朱婉

[摘要]建模思想是促使學生建立良好數(shù)學思維體系的基礎(chǔ)，學生通過對數(shù)學模型的探索、觀察與思考，體悟數(shù)學的變化規(guī)律，為知識的靈活應(yīng)用服務(wù)．在概念教學中滲透建模思想，可有效提升學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)．文章以“橢圓及其標準方程”的教學為例，分別從“借助情境，引入概念”“問題引領(lǐng)，構(gòu)建方程”“分析模型，提煉思維”“應(yīng)用模型，拓展延伸”四個方面展開研究．

[關(guān)鍵詞]建模思想；概念教學；橢圓

數(shù)學建模是指基于實際問題．將知識、信息技術(shù)、模型等深度融合的過程．建模課程以激趣啟思、培養(yǎng)“四能”為目標．建模思想在建模過程中得以完善與發(fā)展，在概念教學中，如何培養(yǎng)學生的建模思想呢？此為新課標視域下值得深入探索的話題，本文以“橢圓及其標準方程”的教學為例，具體談?wù)勅绾螌⒊橄蟮母拍钷D(zhuǎn)化為基本模型，幫助學生實現(xiàn)數(shù)學建模的同時提升建模思想．發(fā)展核心素養(yǎng)．

教學過程簡錄

1．借助情境，引入概念

情境1借助多媒體展示生活中的橢圓形物品．如圖1所示，促使學生提煉它們的共性特征——橢圓形．

情境2 設(shè)計折紙活動，過程如下：①準備一張圓形卡紙．命名為⊙F1，圓內(nèi)任取一個定點F2（非圓心），圓上任取點P1；②對折⊙F1，確保點F2與點P1重疊，展開后用鉛筆輕描折痕；③連接F1P1與折痕交于點M1；④在圓上取更多的點．不斷重復(fù)以上步驟．獲得大量的點M2，M3，M4，…；⑤分析點列M1，M2，M3，M4，…所構(gòu)成的圖形形狀．

如圖2所示，借助幾何畫板展示以上折紙活動過程，讓學生在實操的基礎(chǔ)上觀察動畫演示．明確“取點作圖”時．若提取的點越多．則所獲得的圖形越精確．隨著實際操作與動畫演示．學生對曲線有了初步認識，此過程為“用點的軌跡定義曲線”奠定了基礎(chǔ)．同時，幾何畫板的介入令學生對橢圓這個幾何圖形產(chǎn)生了更加形象、深刻的理解.

帶領(lǐng)學生用數(shù)學的眼光與思維來觀察與思考現(xiàn)實世界中的物品，架起了學生對“數(shù)”與“形”進行理解的橋梁，學生在動手觀察中理解橢圓上動點所具備的屬性特征，為思維的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)．信息技術(shù)手段的應(yīng)用，促使學生對點M1與P1之間的規(guī)律特征有了更加直觀的認識．據(jù)此再進一步探索，則能讓學生感知數(shù)學事物“變中不變”的特殊性．

學生通過獨立思考與小組合作學習，初步形成結(jié)論：R=|MF1|+|MF2|（R為⊙F1的半徑，且|F1F1|

設(shè)計意圖 不同情境模式的應(yīng)用．促使學生切身體驗從數(shù)學建模的視域理解橢圓形成的原理．學生在此過程中獲得用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的能力，并在實際操作的過程中學會用數(shù)學的思維與語言思考與表達生活現(xiàn)象，因此．此為激趣啟思的過程．可以提升學生的數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力與數(shù)學建模能力．

2．問題引領(lǐng)．構(gòu)建方程

眾所周知．數(shù)學知識間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系．這種聯(lián)系建構(gòu)了完整的數(shù)學知識體系，想要讓學生從真正意義上建構(gòu)新的概念．就要幫助學生厘清知識間的聯(lián)系，探尋解決問題的主要方法和思想．學生首次用代數(shù)式表示橢圓曲線．不論在知識基礎(chǔ)上還是在認知建構(gòu)上均沒有經(jīng)驗．因此需要通過適當?shù)膯栴}與科學的建?；顒右l(fā)學生思考．增強學生的“四能”，實施具體教學活動時，教師可設(shè)計如下幾個問題啟發(fā)學生的思維.

