周坤濤 楊濤 葛根 郝淑英 馮晶晶 張琪昌

摘要： 環(huán)境振動(dòng)是一種非周期、隨機(jī)的寬頻激勵(lì)，研究振動(dòng)能量采集器在環(huán)境振動(dòng)下的能量采集特性具有重要意義。本文采用改進(jìn)隨機(jī)平均法，求解了變截面壓電梁在高斯白噪聲激勵(lì)下的等效振幅、位移、速度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，位移與速度的聯(lián)合概率密度函數(shù)以及穩(wěn)態(tài)均方輸出電壓，隨后研究了變截面壓電梁的能量采集效能。結(jié)果表明：負(fù)載電阻一定時(shí)，截面系數(shù)β>0時(shí)的變截面壓電梁相比β=0時(shí)的等截面壓電梁有更好的穩(wěn)態(tài)均方輸出電壓；截面系數(shù)β>0時(shí)，隨著電阻電容乘積的倒數(shù)的增加，變截面壓電梁的均方電壓均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，當(dāng)電阻電容乘積的倒數(shù)值一定時(shí)，β值越大，均方電壓也越高；隨著噪聲強(qiáng)度的增加，變截面壓電梁的均方電壓均呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，當(dāng)噪聲強(qiáng)度一定時(shí)，β值越大，均方電壓也越高。本文研究結(jié)果可為變截面壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 能量采集器； 變截面壓電懸臂梁； 高斯白噪聲激勵(lì)； 穩(wěn)態(tài)概率密度； 均方電壓

中圖分類號(hào)： O324； TB34； TM91??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）05-0864-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.015

引 言

壓電振動(dòng)能量采集器是一種利用壓電陶瓷元件的壓電效應(yīng)將采集到的環(huán)境中的振動(dòng)能轉(zhuǎn)換成電能的機(jī)電耦合器件。該器件具有能量密度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于無(wú)線傳感器、MEMS等微功耗電子產(chǎn)品的供電系統(tǒng)中，成為目前微能源領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1］。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)壓電能量采集器做了大量的研究，取得了豐碩的成果。Erturk等［2?3］對(duì)線性壓電懸臂梁能量采集器做了系統(tǒng)的研究，推導(dǎo)了電壓及功率的表達(dá)式，研究表明，線性能量采集器的工作頻帶窄、能量轉(zhuǎn)換效率低，不滿足微功耗器件的供電要求。為此，學(xué)者們提出了雙穩(wěn)態(tài)非線性壓電振動(dòng)能量采集器，其主要原理是將線性能量采集器末端引入一對(duì)相互排斥的磁鐵，通過(guò)調(diào)節(jié)兩磁鐵的間距從而產(chǎn)生非線性恢復(fù)力，使得該系統(tǒng)具有兩個(gè)勢(shì)阱，研究發(fā)現(xiàn)，雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)大大提高了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)范圍，提升了能量的采集效率，同時(shí)雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器的輸出性能嚴(yán)重依賴外部振動(dòng)強(qiáng)度［4］。此后學(xué)者們進(jìn)一步提出了具有更淺、更寬勢(shì)阱的三穩(wěn)態(tài)［5］、四穩(wěn)態(tài)［6］壓電振動(dòng)能量采集器，并深入研究了多穩(wěn)態(tài)能量采集器的輸出性能和非線性動(dòng)力學(xué)行為。

除了輔磁力導(dǎo)致的非線性力之外，學(xué)者們還通過(guò)優(yōu)化懸臂梁的幾何形狀來(lái)提高能量采集效率。眾所周知，等截面形式的壓電梁在長(zhǎng)度方向上無(wú)法使應(yīng)力分布均勻化，導(dǎo)致其不能最大程度地利用壓電材料有效地提升能量采集效率。為提升壓電梁應(yīng)力應(yīng)變分布的均勻性，學(xué)者們開(kāi)展了很多等截面壓電梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，發(fā)現(xiàn)變截面梁的應(yīng)變分布比等截面梁更均勻。Roundy等［7］通過(guò)改變懸臂梁結(jié)構(gòu)的幾何形狀，發(fā)現(xiàn)梯形截面提供的能量是矩形截面的兩倍（每單位體積PZT）。Baker等［8］對(duì)相同體積的矩形和梯形懸臂梁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明，與同體積矩形懸臂梁相比，梯形壓電懸臂梁的輸出能量提高了約30%。Zhang等［9］采用理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法研究了一階頻率較低、輸出電壓和功率高于矩形梁的梯形懸臂式壓電能量采集器。Kundu等［10］通過(guò)改變懸臂式壓電振動(dòng)能量采集器的厚度，實(shí)現(xiàn)了沿梁長(zhǎng)方向的均勻應(yīng)力，與等厚度壓電能量采集器相比發(fā)電功率顯著提高。譚楊康等［11］利用數(shù)值仿真和試驗(yàn)測(cè)試相結(jié)合的方法研究了梯形梁俘能器的性能。

