李軍軍 李劍輝 鄭玲 鄧杰

摘要： 聲學(xué)黑洞（ABH）以其優(yōu)異的性能在結(jié)構(gòu)減振降噪、聲波調(diào)控、能量回收等領(lǐng)域展示了極其廣闊的應(yīng)用前景。但聲學(xué)黑洞邊緣截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致非零反射系數(shù)的存在，從而弱化聲學(xué)黑洞效應(yīng)。為此，本文在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中引入約束阻尼材料，在Rayleigh?Ritz法框架下，選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù)，根據(jù)聲學(xué)黑洞板的形狀確定高斯基函數(shù)的分布，避免質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的奇異化，建立了聲學(xué)黑洞約束阻尼板的半解析分析模型。通過與有限元分析結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了半解析建模方法的正確性。研究了約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲學(xué)黑洞板彎曲振動(dòng)特性的影響規(guī)律，揭示了約束阻尼的減振機(jī)理和能量耗散作用。實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了聲學(xué)黑洞約束阻尼板的減振效果。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)控制； 聲學(xué)黑洞； 約束阻尼； 高斯展開法； 半解析模型

中圖分類號(hào)： TB535； O328??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）05-0847-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.013

引? 言

聲學(xué)黑洞是利用薄壁結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)或材料參數(shù)的梯度變化，使波在結(jié)構(gòu)中的傳播速度逐漸減小，理想情況下波速減小至零從而不發(fā)生反射的現(xiàn)象。由于結(jié)構(gòu)簡單、易于加工以及具有獨(dú)特的能量聚集效應(yīng)，聲學(xué)黑洞在振動(dòng)噪聲控制［1?3］、能量回收［4?6］、聲輻射控制［7?9］、信號(hào)處理［10］等方面均展示了廣闊的應(yīng)用前景。

針對(duì)聲學(xué)黑洞存在的非均勻波長分布和波數(shù)快速變化問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了不同的建模方法，包括幾何聲學(xué)法［11?12］、傳遞矩陣法［13?14］、有限元法［15?16］和半解析法［17?18］等。其中半解析法吸收了解析法的準(zhǔn)確性和數(shù)值方法處理邊界問題的靈活性，具有較高的計(jì)算精度和效率。Deng等［19?20］采用基于克羅內(nèi)克積表示的二維高斯基函數(shù)對(duì)周期聲學(xué)黑洞板的位移場(chǎng)進(jìn)行了擬合，但采用克羅內(nèi)克積表示的二維基函數(shù)容易導(dǎo)致質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的奇異化。

為了克服邊緣截?cái)鄮淼姆橇惴瓷湎禂?shù)和聲學(xué)黑洞效應(yīng)弱化問題，阻尼材料一直被廣泛研究。Krylov［21］的研究表明聲學(xué)黑洞和自由阻尼的耦合效應(yīng)可以使反射系數(shù)明顯減小。Zeng等［22］研究了圓錐形聲學(xué)黑洞梁的能量聚集效應(yīng)以及阻尼層作用。Ji等［23］通過在聲學(xué)黑洞梁的能量聚集區(qū)域引入阻尼層，進(jìn)一步減小了聲學(xué)黑洞梁的振動(dòng)。Liu等［24］將超構(gòu)表面與聲學(xué)黑洞相結(jié)合，設(shè)計(jì)了圓形聲學(xué)黑洞超構(gòu)表面，少量阻尼材料強(qiáng)化了超構(gòu)表面的能量吸收。Deng等［25］研究了約束阻尼在補(bǔ)償聲學(xué)黑洞梁邊緣截?cái)喾矫娴拿黠@作用。

本文基于高斯展開法，建立聲學(xué)黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的半解析分析模型。分析約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲學(xué)黑洞板彎曲振動(dòng)特性的影響規(guī)律，探索約束阻尼在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的減振機(jī)理和能量耗散作用，為約束阻尼在聲學(xué)黑洞減振結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用提供設(shè)計(jì)參考。

