臨界轉(zhuǎn)速之上。傳統(tǒng)的亞臨界設(shè)計(jì)在啟動(dòng)或停止過程中傳動(dòng)軸無需跨臨界轉(zhuǎn)速，因此動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單［3］。相比之下，超臨界設(shè)計(jì)下傳動(dòng)軸的跨度更大，這進(jìn)一步減少了支承數(shù)量，使得傳動(dòng)軸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，重量和成本都更低，且可靠性更高。隨著直升機(jī)技術(shù)的發(fā)展，安全性、可靠性和運(yùn)營(yíng)成本的優(yōu)化成為直升機(jī)未來的發(fā)展趨勢(shì)［4］。亞臨界設(shè)計(jì)因較高的成本及較低的功重比逐漸不能滿足直升機(jī)發(fā)展需求，使得超臨界設(shè)計(jì)逐漸成為傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)的主流。由于傳動(dòng)軸存在不平衡量，系統(tǒng)在跨臨界轉(zhuǎn)速時(shí)傳動(dòng)軸會(huì)受到偏心激勵(lì)，產(chǎn)生劇烈的徑向振動(dòng)，甚至導(dǎo)致其破壞失效，這一問題嚴(yán)重影響傳動(dòng)軸乃至直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的壽命和安全性［5］。因此，本文針對(duì)直升機(jī)超臨界尾傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)方案跨臨界過程產(chǎn)生劇烈振動(dòng)的問題，開展跨臨界減振技術(shù)研究，具有重要意義。

直升機(jī)尾傳動(dòng)軸上應(yīng)用的減振器主要有兩種。一種是支承減振器，安裝在傳動(dòng)軸系的軸承與軸承座之間，通過自身阻尼實(shí)現(xiàn)對(duì)傳動(dòng)軸的減振，但由于超臨界設(shè)計(jì)尾傳動(dòng)軸的跨度較大，這種方法減振效果并不十分明顯［6］。

另一種是干摩擦阻尼器，安裝在軸跨中間，如圖1所示。干摩擦阻尼器由支座、阻尼環(huán)、摩擦片、螺栓套筒、彈簧及螺栓螺母等組合構(gòu)成。摩擦片通過螺栓、螺栓套筒和彈簧完全固定在支座上。由于阻尼環(huán)安裝孔相對(duì)于摩擦片安裝孔較大，并未和螺栓套筒配合，因而阻尼環(huán)是相對(duì)浮動(dòng)的。通過調(diào)節(jié)螺栓預(yù)緊力可以控制阻尼環(huán)的最大側(cè)向干摩擦力，同時(shí)阻尼環(huán)和傳動(dòng)軸在安裝時(shí)留有一定的初始碰摩間隙。當(dāng)傳動(dòng)軸的振幅提高，傳動(dòng)軸位移大小超過碰摩間隙值時(shí)會(huì)造成傳動(dòng)軸對(duì)阻尼環(huán)的碰摩沖擊，這種沖擊會(huì)使阻尼環(huán)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。此時(shí)由于阻尼環(huán)和摩擦片接觸，使得阻尼環(huán)受到自摩擦片的側(cè)向干摩擦力作用。

傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)間的碰摩會(huì)產(chǎn)生各種碰摩響應(yīng)類型，而確定系統(tǒng)參數(shù)空間中各碰摩響應(yīng)之間邊界條件及其穩(wěn)定區(qū)域，厘清不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)之間邊界條件的影響效果，對(duì)直升機(jī)尾傳系統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)具有十分重要的參考價(jià)值。