上述文獻(xiàn)大都研究了壓電懸臂梁在確定性的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)和輸出特性，但在大多數(shù)情況下，環(huán)境振動(dòng)是一種非周期、隨機(jī)的寬頻激勵(lì)，因此有必要研究壓電能量采集器在隨機(jī)振動(dòng)下的能量采集特性。國(guó)外學(xué)者Daqaq［12］給出了壓電振動(dòng)能量俘獲器在高斯白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)剛度非線性對(duì)系統(tǒng)的平均功率具有重要影響。國(guó)內(nèi)學(xué)者孫舒等［13］通過(guò)數(shù)值模擬研究了白噪聲激勵(lì)下雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)的響應(yīng)特性，發(fā)現(xiàn)噪聲強(qiáng)度的增加會(huì)減少雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間的跳躍時(shí)間。Jiang等［14?15］針對(duì)高斯白噪聲激勵(lì)下的非線性振動(dòng)能量采集器提出了一種隨機(jī)平均方法，利用廣義諧波函數(shù)發(fā)展了隨機(jī)平均方法。Su等［16］采用隨機(jī)平均法研究了高斯白噪聲激勵(lì)下單穩(wěn)態(tài)壓電能量收集系統(tǒng)，揭示了其物理機(jī)理。劉迪等［17］研究了高斯白噪聲作用下非對(duì)稱單穩(wěn)態(tài)能量采集器的概率響應(yīng)。然而在已有的研究中，關(guān)于變截面壓電梁在隨機(jī)激勵(lì)下的能量采集特性方面的研究鮮有報(bào)道。

本文以根部粘貼雙晶壓電片，基底層線性變寬度的變截面懸臂梁為研究對(duì)象，考慮壓電材料的線性本構(gòu)關(guān)系以及梁基底層的幾何非線性。首先采用拉格朗日法建立變截面壓電梁在高斯白噪聲激勵(lì)下的振動(dòng)方程及壓電方程；其次將振動(dòng)方程中的電壓項(xiàng)表示成位移和速度的解耦項(xiàng)，構(gòu)建振動(dòng)系統(tǒng)的哈密頓（Hamilton）總能量，將瞬時(shí)頻率表達(dá)式轉(zhuǎn)化成形式更為簡(jiǎn)潔的平均頻率表達(dá)式，通過(guò)引入坐標(biāo)變換導(dǎo)出關(guān)于瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)相位的一組隨機(jī)微分方程；最后利用隨機(jī)平均法將其簡(jiǎn)化為等效振幅的伊藤（It?）方程，隨后基于FPK方程求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概率密度，分別求解變截面壓電梁與等截面壓電梁的等效振幅、位移、速度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)以及壓電梁速度和位移的聯(lián)合概率密度函數(shù)。計(jì)算了負(fù)載電阻一定時(shí)，變截面梁與等截面梁的均方電壓值；分析了截面系數(shù)β>0的變截面壓電梁在電阻電容乘積的倒數(shù)及噪聲強(qiáng)度變化時(shí)的穩(wěn)態(tài)均方電壓的輸出規(guī)律，將計(jì)算得到的近似解析解與隨機(jī)龍格?庫(kù)塔法數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了理論的可靠性。

