蔣燕霞

【摘 要】單元復(fù)習(xí)課既是對本單元知識的回顧與整理，更是對本單元知識的練習(xí)與應(yīng)用。新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課，要本著“以學(xué)生的發(fā)展為本”的理念，既要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握回顧整理知識的方法，更要注重引導(dǎo)學(xué)生在具體問題中學(xué)會思考，感悟在解決問題中常用的數(shù)學(xué)思維方法。

【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)課 知識體系 數(shù)學(xué)模型 教學(xué)方法

“長方體和正方體整理與練習(xí)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊第一單元的復(fù)習(xí)課，它承載著對本單元知識的回顧與整理的重要作用。在這節(jié)課之前，學(xué)生對長方體和正方體的特征都有了直觀的認識，已經(jīng)能夠熟記長方體、正方體的表面積公式及體積公式，同時也具備了一定的運用能力。但在課堂反饋和作業(yè)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然會背公式，但缺乏收集有效信息、靈活應(yīng)用信息、綜合解決實際問題的能力。為了進一步實現(xiàn)提高學(xué)生解決實際問題的能力、發(fā)展其空間觀念的目標(biāo)，筆者設(shè)計“長方體和正方體整理與練習(xí)”一課，既引導(dǎo)學(xué)生掌握回顧整理知識的方法，更注重引導(dǎo)學(xué)生在具體問題中學(xué)會思考，感悟在解決問題中常用的數(shù)學(xué)思維方法。

一、思維導(dǎo)圖——建立知識體系

（課件出示學(xué)生的整理作業(yè)）

師：同學(xué)們，這一單元我們學(xué)習(xí)了“長方體和正方體”，課前老師布置大家用思維導(dǎo)圖進行整理，讓我們一起來看看幾個同學(xué)制作的思維導(dǎo)圖，想一想，大家是圍繞哪些方面整理的？

生1：通過整理，我們找到了長方體和正方體的相同點—8個頂點，12條棱，6個面，還找到了它們的區(qū)別—正方體是特殊的長方體。

師：非常好，你不僅關(guān)注到了長方體和正方體的特征，還關(guān)注到了正方體和長方體的關(guān)系。為什么正方體是特殊的長方體，你能說說理由嗎？

生1：因為正方體和長方體一樣，都有12條棱，但是它們長度都相等，正方體的6個面還是完全相同的正方形。

生2：因為正方體的6個面是完全相同的正方形，所以計算正方體的表面積，只要先算1個面的面積，再乘6個面就可以了。

師：是的，正方體的每條棱都相等。

生3：我們還整理了正方體的展開圖。有“1-4-1”型，有“2-3-1”型，還有“2-2-2”型和“3-3”型。

生4：我認為可以把“田”字型也整理進去，提醒同學(xué)們這樣的圖是不存在的。

師：你的提議不錯，我們可以從正例和反例兩個角度來明確正方體展開圖的特征。

生5：我們還可以整理怎么計算長方體、正方體的棱長之和，計算它們的表面積和體積。

生6：這個單元學(xué)習(xí)長方體和正方體的知識，既有長度的計算，又有面積、體積的計算，所以我從大到小整理了長度單位、面積單位、體積單位和容積單位的進率。

師：你們思考得真全面呀，關(guān)注到了解決問題的細節(jié)。

【分析】整理知識是單元整理和復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)，這一單元關(guān)于長方體和正方體的知識點較多，如果在課上一一展示整理的過程，把知識點一一再現(xiàn)，會占用太多課堂上的時間，因此筆者把“回顧與梳理”設(shè)置為本節(jié)課的前置性作業(yè)，讓學(xué)生通過整理摘錄、思維導(dǎo)圖等形式主動梳理概念、公式和推導(dǎo)過程，讓學(xué)生主動構(gòu)建特征與計算公式之間的聯(lián)系，使學(xué)生原有的知識連成片，形成一個清晰的知識框架，建立知識體系。這樣，有利于他們解決問題時信息的提取與運用。同時，讓學(xué)生評價自己和同學(xué)的作業(yè)，促使他們自我反思、互相學(xué)習(xí)，為以后整理復(fù)習(xí)積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