問題1 將活動過程中由點列M1，M2，M3，…所構(gòu)成的橢圓剪下，橢圓所具備的基本性質(zhì)有哪些？

問題2 之前學過的圓與本節(jié)課所探索的橢圓之間存在怎樣的關(guān)系？

問題3 回顧圓方程的推導過程，從建系獲得圓方程的角度去闡述．

問題4 通過以上探索．大家對橢圓的“形”已經(jīng)有了明確的認識，若想從“數(shù)”的維度來刻畫橢圓．該采取怎樣的措施呢？

為了讓學生從根本上解決以上幾個問題．教師先帶領(lǐng)學生回顧以圓的兩條相互垂直的對稱軸作為坐標軸建立圓方程的過程．而后帶領(lǐng)學生以小組合作學習的方式建立直角坐標系并投影展示建系的方法，在過程中借助坐標法抽象橢圓的方程（見圖3）．

學生針對所展示的不同建系法展開分析與思考．體會建系的思維特點，同時感知數(shù)學的對稱美．領(lǐng)悟數(shù)學獨有的魅力．隨著合作探索與交流的推進，學生積極開動腦筋、動手操作、語言表述，獲得了解決以上幾個問題的辦法．從根本上理解了問題的本質(zhì)．對求曲線方程的模型與步驟產(chǎn)生了深刻認識．

隨著平面直角坐標系的建立與展示．學生在教師的點撥下用數(shù)學語言描述橢圓概念中所蘊含的幾何條件，具體為：如果點F1，F(xiàn)2為處于橫軸上的定點，并滿足|F1F2|=2c，那么能獲得與定點F1，F(xiàn)2的距離之和為2a（2a>2c）的動點P的軌跡方程.

化簡、根號下（x+c）2+y2+根號下（x-c）2++y2=2a的過程令不少學生感到畏懼．為了幫助學生克服思維障礙．教師可帶領(lǐng)學生從如下三個角度化簡方程：①最常規(guī)的是將等號兩側(cè)同時平方．顯然這是一種煩瑣冗長的方法．難度系數(shù)大，錯誤率高；②從根式下代數(shù)式的相似點出發(fā)，思考化簡方程的方法；③借助“移項”解決問題，如將方程轉(zhuǎn)化成2a-根號下（x-c）2+y2=根號下（x+c）2+y2后再平方消項．讓學生從方程的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)探索更加便捷的化簡方法．此處，化簡易得a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2），將b2引進來，當焦點F1，F(xiàn)2處于橫軸上時，橢圓的標準方程為x2/a2+y2/b2=1．此過程能有效發(fā)展學生的學習能力．

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)中的第一個問題意在讓學生從直觀的折疊活動中體會橢圓具有對稱性的特征．對對稱軸形成初步感知；第二個問題意在引導學生用類比思想探索圓與橢圓之間的異同點；后面兩個問題促使學生自主構(gòu)建橢圓的標準方程，并提煉模型思想．為發(fā)展核心素養(yǎng)夯實基礎(chǔ)．

3．分析模型．提煉思維

學習本身就是一個不斷產(chǎn)生疑惑、建立模型、答疑解惑與反思提升的過程，在探索橢圓的標準方程的過程中．一些學生產(chǎn)生了這樣一個疑惑：b2的引入是不是有點牽強？

教師可從數(shù)形結(jié)合的角度來釋疑，引導學生從圖中分別找到線段a，c，根號下a2-c2，基于橢圓的幾何特征探尋它們的幾何意義．完成后分析如下問題：若橢圓的兩個焦點坐標分別為（0，-c），（0，c），即位于縱軸上，a，b的意義不發(fā)生變化．寫出此時橢圓的方程.

如此設(shè)計意在引導學生通過建模來體會從多維度分析問題的方法，以推進數(shù)學邏輯推理能力以及數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展．在教師的點撥下．學生自主驗算推導．教師將學生的結(jié)論進行投影展示．并鼓勵學生合作交流與總結(jié)．學生得到的結(jié)論主要有：①關(guān)于橢圓的標準方程，遵循等號左側(cè)為兩分式的平方和．等號右側(cè)為1的格式；②方程中的參數(shù)關(guān)系為a2=b2+c2；③三個參數(shù)的具體值可通過標準方程獲得；④橢圓的焦點處于哪條坐標軸上，取決于標準方程中x2，y2的分母的大小．

綜上來看．本節(jié)課探索橢圓的標準方程．是在學生原有認知體系中的用坐標法探索直線和圓的方程的基礎(chǔ)上進行的．在類比思想與數(shù)形結(jié)合思想的輔助下．學生不僅自主探索出了橢圓的標準方程．還為后續(xù)探索橢圓的性質(zhì)以及拋物線和雙曲線等問題夯實了方法基礎(chǔ)．通過類比方法，學生自主提煉出了用代數(shù)法與幾何法研究平面幾何問題所遵循的流程.