1 物理建模

圖1所示為雙晶Euler?Bernoulli變截面壓電懸臂梁能量采集器。極化方向相反的兩片壓電陶瓷片分別粘結(jié)在基底層的上下表面，且串聯(lián)連接于外部負(fù)載電阻R，其中，壓電片的長(zhǎng)度為L(zhǎng)p，寬度為bp，厚度為hp；基底層為寬度沿水平方向逐漸變窄的變截面懸臂梁，其固定端寬度為b0，自由端寬度為bl，厚度為hb，長(zhǎng)度為L(zhǎng)b。建立圖1所示直角坐標(biāo)系，x軸位于梁的中性軸，y軸沿梁厚度方向，z軸沿梁寬度方向，s為沿梁長(zhǎng)度方向固定在中性軸上的弧坐標(biāo)，ds為弧坐標(biāo)s處的微元段，Y（t）為橫向基座的白噪聲激勵(lì)，其中，1方向表示軸向，3方向表示橫向。

定義基底層截面系數(shù)，則該壓電懸臂梁在坐標(biāo)處的橫截面積和截面慣性矩分別表示如下：

懸臂梁上的雙晶壓電片隨結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)力作用下做橫向彎曲振動(dòng)，壓電層的動(dòng)應(yīng)變將通過(guò)電極產(chǎn)生交變的輸出電壓，通過(guò)適當(dāng)整流或?yàn)V波即可轉(zhuǎn)換成穩(wěn)定的整流電壓，則壓電本構(gòu)方程可以表示為：

式中為壓電材料在1方向上的應(yīng)力；為壓電材料在1方向上的應(yīng)變；為壓電片的彈性模量；為壓電片壓電常數(shù)；為3方向上的電位移；為壓電片介電常數(shù)；為3方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度。

假設(shè)每片壓電陶瓷片在方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度是均勻分布的，則有：

（3）

式中為采集器輸出電壓。

圖1中壓電梁的物理參數(shù)如表1所示。忽略梁的重力效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，高斯白噪聲激勵(lì)下理論上梁的每一階模態(tài)都能被激勵(lì)出來(lái)，考慮環(huán)境振動(dòng)為低頻振動(dòng)，懸臂梁一階彎曲振動(dòng)模態(tài)占主導(dǎo)作用，高階模態(tài)通常影響較小［6］，因此本文只考慮梁的一階模態(tài)振動(dòng)。

在高斯白噪聲激勵(lì)下，壓電梁基底層的動(dòng)能可表示為：

壓電陶瓷片的動(dòng)能可表示為：

式中 上標(biāo)“”表示對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)；和分別為變截面梁和壓電片的密度；為橫向位移。

基底較長(zhǎng)，懸臂梁的撓度可設(shè)為中等撓度，基底層梁振動(dòng)時(shí)的彎矩為：

式中 上標(biāo)“ ' ”表示對(duì)求偏導(dǎo)；為變截面梁的彈性模量。

基底層梁的彎曲勢(shì)能為：

將式（6）代入式（7）中，略去高階小量，可得：

壓電片較短，且位于懸臂梁的根部，變形時(shí)非線性不明顯，由Euler?Bernoulli梁理論，壓電片上任意一點(diǎn)的軸向應(yīng)變可表示為：

壓電片的彈性勢(shì)能可表示為：

式中為第片壓電片的體積。

壓電片產(chǎn)生的電勢(shì)能可表示為：

式中為壓電片的電容。

距離基座s處的壓電懸臂梁橫向位移可表示為：

?（12）

式中為振型函數(shù)；為梁橫向振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)。

運(yùn)用Lagrange方程建立變截面壓電懸臂梁能量采集器的運(yùn)動(dòng)方程，即

考慮廣義耗散力與廣義速度的大小成正比，與速度方向成反比，可以得到：

式中為分布的黏性外阻尼系數(shù)。由于壓電片串聯(lián)連接外部電阻，則有：

將式（4）～（5），（8），（10）～（12），（14）～（15）代入式（13），可得雙晶壓電梁的振動(dòng)微分方程為：

其中：

其中，變截面梁的振型函數(shù)可參考文獻(xiàn)［18］的方法進(jìn)行求解。

2 改進(jìn)隨機(jī)平均法

由于外激是一種特殊的隨機(jī)過(guò)程，無(wú)法給出響應(yīng)的確定性描述，工程中處理這種隨機(jī)問(wèn)題時(shí)一般將激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)系起來(lái)。本文壓電梁基底層變形屬于中等變形，建模時(shí)考慮了彎曲非線性，因此采用改進(jìn)隨機(jī)平均法研究系統(tǒng)在寬帶有界噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)［19］ 。