1 聲學(xué)黑洞約束阻尼板半解析模型

1.1 問題描述

將一個(gè)圓形的二維聲學(xué)黑洞嵌入到一個(gè)矩形薄板中，在聲學(xué)黑洞中心位置處粘貼約束阻尼材料，構(gòu)建聲學(xué)黑洞約束阻尼板，如圖1所示。聲學(xué)黑洞板的厚度為huni，長度和寬度分別為和。A點(diǎn)為諧波激勵(lì)作用點(diǎn)，其坐標(biāo)為（xA，yA，zA）。聲學(xué)黑洞位于矩形板的中心，其厚度變化服從冪指數(shù)規(guī)律h（r）=ξrm+hcenter，其中r=［（x-a）2+（x-b）2］1/2為坐標(biāo)點(diǎn)到聲學(xué)黑洞中心的距離，ξ=（huni-hcenter）/r為聲學(xué)黑洞剖面變化的斜率，hcenter為聲學(xué)黑洞中心截?cái)嗪穸?，rabh為聲學(xué)黑洞半徑，m為厚度變化冪指數(shù)。約束阻尼處于聲學(xué)黑洞的中心位置，其中阻尼層半徑rv和約束層半徑rc保持一致，阻尼層的厚度為hv，約束層的厚度為hc。邊界為自由邊界。

1.2 高斯基函數(shù)的選取

為了建立聲學(xué)黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，遵循參考文獻(xiàn)［25］中的約束假設(shè)。基板及各層的位移關(guān)系如圖2所示。其中，w為橫向撓度；up，uv和uc分別為ABH板、阻尼層和約束層在x方向的位移；vp，vv和vc分別為ABH板、阻尼層和約束層在y方向的位移。

基于約束假設(shè)條件，聲學(xué)黑洞板與約束阻尼各層的位移關(guān)系可表示為：

式中? hp，hv和hc分別為ABH板、阻尼層和約束層的厚度；，分別為阻尼層在yOx和zOx平面內(nèi)的夾角變化。

通過式（1）可以得到阻尼層中面的位移和應(yīng)變：

式中? d = （hp+hc）/2+hv表示約束層和基板的中面距離。

在Rayleigh?Ritz法框架下，將w，up，uc，vp，vc進(jìn)行分解，表示為基函數(shù)和權(quán)重系數(shù)的組合形式：

式中，ξu，ξv，φu，φv為基函數(shù)的集合；，，，為權(quán)重系數(shù)集合。定義系統(tǒng)權(quán)重系數(shù)向量q為：

（4）

由于基函數(shù)集合是二維的，可以進(jìn)一步用克羅內(nèi)克積進(jìn)行分解：

式中? pψxi和pψyi分別為x方向和y方向的尺度因子；qψxi和qψyi分別為x方向和y方向的平移因子。

尺度因子pψxi和pψyi的下限為：

式中? ceil（x）表示大于或等于x的最小整數(shù)。

平移因子qψxi和qψyi的取值范圍為：

同理，ξu，ξv，φu和φv也可以用克羅內(nèi)克積表示。

直接采用克羅內(nèi)克積表示φu和φv，其基函數(shù)為矩形分布，但文中約束層為圓形，這將導(dǎo)致質(zhì)量矩陣和剛度矩陣奇異化。為此，首先對(duì)約束層基函數(shù)進(jìn)行篩選，篩選后的形函數(shù)和各自的中心坐標(biāo)（qφuxi，qφuyi），（qφvxi，qφvyi） 應(yīng)滿足：

式中，和分別為約束層基礎(chǔ)數(shù)和在x方向和y方向的尺度因子；，為形函數(shù)中心到約束層邊界的距離。由此可記錄，中的元素在φu和φv中的位置，用于剔除質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和外力的幅值向量中多余元素對(duì)應(yīng)的行和列。

1.3 運(yùn)動(dòng)方程

聲學(xué)黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的動(dòng)能K由聲學(xué)黑洞板的動(dòng)能Kp、阻尼層的動(dòng)能Kv、約束層的動(dòng)能Kc組成：