傳動(dòng)軸和阻尼器之間的相互作用類似于轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)的碰摩沖擊現(xiàn)象，該現(xiàn)象已有廣泛的研究［7?8］。Ehrich［9］發(fā)現(xiàn)接觸非線性轉(zhuǎn)子在非平衡激勵(lì)下的亞諧波、超諧波和混沌響應(yīng)。許斌等［10］以轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)為對(duì)象，采用當(dāng)量彈簧線性碰摩模型，進(jìn)行了同步全周碰摩響應(yīng)下運(yùn)動(dòng)分析，推導(dǎo)出同步全周碰摩解穩(wěn)定性判據(jù)，給出穩(wěn)定區(qū)判據(jù)近似表達(dá)式。Jiang等［11］對(duì)轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)產(chǎn)生反向渦動(dòng)碰摩響應(yīng)的現(xiàn)象進(jìn)行機(jī)理分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速達(dá)到負(fù)固有頻率附近時(shí)發(fā)生共振并失穩(wěn)是反向渦動(dòng)響應(yīng)形成的原因，并在此基礎(chǔ)上使用多尺度法求解得出反向渦動(dòng)響應(yīng)的邊界。Chen等［12］針對(duì)轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程使用解析法推導(dǎo)出帶有約束條件的非線性簡(jiǎn)正模態(tài)，并基于此預(yù)測(cè)了系統(tǒng)自激反向渦動(dòng)的一些重要特性。Shang等［13］考慮了轉(zhuǎn)子和定子交叉耦合效應(yīng)的影響，分析了轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)同頻全周碰摩響應(yīng)解的穩(wěn)定性，并討論了不同系統(tǒng)參數(shù)平面下交叉耦合效應(yīng)對(duì)其穩(wěn)定性的影響。Bartha［14］指出，轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)避免產(chǎn)生反向渦動(dòng)響應(yīng)的方法之一是降低轉(zhuǎn)子和定子之間的摩擦系數(shù)，并且若無法避免反向渦動(dòng)，也可通過調(diào)整定子的動(dòng)態(tài)特性以改變反向渦動(dòng)頻率，避免更大的危害。Shang等［15］深入研究了不同碰摩響應(yīng)在系統(tǒng)參數(shù)空間下的共存類型及其與各參數(shù)的關(guān)系。Jiang等［16］在研究轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)模型反向渦動(dòng)的響應(yīng)特性的過程中，進(jìn)一步考慮了轉(zhuǎn)子和定子接觸表面的摩擦和變形，發(fā)現(xiàn)反向渦動(dòng)響應(yīng)存在多個(gè)邊界且邊界特性由系統(tǒng)參數(shù)決定。Srivastava等［17］針對(duì)轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)中摩擦力的Heaviside函數(shù)使控制方程不連續(xù)的問題，提出使用平滑函數(shù)代替的方法，如此可有效地檢測(cè)轉(zhuǎn)子摩擦的起始和瞬時(shí)頻率特性。

與傳統(tǒng)四自由度的轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)相比，傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)的碰摩現(xiàn)象是故意設(shè)計(jì)出來的，阻尼環(huán)必須與傳動(dòng)軸在跨臨界過程中發(fā)生碰摩，以進(jìn)行緩沖減振。為研究系統(tǒng)的振動(dòng)特性，D?ygad?o等［18］基于有限元法的數(shù)學(xué)模型計(jì)算了傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)在時(shí)域上的跨臨界振動(dòng)響應(yīng)，并指出隨著阻尼器參數(shù)的改變，傳動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。?zaydin等［19?20］結(jié)合諧波平衡法和數(shù)值延拓法描述傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)在頻域中的非線性力學(xué)特性。然而，在他們的研究中，阻尼環(huán)的質(zhì)量被忽略了，傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)之間的相互作用力被理想化的碰摩力模型所描述。為了解決這個(gè)問題，Huang等［21］提出傳動(dòng)軸/阻尼器相互作用的碰摩模型，研究了帶有彈性聯(lián)軸器和干摩擦阻尼器的超臨界直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的動(dòng)態(tài)特性；且進(jìn)一步用解析法推導(dǎo)出發(fā)生碰摩沖擊的邊界和Hopf分叉的邊界，并分析了摩擦系數(shù)、內(nèi)部阻尼、懸架剛度和可變沖擊剛度對(duì)各邊界的影響［22］。Wang等［3， 5， 23］、宋立瑤等［24］基于直接時(shí)間域積分和時(shí)頻變換諧波平衡法+數(shù)值延拓法兩種手段對(duì)控制方程進(jìn)行了求解，并借助Floquet理論進(jìn)一步研究了系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下分岔的穩(wěn)定性，同時(shí)確定系統(tǒng)分岔點(diǎn)。

Huang等［22］以帶有干摩擦阻尼器的傳動(dòng)軸為對(duì)象，對(duì)其全局響應(yīng)邊界使用解析法進(jìn)行了推導(dǎo)，然而，該研究中并未考慮阻尼環(huán)所受摩擦片的側(cè)向干摩擦力的影響。阻尼環(huán)和摩擦片之間的摩擦力會(huì)改變系統(tǒng)的控制方程，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界條件和碰摩響應(yīng)特性發(fā)生變化。為探究阻尼環(huán)受摩擦力作用下的傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)的各碰摩響應(yīng)邊界及物理量參數(shù)對(duì)系統(tǒng)在跨臨界轉(zhuǎn)速下響應(yīng)穩(wěn)定性的影響，本文以某帶有干摩擦阻尼器的直升機(jī)單跨超臨界尾傳動(dòng)軸為研究對(duì)象，使用解析法推導(dǎo)系統(tǒng)全局響應(yīng)邊界，并通過數(shù)值法進(jìn)行驗(yàn)證。