為方便起見(jiàn)，下文中無(wú)量綱時(shí)間仍寫(xiě)為，假設(shè)式（17）的解為：

（18）

式中，，為隨機(jī)瞬時(shí)等效振幅；為隨機(jī)角頻率；為隨機(jī)相位。

對(duì)式（18）求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得：

將式（18）和（19）代入式（17）中的第二式，可得：

則電壓u可表示為：

將式（21）代入式（17）中的第一式，可得：

式（22）的動(dòng)能為：

式（22）保守力的勢(shì)能為：

則哈密頓函數(shù)為：

將式（18）中和式（19）中的表達(dá)式代入式（25）中，當(dāng)時(shí)，哈密頓函數(shù)為：

當(dāng)時(shí)，哈密頓函數(shù)為：

顯然處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，恒成立，可以解得：

通常情況下，比較系數(shù)和可以發(fā)現(xiàn)，，則式（29）可以簡(jiǎn)化為：

將式（30）代入式（20），通過(guò)泰勒展開(kāi)，忽略高次項(xiàng)，可得電壓的振幅B為：

通過(guò)坐標(biāo)變換，式（22）可變?yōu)椋?/p>

其中：

式（32）中，振幅在半無(wú)限時(shí)間區(qū)間上弱收斂于一個(gè)馬爾可夫擴(kuò)散過(guò)程。該擴(kuò)散過(guò)程受下列伊藤微分方程支配：

（33）

式中為漂移系數(shù)；為擴(kuò)散項(xiàng)；為標(biāo)準(zhǔn)單元布朗運(yùn)動(dòng)，其中：

對(duì)于高斯白噪聲，其強(qiáng)度為，均值為0，互相關(guān)函數(shù)可表示為：

式中表示期望，表示狄拉克函數(shù)。

通過(guò)改進(jìn)隨機(jī)平均法計(jì)算后，振幅過(guò)程滿足獨(dú)立的伊藤微分方程表達(dá)式（33），其中漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)分別表示為：

其中，各系數(shù)分別為：

3 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

關(guān)于伊藤方程式（33），其平均后的FPK方程可以表示為：

式中 常數(shù)為歸一化系數(shù)。

將和的表達(dá)式代入式（39），可得等效振幅的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為：

考慮式（31），可得電壓振幅的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為：

哈密頓能量包線概率密度可表示為：

位移和速度的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度可由哈密頓函數(shù)的穩(wěn)態(tài)概率得：

由式（21）和（43），可得到穩(wěn)態(tài)均方電壓為：

4 變截面壓電梁能量采集隨機(jī)響應(yīng)分析

4.1 高斯白噪聲信號(hào)模擬

理想的白噪聲具有無(wú)限帶寬，現(xiàn)實(shí)中通常將有限帶寬的平整信號(hào)視為白噪聲，因此數(shù)字模擬的白噪聲信號(hào)一般是具有一定截止頻率的限帶白噪聲。本文采用獨(dú)立的單位正態(tài)隨機(jī)序列模擬高斯白噪聲［15］：

式中 D為噪聲強(qiáng)度；為時(shí)間間隔；為n個(gè)符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。圖2為模擬的高斯白噪聲信號(hào)。

4.2 隨機(jī)響應(yīng)分析

采用Euler差分法對(duì)式（17）進(jìn)行求解，噪聲強(qiáng)度D為0.002，時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.01，阻尼比ζ為0.025，外接電阻為1 MΩ，初始位移、速度、電壓均為零，具體參數(shù)如表2所示。通過(guò)計(jì)算得到高斯白噪聲激勵(lì)下變截面壓電能量采集器的相圖和瞬時(shí)功率P的時(shí)間歷程圖，如圖3所示。

從圖3（a），（c），（e）所示的相圖中可以看出，相同噪聲強(qiáng)度激勵(lì)下，β=0.5時(shí)的壓電梁振動(dòng)位移和速度最小，β=0時(shí)的壓電梁次之，β=-0.5時(shí)的壓電梁最大；從圖3（b），（d），（f）所示的瞬時(shí)功率圖中可以看出，β=0.5時(shí)的壓電梁瞬時(shí)功率最大，β=0時(shí)的壓電梁次之，β=-0.5時(shí)的壓電梁最小。