設(shè)計意圖結(jié)合學生的認知發(fā)展規(guī)律，帶領(lǐng)學生從“實驗、猜想、推導”三個環(huán)節(jié)感知并建構(gòu)數(shù)學模型，促使學生學會從生活實際出發(fā)．通過操作活動等搭建模型，揭露幾何代數(shù)化的形成與發(fā)展過程．學生在探索過程中，有意識地用自身已有的認知經(jīng)驗與思想方法去分析與解決問題，此為提升建模能力的關(guān)鍵，也是將數(shù)學建?；顒訚B透課堂．發(fā)展建模思想的重要途徑．

4．應(yīng)用模型，拓展延伸

例題 如果F1（4，0），F(xiàn)2（-4，0）為某個橢圓的焦點．P為該橢圓上的一點，且點P與點F1，F(xiàn)2的距離之和為10，寫出該橢圓的標準方程.

變式題1：如果該橢圓恰好經(jīng)過點（2，4/5、根號下5），那么其標準方程是什么？

變式題2.若明確△ABC的周長為16，A為動點，B，C為固定點，且滿足|BC|=6，則滿足該條件的點A的活動軌跡方程是什么？

隨著合作探究活動的開展．學生經(jīng)過交流與思考，提出分別應(yīng)用待定系數(shù)法與定義法來分析并解決問題.

設(shè)計意圖 從本質(zhì)上來說．解決以上問題的過程屬于模型應(yīng)用的過程．建模所經(jīng)歷的是創(chuàng)造性的流程．一般遵循“情境創(chuàng)設(shè)”“建模”“提煉研究方法”與“模型應(yīng)用”四個環(huán)節(jié)．設(shè)計上述兩道經(jīng)典變式題．一方面促使學生自主應(yīng)用本節(jié)課所構(gòu)建的模型來解決實際問題，另一方面培育學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，讓學生在解題過程中不斷完善知識體系，熟知模型思想，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學思維.

幾點感悟

1．概念育人是促進學生建模思想發(fā)展的關(guān)鍵

概念是數(shù)學的基礎(chǔ)，也是思維發(fā)展的起點．關(guān)注概念形成與發(fā)展的過程不僅能增強學生對概念本身的理解，還能進一步凸顯概念的育人價值，讓學生通過各種探索手段感知數(shù)學與生活的聯(lián)系，體會數(shù)學學科獨有的內(nèi)涵與魅力．這對促進學生人格品質(zhì)的發(fā)展具有重要意義，如課堂伊始的生活物品的展示以及折紙活動的開展等．不僅幫助學生建立了橢圓與方程的概念，還幫助學生提升了數(shù)學研究精神，陶冶了數(shù)學情操．為培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)．

2．關(guān)注建模過程是發(fā)展學生建模思想的基礎(chǔ)

從建模本身來說．它屬于創(chuàng)造性的腦力活動，在教學中．教師帶領(lǐng)學生亦步亦趨地感知每一個環(huán)節(jié)，體會建模的完整性．這是發(fā)展建模思想的基礎(chǔ)，如本節(jié)課．在教師的引領(lǐng)下．學生親歷生活與操作情境．不僅獲得了良好的“三會”能力，還有效提升了“四能”，這些都是建模過程不可或缺的一部分，又是培育建模思想的必經(jīng)之路．

總之．從生活實際出發(fā)抽象數(shù)學模型．發(fā)展模型思想是高中數(shù)學教學的重要任務(wù)之一．也是培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑，借助課堂揭露數(shù)學模型為知識與應(yīng)用的紐帶．可不斷提升學生的建模意識．發(fā)展學生的模型思想，進一步凸顯數(shù)學建模的價值與意義．