2 系統(tǒng)物理模型及控制方程

本文研究對(duì)象是某裝有干摩擦阻尼器的直升機(jī)單跨超臨界尾傳動(dòng)軸，在常規(guī)工況下，其轉(zhuǎn)速高于一階臨界轉(zhuǎn)速。如圖2所示，為抑制傳動(dòng)軸在跨一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的劇烈振動(dòng)，在傳動(dòng)軸的中間安裝了干摩擦阻尼器。本文假設(shè)傳動(dòng)軸兩端支撐在理想軸承上，并將傳動(dòng)軸簡(jiǎn)化建模為Jeffcott轉(zhuǎn)子，其具有有效剛度和有效阻尼。Jeffcott轉(zhuǎn)子剛性盤位于傳動(dòng)軸的中點(diǎn)，其質(zhì)量為，偏心距離為，以角速度旋轉(zhuǎn)。干摩擦阻尼器的阻尼環(huán)與傳動(dòng)軸同軸心安裝，質(zhì)量為，初始碰摩間隙為。當(dāng)剛性盤的振動(dòng)幅度超過初始碰摩間隙時(shí)，剛性盤會(huì)沖擊阻尼環(huán)，產(chǎn)生碰摩沖擊力的徑向分量。與轉(zhuǎn)子/定子系統(tǒng)碰摩相同，剛性盤和阻尼環(huán)碰摩后產(chǎn)生的碰摩沖擊力的切向分量作用于接觸點(diǎn)。的方向取決于傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)接觸點(diǎn)處的線速度。碰摩后阻尼環(huán)也受到摩擦片側(cè)向干摩擦力的作用，從而對(duì)系統(tǒng)的跨臨界振動(dòng)進(jìn)行抑制。最后，假設(shè)系統(tǒng)隨時(shí)間變量進(jìn)行變化。

在不考慮系統(tǒng)陀螺效應(yīng)的情況下，依據(jù)上文假定模型，系統(tǒng)的控制方程如下：

式中 rs = [ ys zs ]T，rd = [ yd zd ]T分別表示傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)的幾何中心的位移， 其中ys，zs，yd，zd 分別表示傳動(dòng)軸與阻尼環(huán)在y 向、z 向的位移距離值；上標(biāo)號(hào)“?”表示對(duì)時(shí)間變量t 的微分；P 為碰摩沖擊力，包括沖擊力徑向分量Pn 和沖去力切向分量Pt；kr 表示阻尼環(huán)作用于傳動(dòng)軸的剛度值；Fe 表示傳動(dòng)軸偏心激勵(lì)力；Ff 表示摩擦片施加在阻尼環(huán)上的側(cè)向干摩擦力；Fmax 為側(cè)向干摩擦力下的最大靜摩擦力值；Θ 為Heaveside 函數(shù)，當(dāng)| rs - rd | ?δ0 時(shí)Θ = 1，當(dāng)| rs - rd |< δ0 時(shí)Θ = 0；sign （vrel ） 為傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)接觸點(diǎn)的相對(duì)速度正負(fù)，系統(tǒng)在碰摩過程中傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)間的切向摩擦力方向始終與接觸點(diǎn)的相對(duì)速度方向相反。

式（1）的有效性已通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證［5］，為簡(jiǎn)化后續(xù)解析法推導(dǎo)過程，將式（1）無量綱化，將式（1）兩端同時(shí)除以系數(shù)ks es，得［25］：

3 碰摩響應(yīng)邊界求解

3.1 典型碰摩響應(yīng)特征

根據(jù)某型直升機(jī)的工程參數(shù)，本文所選傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)物理量參數(shù)如表1所示［5］。

為清晰地了解傳動(dòng)軸/阻尼器系統(tǒng)在加速和減速過程中響應(yīng)的類型及其轉(zhuǎn)速范圍，取表1的參數(shù)為系統(tǒng)掃頻過程的參數(shù)，使用數(shù)值法對(duì)式（2）控制方程進(jìn)行加減速過程的仿真。在掃頻仿真過程中，以上一個(gè)激勵(lì)頻率下系統(tǒng)響應(yīng)的末狀態(tài)作為下一個(gè)激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的初狀態(tài)，以0.01作為掃頻步長(zhǎng)，分別將從0增速到2和從2減速到0作為正向和反向的掃頻過程。在每一個(gè)激勵(lì)頻率下，運(yùn)行1000個(gè)激勵(lì)周期以保證傳動(dòng)軸運(yùn)行到穩(wěn)定狀態(tài)，并取后50個(gè)周期作為該激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，截取后50個(gè)周期每個(gè)周期一個(gè)點(diǎn)以繪制傳動(dòng)軸及阻尼環(huán)的掃頻響應(yīng)分岔圖；同時(shí)選取每個(gè)激勵(lì)頻率下最大幅值繪制傳動(dòng)軸及阻尼環(huán)的無量綱幅值線，如圖3所示。