5 變截面壓電梁能量采集穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)特性分析

5.1 變截面與等截面壓電梁振動(dòng)特性與電輸出特性分析

采用隨機(jī)龍格?庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值模擬，選取與上文相同的參數(shù)，分析基底層梁截面系數(shù)β分別為0.5，0，-0.5時(shí)壓電梁的穩(wěn)態(tài)概率密度及均方電壓值。數(shù)值模擬時(shí)，隨機(jī)選取1500組白噪聲信號(hào)，其中每組信號(hào)含有20000個(gè)點(diǎn)，模擬時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.01，對(duì)式（17）進(jìn)行激勵(lì)，選取每組噪聲激勵(lì)后的10000個(gè)點(diǎn)作為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，最后對(duì)這1500×10000個(gè)點(diǎn)進(jìn)行振幅A、位移x、速度y的穩(wěn)態(tài)概率密度統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖4所示。

由圖4（a）可知，壓電梁截面系數(shù)β從0.5到-0.5的變化過(guò)程中，振幅的穩(wěn)態(tài)概率密度圖緩慢向右偏移，均值逐漸增大，其方差也逐漸增大。從而推斷出：變截面壓電梁自由端從窄變寬的過(guò)程中振幅越來(lái)越大。從圖4（b），（c）中可以看出，位移和速度的穩(wěn)態(tài)概率密度圖的均值不變，方差越來(lái)越大，可以推斷出位移和速度的振動(dòng)范圍越來(lái)越寬。本文解析法和隨機(jī)龍格?庫(kù)塔法分析的變截面壓電梁在相同噪聲激勵(lì)下的振動(dòng)規(guī)律與上文中Euler法數(shù)值模擬的相圖結(jié)果相符。

通過(guò)式（43）與隨機(jī)龍格?庫(kù)塔法，本文進(jìn)一步對(duì)β分別為0.5，0，-0.5時(shí)壓電梁的位移和速度的聯(lián)合概率密度進(jìn)行了分析，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，在β從0.5到-0.5的變化過(guò)程中，聯(lián)合概率密度函數(shù)的圖像逐漸變得“矮胖”，表明系統(tǒng)的振幅逐漸增大，而且振動(dòng)范圍也越來(lái)越大，所得的結(jié)論與振幅、位移及速度的穩(wěn)態(tài)概率密度相符。

當(dāng)電阻一定時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出功率與穩(wěn)態(tài)均方電壓成比例，因此通過(guò)分析均方電壓的輸出特性可以有效地預(yù)測(cè)輸出功率。本文采用理論與數(shù)值的方法計(jì)算了截面系數(shù)β分別為0.5，0，-0.5時(shí)壓電梁的穩(wěn)態(tài)均方電壓值，其理論解可由式（44）求得，數(shù)值解可由龍格?庫(kù)塔法求得，結(jié)果如表3所示。

從表3中可以看出，當(dāng)負(fù)載電阻為1 MΩ，噪聲強(qiáng)度為0.002時(shí)，基底層截面系數(shù)β=0.5時(shí)的壓電梁與β=0時(shí)的壓電梁相比，其穩(wěn)態(tài)均方電壓理論值提高了133%；基底層截面系數(shù)β=-0.5時(shí)的壓電梁與β=0時(shí)的壓電梁相比，其穩(wěn)態(tài)均方電壓理論值降低了43%。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是等截面壓電梁振動(dòng)時(shí)彎曲應(yīng)力主要集中在梁的根部，而變截面壓電梁特別是截面系數(shù)β>0的梁彎曲時(shí)各截面的最大正應(yīng)力越來(lái)越接近。穩(wěn)態(tài)均方電壓越高，壓電能量采集器的電輸出特性越好。通過(guò)上述比較發(fā)現(xiàn)：基底層截面系數(shù)β>0時(shí)變截面壓電梁有較好的穩(wěn)態(tài)輸出功率，該預(yù)測(cè)結(jié)果與Euler法數(shù)值模擬的瞬時(shí)功率相符，后文將選取β>0時(shí)的壓電梁進(jìn)行深入研究。