（11）

其中：

式中? ρp，ρv，ρc分別為聲學(xué)黑洞板、阻尼層和約束層的密度。

耦合系統(tǒng)的勢(shì)能U為：

（15）

式中? Up為聲學(xué)黑洞板的勢(shì)能，Uv為阻尼層的勢(shì)能，Uc為約束層的勢(shì)能。

式中? σi和εi（i=p，v，c）為每層的應(yīng)力和應(yīng)變；γxz和γyz分別為在xOz平面和yOz平面的切應(yīng)變；E=Ep（1+iηp）和E=Ec（1+iηc）分別為聲學(xué)黑洞板和約束層的復(fù)彈性模量，其中Ep和Ec分別為聲學(xué)黑洞板和約束層的楊氏模量，ηp和ηc分別為聲學(xué)黑洞板和約束層的阻尼損耗因子；為阻尼層的復(fù)剪切模量。

激勵(lì)點(diǎn)A處的外力功可表示為：

（20）

式中為作用在A點(diǎn)的簡諧外力。

由此，耦合系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：

式中? M和K為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；f為外力向量。

根據(jù)歐拉?拉格朗日方程：

聲學(xué)黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

（23），可以獲得耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的頻域表達(dá)式：

2 模型驗(yàn)證

基于Comsol多場(chǎng)耦合有限元分析軟件，建立聲學(xué)黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的有限元模型，驗(yàn)證半解析建模方法的正確性。表1和表2分別是其幾何和材料參數(shù)。

圖3為聲學(xué)黑洞約束阻尼板的模態(tài)分析結(jié)果。從圖3（a）可以看出，半解析分析模型計(jì)算結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果吻合。圖3（b）為半解析與有限元模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差，可知，其模態(tài)頻率有很好的收斂性，除了極少數(shù)模態(tài)頻率的誤差為2%～3%，其余誤差都在1.5%以內(nèi)。

圖4為第1，8，12和18階模態(tài)振型對(duì)比。第一行為半解析模型結(jié)果，第二行為有限元模型結(jié)果。可以看出兩種方法得到的模態(tài)振型完全一致。

3 約束阻尼參數(shù)對(duì)彎曲振動(dòng)特性的影響

圖5為聲學(xué)黑洞板和均勻板的平均平方速度，其表達(dá)式為：

式中? S為板的面積，均勻板粘貼了與聲學(xué)黑洞板相同的約束阻尼材料。可以看到，聲學(xué)黑洞板在聲學(xué)黑洞起始頻率1190 Hz以上時(shí)，其減振效果更加明顯。對(duì)300～1190 Hz范圍內(nèi)的振動(dòng)也有所抑制，這主要得益于約束阻尼層的作用。

3.1 阻尼層損耗因子的影響

圖6為阻尼層損耗因子對(duì)黑洞中心減振特性的影響?？梢钥闯?，隨著損耗因子的增加，聲學(xué)黑洞板的減振作用更加明顯，這是因?yàn)榧s束阻尼層的阻尼效應(yīng)是由約束層和基板位移差導(dǎo)致的黏彈性層剪切形變引起的，這意味著系統(tǒng)的能量耗散與振動(dòng)衰減速度由阻尼層損耗因子主導(dǎo)。但減振作用與損耗因子之間并不呈現(xiàn)線性關(guān)系，沒有必要過分增加阻尼損耗因子。

3.2 阻尼層厚度的影響

圖7為阻尼層厚度對(duì)聲學(xué)黑洞板減振特性的影響?？梢钥闯?，隨著阻尼層厚度的增加，聲學(xué)黑洞板的減振抑制作用會(huì)增強(qiáng)。這是因?yàn)樽枘釋雍穸仍龃螅l(fā)生相同彎曲變形時(shí)，阻尼層上下表面的位移差會(huì)增大，從而導(dǎo)致應(yīng)變能和能量耗散增大。但剪切應(yīng)變將會(huì)減小，阻尼層厚度過大，其減振效果會(huì)變差。