參考圖3，無論正向還是反向，掃頻過程中系統(tǒng)響應(yīng)可以分為四個(gè)階段：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ［5］。分別求解正向掃頻下=0.8，=0.98，=1.2所對(duì)應(yīng)響應(yīng)類型的軸心軌跡圖，傳動(dòng)軸及阻尼環(huán)全頻譜圖如圖4～6所示，其中紅線表示系統(tǒng)的初始碰摩間隙值。

綜上所述，系統(tǒng)在不同的參數(shù)條件下，會(huì)存在：（a）無碰摩響應(yīng)；（b）局部碰摩響應(yīng)；（c）同頻全周碰摩響應(yīng)。圖5中傳動(dòng)軸、阻尼環(huán)含有負(fù)頻率的成分，說明出現(xiàn)局部碰摩響應(yīng)后，系統(tǒng)有輕微的反轉(zhuǎn)趨勢(shì)［26］。下文將分別求解此三種響應(yīng)相互之間的邊界條件。

3.2 無碰摩響應(yīng)邊界求解

無碰摩響應(yīng)邊界為系統(tǒng)在掃頻過程中從無碰摩響應(yīng)進(jìn)入碰摩后各響應(yīng)類型的邊界條件。當(dāng)系統(tǒng)處于無碰摩響應(yīng)狀態(tài)時(shí)，根據(jù)式（2）系統(tǒng)控制方程，可得傳動(dòng)軸的單周期線性解：

（5）

從式（5）的零解可得到兩個(gè)實(shí)根：

式中為求解的無碰摩響應(yīng)低轉(zhuǎn)速邊界，為求解的無碰摩響應(yīng)高轉(zhuǎn)速邊界。

3.3 同頻全周碰摩響應(yīng)邊界求解

當(dāng)阻尼環(huán)與傳動(dòng)軸發(fā)生碰摩后，其響應(yīng)類型分為兩種：一種是系統(tǒng)做單周期運(yùn)動(dòng)的同頻全周碰摩響應(yīng)；另一種是系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的局部碰摩響應(yīng)。所定義同頻全周碰摩響應(yīng)邊界為系統(tǒng)在掃頻過程中，同頻全周碰摩響應(yīng)發(fā)生失穩(wěn)的邊界?；诖?，本文通過假定系統(tǒng)處于同頻全周碰摩響應(yīng)單周期運(yùn)動(dòng)的解，再分析其穩(wěn)定性邊界，進(jìn)而確定同頻全周碰摩響應(yīng)的失穩(wěn)邊界。

為方便求解系統(tǒng)在同頻全周碰摩響應(yīng)的解析解，利用坐標(biāo)變換將系統(tǒng)從慣性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下。此時(shí)阻尼環(huán)與傳動(dòng)軸接觸，滿足，假設(shè)如下變換：

式中為假定系統(tǒng)處于同頻全周碰摩響應(yīng)下的傳動(dòng)軸位移距離值，為假定系統(tǒng)處于同頻全周碰摩響應(yīng)下的阻尼環(huán)位移距離值。

將式（7）旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的結(jié)果代入式（2），同時(shí)考慮，可得：

為方便推導(dǎo)同頻全周碰摩響應(yīng)的響應(yīng)解，將碰摩力改寫為如下形式［27］：

當(dāng)，，和時(shí)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解：

同頻全周碰摩響應(yīng)下傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)位移的矢量解形式和可求解得出，具體方法見附錄。

通過解出同頻全周碰摩響應(yīng)傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解，可進(jìn)一步求解同頻全周碰摩響應(yīng)的失穩(wěn)邊界條件。由式（8）可得傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)的加速度為：

將系統(tǒng)的響應(yīng)振幅矢量分為方向和方向：，。式（11）可表示為一階微分方程形式：

定義系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的狀態(tài)向量為：

將式（12）改寫為如下形式：

依據(jù)所求解矢量形式的同頻全周碰摩的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解和，確定系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)不動(dòng)點(diǎn)：