5.2 電阻電容乘積的倒數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)輸出功率的影響

為研究電阻電容乘積的倒數(shù)對(duì)變截面壓電梁穩(wěn)態(tài)輸出功率的影響，本文按照穩(wěn)態(tài)輸出功率與穩(wěn)態(tài)均方電壓成比例的特性，探討了不同截面系數(shù)壓電梁的穩(wěn)態(tài)均方電壓隨電阻電容乘積的倒數(shù)的變化規(guī)律，結(jié)果如圖6所示。

從圖6中可以看出，隨著電阻電容乘積的倒數(shù)λ的增大，截面系數(shù)β≥0時(shí)的壓電梁均方電壓值均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，其中截面系數(shù)β=0，0.5，0.7時(shí)的壓電梁會(huì)隨著電阻電容乘積的倒數(shù)的增大而緩慢下降，而截面系數(shù)β=0.9時(shí)的壓電梁則隨著電阻電容乘積的倒數(shù)的增大而快速下降。

為研究不同截面系數(shù)壓電梁在同一λ值時(shí)的均方電壓輸出特性，本文分析了β>0時(shí)的壓電梁均方電壓的理論值較β=0時(shí)的變化率，結(jié)果如表4所示。

從表4中可以看出，λ=0.2時(shí)，與β=0時(shí)的壓電梁相比，β=0.5時(shí)的壓電梁理論均方電壓值增加了89%，β=0.7時(shí)的壓電梁增加了186%，而β=0.9時(shí)的壓電梁則增加了475%。等截面壓電梁振動(dòng)時(shí)彎曲應(yīng)力主要集中在梁的根部，而隨著截面系數(shù)β的增大，變截面壓電梁的彎曲應(yīng)力會(huì)越來(lái)越均勻，因此梁截面系數(shù)β增大時(shí)，均方輸出電壓也逐漸增大。

5.3 噪聲強(qiáng)度對(duì)穩(wěn)態(tài)輸出功率的影響

為了討論噪聲強(qiáng)度對(duì)穩(wěn)態(tài)輸出功率的影響，本文探討了不同截面系數(shù)壓電梁均方電壓隨噪聲強(qiáng)度的變化規(guī)律，結(jié)果如圖7所示。其中，實(shí)線為解析解，由式（44）求得，虛線為數(shù)值解。

從圖7中可以看出，隨著噪聲強(qiáng)度D的增大，均方電壓均線性增大，且β>0時(shí)的壓電梁均方電壓明顯高于β=0時(shí)的壓電梁。

為研究不同截面系數(shù)壓電梁在同一D值時(shí)的均方電壓輸出特性，本文分析了β>0時(shí)的壓電梁均方電壓的理論值較β=0時(shí)的變化率，結(jié)果如表5所示。

從表5中可以看出，D=0.005時(shí)，與β=0時(shí)的壓電梁相比，β=0.5時(shí)的壓電梁理論均方電壓值增加了71.9%，β=0.7時(shí)的壓電梁增加了145.5%，而β=0.9時(shí)的壓電梁則增加了369%。

6 試驗(yàn)研究

圖8為變截面壓電能量采集器試驗(yàn)裝置。變截面壓電懸臂梁一端緊固在L形夾具上，其基底層（200 mm×20 mm×0.7 mm）采用6061鋁合金制作，在基底層根部上下表面粘結(jié)大小相同、極化相反的壓電陶瓷片（材料為PZT?5，尺寸為38 mm×10 mm×0.2 mm）。在壓電梁的末端距離基底層80 mm處安裝紅外位移傳感器（IL?065），整個(gè)試驗(yàn)裝置通過(guò)亞克力板固定在激振器（APS113）上。

圖9為搭建的變截面壓電梁振動(dòng)能量采集器測(cè)試系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)前，利用式（45）將噪聲強(qiáng)度D設(shè)定為0.004，時(shí)間間隔Δt設(shè)定為0.01，n設(shè)定為1000，采用MATLAB軟件，隨機(jī)生成一組白噪聲信號(hào)輸入到信號(hào)發(fā)生器（Tectronix AFG3102C）中，該信號(hào)經(jīng)功率放大器（APS 125）放大后輸入到激振器中，模擬隨機(jī)振動(dòng)；壓電能量采集器末端的位移信號(hào)經(jīng)紅外傳感器測(cè)量后輸入到示波器（Tectronix DPO2012B）1通道中顯示；能量采集器的輸出電壓輸入到示波器2通道中顯示；加速度傳感器安裝在激振器末端的支座上，用以檢測(cè)激振器的輸出信號(hào)，通過(guò)信號(hào)采集器（DH5927N）采集并顯示。