二、變式練習(xí)——構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模型

出示題目：

有一個長45厘米、寬40厘米、高30厘米的長方體容器，里面裝有10厘米高的水，如果要把這個容器換一個方向，使原來的左面變成底面，這時容器中水高多少厘米？

師：請同學(xué)們讀一讀，在這個實際問題中，什么變了，什么不變？

生1：容器的底面積變了，原來是45×40=1800（平方厘米），現(xiàn)在是40×30=1200（平方厘米）。但是水的體積沒有變。

師：很好，雖然容器擺放的方向換了，但是水的體積不變。同學(xué)們一下子就找到了解決這個問題的關(guān)鍵點，就是這個問題中的“變”和“不變”。如何解決這個問題呢？

生2：可以先求出水的體積，即45×40×10=18000（立方厘米），再除以左面的面積，也就是現(xiàn)在的底面面積，所以現(xiàn)在的水高度是18000÷（40×30）=15（厘米）。

生3：我們還可以列方程解決，設(shè)現(xiàn)在的水高度是X厘米，那么根據(jù)水的體積不變，根據(jù)水的體積和水的高以及底面積的關(guān)系，可以列出方程40×30X=45×40×10，求出水的體積。

生4：老師，我的方法跟他不太一樣。水的高度是10厘米，長方體容器的高是30厘米，那說明水的高度是長方體高的1/3，水的體積也是長方體體積的1/3。即使換個方向放，水的體積還是長方體體積的1/3，水的高度也是長方體高的1/3。這時長方體的高是45厘米，所以水高15厘米。

師：非常好，剛才同學(xué)們從不同角度求出了這時容器中水的高度。如果還是平放，在里面放一根長20厘米、寬10厘米、高30厘米的鋼塊，鋼塊完全接觸底面。水不溢出，這時水面高度多少呢？想一想，這時什么變了，什么不變？

生5：“鋼塊完全接觸底面”，從中可以知道底面積變了，放鋼塊的地方就不能有水了，也就是底面積要減少20×10，所以水的底面積應(yīng)該是45×40-20×10=1600。水沒有溢出，說明水沒有減少，也沒再往里面放水，說明水的體積沒有變。

師：說得真棒，一下子就找到了核心點。大家都聽明白了嗎？怎樣解題呢？

生：18000÷1600=11.25（厘米）。

挑戰(zhàn)3：一個長、寬、高分別是25厘米、16厘米、20厘米的長方體容器，將原來長方體容器中的水緩緩倒入這個容器，最終保持水面同樣高，這時水的高度多少厘米？

生：這道題其實跟前面的題目是一樣的，水的體積也是不變的，只是相當(dāng)于把長方體的底面積擴大了，多了25×16=400（平方厘米）。

生：是的，還可以設(shè)想兩個長方體中水的高度都是X厘米，兩個長方體里的水的體積合起來就是18000厘米，列方程也很容易解決的。

【分析】長方體和正方體的實際問題是千變?nèi)f化的，學(xué)生經(jīng)常見到問題，卻理不清解題思路。比如從問題中知道了什么信息，要求什么，哪些信息發(fā)生了變化，哪些信息沒有變化。針對這樣的現(xiàn)象，筆者結(jié)合現(xiàn)實問題，緊扣“什么變了，什么不變？”引導(dǎo)學(xué)生圍繞這個點展開思考。這里分兩個層次：第一個層次是基礎(chǔ)的立體圖形變了，棱長總和不變；立體圖形變了，但是體積不變。第二個層次是討論“水的高度”，在學(xué)生遷移前面經(jīng)驗設(shè)計情境問題，引導(dǎo)學(xué)生理解水的體積、容器底面積、水的高度之間關(guān)系是不變的，讓更多學(xué)生學(xué)會利用這種關(guān)系解決這類問題，從而構(gòu)建解決同類問題的思維模型。這樣設(shè)計復(fù)習(xí)題，能促使學(xué)生在變化中抓不變，促進學(xué)生遷移應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，形成高效的復(fù)習(xí)。