基于此不動(dòng)點(diǎn)對(duì)式（14）非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化［15］，得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣：

系統(tǒng)的Jacobian矩陣的特征值由下式求解：

采用Routh?Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行判別［28］，系統(tǒng)的特征方程為：

（18）

特征方程的各項(xiàng)系數(shù)受同頻全周響應(yīng)解的非線性項(xiàng)的影響，當(dāng)系統(tǒng)特征方程的八個(gè)特征值的實(shí)部都小于零時(shí)，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，否則該穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解是不穩(wěn)定的，由此可以確定同頻全周碰摩響應(yīng)邊界。

4 邊界條件驗(yàn)證及各參數(shù)的影響

4.1 邊界條件驗(yàn)證

上文推導(dǎo)出系統(tǒng)各碰摩類型的邊界解析解，本節(jié)將使用數(shù)值積分方法對(duì)這些邊界計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

同樣方法可驗(yàn)證同頻全周碰摩響應(yīng)邊界，依據(jù)表1物理量參數(shù)，使用式（23）分析系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值實(shí)部均小于0的情況，如圖7（b）所示。圖7（b）中兩條黃線所表示的同頻碰摩響應(yīng)邊界（，）內(nèi)系統(tǒng)屬于同頻全周碰摩響應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域。為驗(yàn)證該解析解的準(zhǔn)確性，選取系統(tǒng)摩擦系數(shù)在0.02～0.3的15組數(shù)據(jù)進(jìn)行正向掃頻分析，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)后繼續(xù)掃頻；當(dāng)系統(tǒng)從同頻全周碰摩響應(yīng)轉(zhuǎn)為無碰摩響應(yīng)時(shí)，記為系統(tǒng)在正向掃頻下的同頻全周碰摩響應(yīng)邊界。同樣，反向掃頻時(shí)則取系統(tǒng)從單周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)為同頻全周碰摩響應(yīng)邊界，如圖7（b）所示。結(jié)果表明，使用數(shù)值法所求解系統(tǒng)同頻全周碰摩響應(yīng)變化的邊界與解析法所求解邊界基本相同，從而證明上文解析法求解同頻全周碰摩響應(yīng)邊界的正確性。

下文將討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)所驗(yàn)證碰摩響應(yīng)邊界的影響，在傳動(dòng)軸已知的情況下為干摩擦阻尼器的設(shè)計(jì)提供參考。在七個(gè)無量綱系統(tǒng)參數(shù)（，，，，，，）中，考慮到系統(tǒng)無量綱轉(zhuǎn)速是響應(yīng)邊界的求解變量，并且為傳動(dòng)軸的固有參數(shù)，而則對(duì)響應(yīng)邊界影響不大，故本文集中分析系統(tǒng)參數(shù)，，與對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)邊界的影響。

4.2 摩擦系數(shù)影響分析

基于表1物理量參數(shù)，系統(tǒng)在參數(shù)平面下的碰摩響應(yīng)變化如圖8所示。根據(jù)所求解的結(jié)果，無碰摩響應(yīng)邊界不受摩擦系數(shù)的影響，在參數(shù)平面上表現(xiàn)為兩條直線。當(dāng)系統(tǒng)滿足轉(zhuǎn)速的條件下，系統(tǒng)存在無碰摩響應(yīng)。考慮到響應(yīng)類型在相同參數(shù)條件下存在共存現(xiàn)象，因而這不能決定在系統(tǒng)符合轉(zhuǎn)速的條件下，只存在無碰摩響應(yīng)類型［27］。

系統(tǒng)正向掃頻過程如圖8（a）所示，首先經(jīng)過系統(tǒng)進(jìn)入碰摩狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)處于局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速的提高，系統(tǒng)越來越接近單周期運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，阻尼環(huán)的位移大小逐漸增大；隨著系統(tǒng)轉(zhuǎn)速持續(xù)增加，系統(tǒng)進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)區(qū)域，其邊界與重合。系統(tǒng)同頻全周碰摩響應(yīng)正向掃頻下的穩(wěn)定性將持續(xù)到線。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到后，同頻全周碰摩響應(yīng)失穩(wěn)，此時(shí)阻尼環(huán)回歸零點(diǎn)，傳動(dòng)軸發(fā)生了“跳躍”現(xiàn)象，脫離了與阻尼環(huán)的碰摩，系統(tǒng)轉(zhuǎn)為無碰摩響應(yīng)狀態(tài)。