為比較等截面壓電梁和變截面壓電梁在噪聲激勵(lì)下的振動(dòng)特性與電輸出特性，分別選取截面系數(shù)β為0和0.5的壓電梁進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)實(shí)驗(yàn)，將信號(hào)發(fā)生器的頻率設(shè)定為3 Hz，通過(guò)調(diào)節(jié)功率放大器的電流和電壓旋鈕控制激振器的振動(dòng)幅度，每組實(shí)驗(yàn)通過(guò)觀察加速度信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差以確保激振器振動(dòng)的幅度相同。通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到位移和輸出電壓的時(shí)間歷程圖，如圖10和11所示。

從圖10中可以看出，在同一噪聲強(qiáng)度激勵(lì)下，β=0時(shí)的壓電梁振動(dòng)位移明顯高于β=0.5時(shí)的壓電梁。從圖11中可以看出，β=0時(shí)的壓電梁輸出電壓低于β=0.5時(shí)的壓電梁，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文理論統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)結(jié)果相符。

7 結(jié) 論

本文利用改進(jìn)隨機(jī)平均法分析了噪聲激勵(lì)下變截面壓電梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，通過(guò)理論計(jì)算和數(shù)值模擬得到了如下結(jié)論：

（1）改進(jìn)后的隨機(jī)平均法適用于噪聲激勵(lì)下變截面壓電懸臂梁能量采集器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析。

（2）負(fù)載電阻R為1 MΩ時(shí)，均方電壓值的大小依次為β=0.5，β=0，β=-0.5，結(jié)果表明，截面系數(shù)β>0時(shí)的變截面壓電梁有較好的穩(wěn)態(tài)均方輸出電壓，相對(duì)于等截面梁可顯著提升能量采集效能；β<0時(shí)的采集效能弱于等截面梁。

（3）截面系數(shù)β>0時(shí)，隨著電阻電容乘積的倒數(shù)的增大，變截面壓電梁的均方電壓均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，且β越大，均方電壓下降得越快。當(dāng)λ的值一定時(shí)，隨著β的增大，變截面壓電梁的均方電壓也增大，且均高于等截面壓電梁的均方電壓。

（4）截面系數(shù)β>0時(shí)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，均方電壓線性增大，且變截面壓電梁的均方電壓均高于等截面壓電梁的均方電壓。

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Study on the steady state statistical characteristics of variable-section piezoelectric cantilever energy harvester under Gaussian white noise excitation

Abstract： Environmental vibration is one of the non-periodic and random broadband excitations. It is of great significance to study the characteristics of vibration energy harvesters under environmental vibrations. In this paper， the modified stochastic averaging method is used to solve the following parameters of piezoelectric beam with a variable cross-section： steady-state probability density function of equivalent amplitude， displacement and velocity， joint probability density function of displacement， and velocity and steady-state mean square output voltage. Then the study investigates the energy acquisition efficiency of a piezoelectric beam with a variable cross-section under Gaussian white noise excitation. The results show that when the load resistance reaches a certain value， the variable section piezoelectric beam with a section coefficient β>0 can produce better steady-state mean square output voltage than the constant section piezoelectric beam with β=0； when the section coefficient β>0， with the increase of the reciprocal of the product of resistance and capacitance， the mean square voltage of the variable-section piezoelectric beam shows a gradually decreasing trend. The trend shows the following rules： when the reciprocal value of the resistance and capacitance reaches a certain value， the larger the β value is， the higher the mean square voltage will become； with the increase of the noise intensity， the mean square voltage of the variable-section piezoelectric beams shows a trend of increasing gradually； when the noise intensity reaches a certain value， the larger the β value is， the higher the mean square voltage will become. The research results in this paper can provide a theoretical basis for the design and application of the variable-section piezoelectric cantilever energy harvesting system.

Key words： energy harvester；variable-section piezoelectric cantilever；Gaussian white noise excitation；steady-state probability density；mean square voltage