3.3 約束層剛度和厚度的影響

約束層是影響?zhàn)椥詫影l(fā)生剪切變形的主要因素之一，因此約束層的剛度和厚度也會(huì)影響約束阻尼對(duì)系統(tǒng)的減振效果。圖8為約束層楊氏模量對(duì)減振特性的影響。隨著約束層剛度的增加，在1700 Hz以下的振動(dòng)減小，1700 Hz以上的振動(dòng)增大。一般而言，隨著約束層剛度增大，阻尼層的剪切變形會(huì)增大，減振效果會(huì)增強(qiáng)，這顯然與上述現(xiàn)象不符。為此，對(duì)比粘貼相同約束阻尼材料的聲學(xué)黑洞板和均勻板的平均平方速度，如圖9所示。隨著約束層剛度增大，均勻板的振動(dòng)在高頻和低頻均會(huì)減小，說明約束層剛度的增大的確有助于提升約束阻尼的減振效果。但聲學(xué)黑洞板（見圖9（a））的減振規(guī)律與圖8相同，這可能是因?yàn)榧s束阻尼材料粘貼在聲學(xué)黑洞中心，增加約束層剛度改變了彎曲波的波長與波速，削弱了聲學(xué)黑洞的能量集中效應(yīng)。聲學(xué)黑洞現(xiàn)象在低頻的影響相對(duì)較小，隨著頻率升高其能量集中效應(yīng)將越來越明顯，因此形成了隨約束層剛度增大，低頻減振效果增強(qiáng)，高頻減振效果減弱的現(xiàn)象。

圖10為約束層厚度對(duì)聲學(xué)黑洞板和均勻板減振特性的影響。與圖9對(duì)比可以看出，改變約束層厚度對(duì)聲學(xué)黑洞板減振效果的影響規(guī)律與改變剛度的規(guī)律一致，這是因?yàn)樵龃蠹s束層剛度和厚度都會(huì)削弱聲學(xué)黑洞的能量集中效應(yīng)。而在3.2節(jié)中，隨著阻尼層厚度的增加，不會(huì)出現(xiàn)低頻與高頻在減振效果上的差異，這是因?yàn)樽枘釋訔钍夏Ａ浚?0 MPa）遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ABH板的楊氏模量（206 GPa），所以對(duì)聲學(xué)黑洞效應(yīng)的影響很小。

3.4 阻尼層與約束層比例的影響

在工程應(yīng)用中，阻尼材料的厚度和質(zhì)量是受到限制的，因此探究阻尼層與約束層的比例（rvc=hv/hc）有著十分重要的意義。圖11（a）為約束阻尼層總厚度為3 mm時(shí)不同rvc的對(duì)比結(jié)果，隨著rvc的減小，聲學(xué)黑洞板在低頻的減振效果增強(qiáng)，而在高頻的減振效果變差，這與單獨(dú)改變約束層厚度的規(guī)律一致。這是因?yàn)榧s束層的密度和剛度都遠(yuǎn)大于阻尼層的密度和剛度，故約束層厚度改變產(chǎn)生的影響要大于阻尼層厚度。

此外，由于約束層的密度比較大，減小rvc會(huì)導(dǎo)致約束阻尼層總質(zhì)量的增加。圖11（b）為約束阻尼層總質(zhì)量為431.6 g不同rvc的對(duì)比結(jié)果。可以看出，隨著rvc的減小，ABH板的減振效果會(huì)變差，這是因?yàn)樽枘釋雍穸雀淖儺a(chǎn)生的影響要大于約束層厚度，其規(guī)律也與單獨(dú)改變阻尼層厚度一致。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

聲學(xué)黑洞板的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖12所示。平臺(tái)由約束阻尼聲學(xué)黑洞板實(shí)驗(yàn)樣件、信號(hào)發(fā)生器（SINOC?ERA PIEZOTRONIC JZK?5）、激振器、信號(hào)功率放大器（SINOCERA PIEZOTRONICS， YE5871?A）、加速度傳感器與 LMS 數(shù)據(jù)采集器組成。實(shí)驗(yàn)中，利用彈性繩將實(shí)驗(yàn)樣件懸掛起來，以模擬自由邊界條件。通過激振器對(duì)樣件上A點(diǎn)施加激勵(lì)，在聲學(xué)黑洞板B點(diǎn)和C點(diǎn)處獲取響應(yīng)信號(hào)，計(jì)算B點(diǎn)到C點(diǎn)的速度平方傳遞率（VST）。