系統(tǒng)進(jìn)行反向掃頻時(shí)，碰摩響應(yīng)變化如圖8（b）所示。當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速降低到時(shí)發(fā)生碰摩，此時(shí)數(shù)值仿真結(jié)果表明系統(tǒng)處于同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)。系統(tǒng)轉(zhuǎn)速進(jìn)而降低到后脫離同頻全周碰摩響應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)轉(zhuǎn)為局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)。最后，隨著轉(zhuǎn)速降低阻尼環(huán)回歸零點(diǎn)，并且傳動(dòng)軸逐漸轉(zhuǎn)為單周期運(yùn)動(dòng)，仿真結(jié)果表明轉(zhuǎn)速進(jìn)一步降低后阻尼環(huán)和傳動(dòng)軸脫離接觸，系統(tǒng)回歸無碰摩響應(yīng)狀態(tài)，其邊界也與重合。

系統(tǒng)的同頻全周碰摩響應(yīng)穩(wěn)定性區(qū)域受到摩擦系數(shù)的影響，隨著的增加，穩(wěn)定性區(qū)域逐漸減少。相比，當(dāng)時(shí)同頻全周碰摩響應(yīng)的穩(wěn)定性區(qū)域減少了16.32%?？紤]到局部碰摩響應(yīng)下傳動(dòng)軸等部件會(huì)受到?jīng)_擊，進(jìn)而造成更嚴(yán)重的損傷［27］，因此系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的不宜過高。

4.3 初始碰摩間隙影響分析

設(shè)傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)初始碰摩間隙為變量，其余物理量參數(shù)參考表1。使用式（5）和式（22），可得參數(shù)平面下的無碰摩響應(yīng)和同頻全周碰摩響應(yīng)的邊界圖，如圖9所示。所求解無碰摩響應(yīng)邊界在參數(shù)平面表現(xiàn)為一條在系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速處有波峰的線。當(dāng)時(shí)為；當(dāng)時(shí)為。同樣，所求解同頻全周碰摩響應(yīng)邊界也根據(jù)低轉(zhuǎn)速和高轉(zhuǎn)速分為與。

依據(jù)所求解的兩個(gè)邊界，可得到系統(tǒng)在范圍時(shí)，不同碰摩間隙值下系統(tǒng)正向及反向掃頻時(shí)碰摩響應(yīng)的變化，如圖10所示。當(dāng)系統(tǒng)正向掃頻時(shí)，首先通過從無碰摩響應(yīng)狀態(tài)進(jìn)入局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)。然后通過數(shù)值仿真，結(jié)果表明，當(dāng)<21.14，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)碰摩響應(yīng)類型隨后會(huì)變?yōu)橥l全周碰摩響應(yīng)，在進(jìn)一步增加轉(zhuǎn)速時(shí)，同頻全周碰摩響應(yīng)會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，系統(tǒng)最終脫離碰摩進(jìn)入無碰摩響應(yīng)狀態(tài)。另一方面，當(dāng)>21.14時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速增加局部碰摩會(huì)直接脫離接觸進(jìn)入無碰摩運(yùn)動(dòng)，其邊界記為。在邊界處，阻尼環(huán)的位移不為0，這導(dǎo)致相比于在反向掃頻下的發(fā)生碰摩的邊界，正向掃頻下通過脫離碰摩會(huì)更為困難，因此在相同值下要比偏向高轉(zhuǎn)速區(qū)。

反向掃頻下系統(tǒng)通過發(fā)生碰摩，系統(tǒng)從無碰摩響應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)或者同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)。與正向掃頻不同的是，反向掃頻下系統(tǒng)碰摩脫離邊界處的阻尼環(huán)的位移接近于0，且傳動(dòng)軸符合單周期運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，這使得反向掃頻下系統(tǒng)脫離碰摩的邊界與完全相同。

系統(tǒng)在不同初始碰摩間隙下正向及反向掃頻過程中的碰摩響應(yīng)變化如表2所示。由表2可知，所求解系統(tǒng)的無碰摩響應(yīng)邊界和同頻全周碰摩響應(yīng)邊界均受初始碰摩間隙的影響。當(dāng)系統(tǒng)值超過25時(shí)，阻尼環(huán)與傳動(dòng)軸始終不發(fā)生碰摩，系統(tǒng)將一直處于無碰摩響應(yīng)狀態(tài)，所安裝干摩擦阻尼器沒有起到抑振的作用。當(dāng)系統(tǒng)滿足21.14<<25的情況下，系統(tǒng)在碰摩過程中只會(huì)產(chǎn)生局部碰摩響應(yīng)。隨著的減少系統(tǒng)同頻全周碰摩響應(yīng)的穩(wěn)定性區(qū)域出現(xiàn)并逐漸增加。