三、多元解答——豐富數(shù)學(xué)方法

出示題目：

如果要給下面立體圖形露在外面的部分刷上油漆，涂油漆的部分面積是多少平方厘米？

師：同學(xué)們，請仔細觀察這個立體圖形，哪些面要刷油漆，刷油漆的面積可以怎么求？

生1：題目中說露在外面的面要刷油漆，說明正方體和長方體接觸的部分是不要刷油漆的，還有長方體的底面也是不用刷油漆的。所以正方體要算五個面的面積，長方體算前后左右面和上面扣掉正方體底面的部分。

師：你想得非常清楚，那正方體的棱長是多少呢？圖中并未告訴我們。

生1：根據(jù)圖我們能看出長方體的寬和正方體的棱長相等，是12厘米。

師：很好，信息都采集到了，那我們可以來計算涂油漆的面積了。誰來說說怎么解決？

生2：我先算正方體的面積——12×12×5=720（平方厘米），再算長方體的面積——（25×6+12×6）×2+25×12-12×12=600（平方厘米），720+600=1320（平方厘米）。

師：哪些同學(xué)也是這樣算的？能說說為什么要減12×12嗎？

生3：12×12指的是長方體和正方體接觸的部分，所以要減掉。

師：原來兩個立體圖形接觸的地方對于正方體來說不需要涂油漆，對于長方體來說也不需要涂，所以要減去。

生4：老師，我們還可以把正方體向右邊移一移，這樣就可以看出長方體上面需要涂油漆的部分是一個小長方形，它的長是25-12=13（厘米），寬是12厘米，面積是（25-12）×12=156（平方厘米）。長方體上需要涂油漆的面積就是（25×6+12×6）×2+156=600（平方厘米），再加正方體的五個面的面積，合起來就是1320平方厘米。

生5：我還有一個想法，在（25×6+12×6）×2+156這個算式里，其中（25×6+12×6）×2算的是長方體的側(cè)面積，剛才我們練習(xí)時提到可以用底面周長×高算側(cè)面積的，所以還可以先算底面周長（25+12）×2=74（厘米），再用74×6=444（平方厘米）求出長方體的側(cè)面積，最后加上長方體上面涂色的156平方厘米和正方體的720平方厘米。

師：學(xué)以致用，用底面周長×高也可以求側(cè)面積。

生6：剛才我們把長正方體向右平移，把原來長方體上面兩個小的部分平移到一起，轉(zhuǎn)化成了一個長13厘米、寬12厘米的長方形來算面積。我也想平移，我想把長方體上面涂色的部分平移到和正方體上面在同一個面上，就又可以轉(zhuǎn)化成一個長25厘米、寬12厘米的長方形了。所以此時正方體中部分只要算四個面12×12×4=576（平方厘米），長方體中就算五個面是744平方厘米，涂油漆的總面積就是1320平方厘米。

師：你真會思考，通過平移，把原來零碎的部分轉(zhuǎn)化成了一個完整的長方體的上面。

【分析】復(fù)習(xí)課上的拓展應(yīng)用是必不可少的，練習(xí)則是鞏固知識、發(fā)展能力、訓(xùn)練思維的重要途徑。但是小學(xué)生的思維比較單一、狹隘。遇到問題時，他們只會朝著同一方向思考，或者用一種方法解決了問題，絕對不會再用其他方法去嘗試解決驗證。在這一環(huán)節(jié)中，教師給予了學(xué)生很多思考的時間和空間，讓學(xué)生多角度地體會和表達，能有效地幫助學(xué)生更加清晰地梳理立體圖形的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，學(xué)會更加合理地轉(zhuǎn)化信息，靈活地解決問題。通過靈活地解答問題，不同層次的學(xué)生可以選擇不同的方法進行不同的思考，獲得新的發(fā)現(xiàn)，得到新的發(fā)展。