（26）

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13所示。圖13（a）為聲學(xué)黑洞板的速度平方傳遞率，可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果的變化趨勢(shì)具有良好的一致性。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果比理論計(jì)算結(jié)果的速度平方傳遞率稍小一些，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)樣件通過彈性繩懸掛于鋁合金架子上，激振器產(chǎn)生的振動(dòng)能量通過彈性繩傳遞到架子上會(huì)產(chǎn)生能量損失。圖13（b）為聲學(xué)黑洞約束阻尼板的速度平方傳遞率，實(shí)驗(yàn)結(jié)果比理論結(jié)果的速度平方傳遞率也要小一些，在200 Hz和500 Hz處峰值偏差較大，主要原因可能有兩個(gè)：（1）聲學(xué)黑洞板的聲學(xué)黑洞加工存在誤差；（2）實(shí)驗(yàn)中存在結(jié)構(gòu)阻尼的作用，而理論計(jì)算并沒有考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響?？傮w上，理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的主要趨勢(shì)符合較好，表明所建立的半解析模型能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)聲學(xué)黑洞約束阻尼板的振動(dòng)響應(yīng)。

另外，從圖14可以看出，在粘貼約束阻尼材料后，聲學(xué)黑洞板的傳遞率明顯減小，說明約束阻尼能明顯減弱聲學(xué)黑洞板的振動(dòng)。

5 結(jié)? 論

本文在Rayleigh?Ritz法框架下，選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù)，考慮高斯基函數(shù)的分布和質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的奇異化問題，建立了聲學(xué)黑洞約束阻尼板的半解析模型。分析了約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲學(xué)黑洞板彎曲振動(dòng)特性的影響規(guī)律。本文的主要結(jié)論如下：

（1） 基于高斯展開法的半解析理論分析模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)聲學(xué)黑洞約束阻尼板的振動(dòng)特性，避免了質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的奇異化，為研究約束阻尼參數(shù)對(duì)聲學(xué)黑洞板彎曲振動(dòng)特性的影響規(guī)律奠定了基礎(chǔ)。

（2） 約束層阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)的研究表明，阻尼層的阻尼損耗因子對(duì)聲學(xué)黑洞板的減振效果影響顯著，損耗因子越大，減振效果越好；此外，增加阻尼層的厚度，由于強(qiáng)化了剪切變形和能量耗散，會(huì)進(jìn)一步提升聲學(xué)黑洞板的減振作用。

（3） 由于約束層剛度和厚度的增大會(huì)削弱聲學(xué)黑洞的能量聚集效應(yīng)，從而導(dǎo)致低頻減振作用增強(qiáng)和高頻減振作用減弱。阻尼層與約束層的厚度比決定了其各自的貢獻(xiàn)和占比，也反映出阻尼層和約束層類似的規(guī)律。

在后續(xù)的研究中，將進(jìn)一步探索約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的最佳匹配關(guān)系，并研究以目標(biāo)頻率為導(dǎo)向的約束阻尼拓?fù)鋬?yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)約束阻尼結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。

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Semi analytical coupling modeling and vibration characteristics of ABH plate with constrained damping layer

Abstract： In recent years， acoustic black hole （ABH） has shown an extremely broad application prospect in the fields of structural vibration and noise suppression， acoustic wave control， energy recovery， etc， due to its excellent performance. However， the truncation of ABH edge will lead to the existence of non-zero reflection coefficient， thus weakening the acoustic black hole effect. In this paper， the constrained layer damping is introduced into ABH plates. Under the framework of Rayleigh Ritz method， Gaussian function is selected as the basis function， and the distribution of basis function is determined according to the shape of ABH plate to avoid the singularity of mass matrix and stiffness matrix. A semi analytical model of ABH plate with constrained layer damping is established. By comparing with the results of finite element analysis， the correctness of the semi analytical modeling method is verified. The influence of structural parameters of constrained layer damping on the bending vibration characteristics of ABH plate is studied， and the damping mechanism and energy dissipation of constrained layer damping are revealed. The experiment further verifies the damping effect of ABH plate with constrained layer damping. The research provides a design reference for the application of constrained layer damping in ABH structures.

Key words： vibration control；acoustical black hole （ABH）；constrained damping layer；Gaussian expansion method；semi-analytical model