4.4 最大靜摩擦力影響分析

假定最大靜摩擦力為變量，其余物理量參數(shù)參考表1。由式（5）和式（22）可得參數(shù)平面下的無碰摩響應(yīng)和同頻全周碰摩響應(yīng)的邊界圖如圖11所示。與參數(shù)平面相同，所求解無碰摩響應(yīng)邊界也不受影響，在參數(shù)平面表現(xiàn)為兩條直線和。同頻全周碰摩響應(yīng)邊界在參數(shù)平面上表現(xiàn)為兩條拋物線，隨的增大而趨向于高轉(zhuǎn)速區(qū)，分別為，。

系統(tǒng)在參數(shù)平面的正向及反向掃頻下碰摩響應(yīng)變化如圖12所示，系統(tǒng)在不同值下正向及反向掃頻過程的碰摩響應(yīng)類型變化如表3所示。在正向掃頻過程中，隨著的增加，系統(tǒng)從無碰摩響應(yīng)狀態(tài)通過時(shí)便開始發(fā)生碰摩，產(chǎn)生局部碰摩響應(yīng)。根據(jù)數(shù)值仿真的計(jì)算結(jié)果，在<8的范圍內(nèi)，系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速的提高不會(huì)從局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)內(nèi)脫離碰摩，而必定會(huì)轉(zhuǎn)為同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)，然后再越過發(fā)生同頻全周碰摩響應(yīng)的失穩(wěn)而脫離碰摩。

在反向掃頻的過程中，系統(tǒng)會(huì)通過開始碰摩。當(dāng)<3.03時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)，然后經(jīng)過因同頻全周碰摩響應(yīng)失穩(wěn)而轉(zhuǎn)為局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)，隨著減速阻尼環(huán)位移逐漸歸零，仿真表明系統(tǒng)在經(jīng)過時(shí)變脫離碰摩；當(dāng)>3.03時(shí)，系統(tǒng)通過會(huì)直接進(jìn)入局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)，再進(jìn)而脫離碰摩。

由圖12和表3可知，系統(tǒng)在正向掃頻下，隨著的增大進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)的邊界會(huì)轉(zhuǎn)移向高轉(zhuǎn)速區(qū)。系統(tǒng)在反向掃頻下，當(dāng)<3.03時(shí)，隨著提高同頻全周碰摩響應(yīng)穩(wěn)定性區(qū)域會(huì)減少，這導(dǎo)致局部碰摩響應(yīng)范圍的增大；當(dāng)>3.03時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)同頻全周碰摩響應(yīng)。

4.5 傳動(dòng)軸等效剛度影響分析

假定傳動(dòng)軸等效剛度為變量，其余物理量參數(shù)參考表1。由式（5）和式（22）可得參數(shù)平面下的無碰摩響應(yīng)和同頻全周碰摩響應(yīng)的邊界圖如圖11所示。所求解無碰摩響應(yīng)邊界不受影響，在參數(shù)平面表現(xiàn)為兩條直線，。同頻全周碰摩響應(yīng)邊界也存在兩條，分別為，。在較小情況下，隨的增大同頻全周碰摩響應(yīng)邊界趨向于高轉(zhuǎn)速區(qū)；在值較大情況下，同頻全周碰摩響應(yīng)邊界將幾乎不會(huì)隨改變。

系統(tǒng)正向掃頻過程如圖14（a）所示，在正向掃頻過程中，隨著的增加，系統(tǒng)從無碰摩響應(yīng)狀態(tài)通過時(shí)便開始發(fā)生碰摩，產(chǎn)生局部碰摩響應(yīng)。根據(jù)數(shù)值仿真的計(jì)算結(jié)果，在<0.11的情況下，隨著系統(tǒng)轉(zhuǎn)速增加系統(tǒng)不會(huì)進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)而直接脫離碰摩。當(dāng)0.11<<0.52時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在脫離碰摩前進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)區(qū)域，但是隨后經(jīng)過失穩(wěn)回到局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)，最后脫離碰摩。在0.52<情況下，數(shù)值仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)發(fā)生碰摩后會(huì)從局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)并進(jìn)而經(jīng)過后脫離碰摩。

系統(tǒng)進(jìn)行反向掃頻時(shí)，碰摩響應(yīng)變化如圖14（b）所示。當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速降低到時(shí)發(fā)生碰摩。當(dāng)<0.11時(shí)，系統(tǒng)處于局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)，隨著轉(zhuǎn)速的降低系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸和阻尼環(huán)逐漸脫離接觸。當(dāng) 0.11<<0.52時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)類型變化與正向掃頻相同，會(huì)從局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)進(jìn)入同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)，隨后經(jīng)過后失穩(wěn)回歸局部碰摩響應(yīng)狀態(tài)，最后隨著速度的減少脫離碰摩。當(dāng)0.52<時(shí)，系統(tǒng)處于同頻全周碰摩響應(yīng)狀態(tài)，經(jīng)過后變?yōu)榫植颗瞿憫?yīng)狀態(tài)，然后隨著轉(zhuǎn)速降低傳動(dòng)軸的位移逐漸降低最終與阻尼環(huán)脫離接觸。

5 結(jié)? 論

本文針對(duì)某帶有干摩擦阻尼器的直升機(jī)單跨超臨界尾傳動(dòng)軸的碰摩現(xiàn)象，通過使用解析方法推導(dǎo)出無碰摩響應(yīng)邊界和同頻全周碰摩響應(yīng)邊界，并使用Runge?Kutta 法進(jìn)行了驗(yàn)證，最后討論了，，和對(duì)邊界條件的影響，得到以下結(jié)論：

（1）傳動(dòng)軸/干摩擦阻尼器系統(tǒng)的跨臨界轉(zhuǎn)速過程的典型響應(yīng)類型可以分為三種，分別為無碰摩響應(yīng)、局部碰摩響應(yīng)以及同頻全周碰摩響應(yīng)，且各響應(yīng)類型的邊界與系統(tǒng)的物理量參數(shù)密切相關(guān)。

（2）依據(jù)無碰摩響應(yīng)下發(fā)生碰摩的邊界條件，求解了系統(tǒng)無碰摩響應(yīng)的邊界。證明，和不會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響，在平面和參數(shù)平面上表現(xiàn)為兩條垂線。所求解無碰摩響應(yīng)邊界受影響，隨增大，無碰摩響應(yīng)邊界向臨界轉(zhuǎn)速收縮。

（3）基于Routh?Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，針對(duì)系統(tǒng)同頻全周碰摩響應(yīng)求解其穩(wěn)定性邊界。同頻全周碰摩響應(yīng)邊界受與影響顯著。隨增大，同頻全周碰摩響應(yīng)會(huì)收縮進(jìn)而消失。隨與的增大，同頻全周碰摩響應(yīng)邊界趨于轉(zhuǎn)到高轉(zhuǎn)速區(qū)。同頻全周碰摩響應(yīng)穩(wěn)定性邊界也受影響，隨其增大區(qū)域會(huì)略微壓縮。

現(xiàn)有的工作在局部碰摩響應(yīng)邊界求解上依然使用數(shù)值方法，而如何假定系統(tǒng)局部碰摩響應(yīng)解的形式進(jìn)而通過解析方法求解其邊界條件仍需進(jìn)一步探討。

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Boundary characterization of rub-impact response of a helicopter supercritical transmission shaft with a dry friction damper

Abstract： In pursuit of the ideal power-to-weight ratio， supercritical transmission shaft systems are increasingly used in the design of helicopter structures， which leads to the generation of violent vibrations driving through its critical speed. To suppress the excessive transcritical vibration， dry friction dampers are usually employed. In this study， a supercritical transmission shaft system with a dry friction damper is investigated. The governing equations are established and the boundary characteristics of various rub-impact responses of the system under eccentric excitation of the transmission shaft are analyzed. Firstly， the nonlinear governing equations of the damper/shaft system are constructed. Secondly， typical response characteristics are determined using frequency sweep， and the boundaries of impact occurrence and stability conditions for the synchronous full annular rub are solved using analytical methods. Finally， the derived response boundaries are verified by the Runge-Kutta method， and the relationship between the response boundaries and the system parameters is further explored.

Key words： supercritical transmission shaft；dry friction damper；rub-impact；response characteristics；stability analysis

將式（9）代入式（10）約去，并簡(jiǎn)化可得傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)的矢量解為：

將式（A1）代入式（9），進(jìn)而化簡(jiǎn)可得碰摩力的矢量解為：

由式（A2）可得碰摩力的大小：

式中? 系數(shù)a，b，c，d，e 和 f 為：

將式（A4）代入式（A2）可得碰摩力矢量解，進(jìn)而代入式（A1）可得同頻全周碰摩響應(yīng)下傳動(dòng)軸和阻尼環(huán)位移的矢量解形式和。

式（14）中為線性項(xiàng)的系數(shù)矩陣，定義為：

式（A7）中，，和分別定義為：

式（16）中的非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化后各項(xiàng)系數(shù)為：