錢后義

摘要：七年級的綜合題中有一類“數(shù)軸上雙動點”問題，更適合在七年級上學(xué)期期末階段的復(fù)習選用，而不太適合在有理數(shù)或整式加減這兩章就急于選、練、講.這類“數(shù)軸上雙動點”綜合題的解題關(guān)鍵是“數(shù)形結(jié)合”，將動點所對應(yīng)的“數(shù)”（用含未知數(shù)的字母）表示出來，然后抓住運動中的等量關(guān)系列出方程求解.

關(guān)鍵詞：貼近主線；聚焦目標；單元復(fù)習課；數(shù)軸雙動點習題

最近，學(xué)校教導(dǎo)處組織工作三年之內(nèi)的年輕教師上匯報課，筆者有機會參加聽課、評課活動.教學(xué)內(nèi)容是七年級上學(xué)期有理數(shù)和整式加減兩章的復(fù)習.老師們精心備課、精彩展示，看得出年輕教師努力上進的專業(yè)追求．當然，教學(xué)是遺憾的藝術(shù)，其中有一位教師在復(fù)習課的學(xué)案上選編了一道數(shù)軸上的雙動點綜合題，雖然也有少數(shù)學(xué)生在課堂上能挑戰(zhàn)成功，并與全班講解分享，但這道習題的講評并沒有突出數(shù)軸的本質(zhì)，解法也只是重復(fù)了小學(xué)階段行程問題的思路，不夠貼近本課復(fù)習目標．本文中先概述筆者的觀課與隨感，然后給出單元復(fù)習課選題的建議和教學(xué)思考，供討論．

1 數(shù)軸上雙動點習題講評及聽課隨感

習題 如圖1，在數(shù)軸上有C，D兩點，它們分別對應(yīng)著數(shù)－10，5．現(xiàn)有一只電子螞蟻H從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸負方向向左運動，同時另一只電子螞蟻Q從點D出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸負方向向左運動．

（1）設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點E處相遇，求點E對應(yīng)的數(shù)；

（2）經(jīng)過多少秒，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距9個單位長度，并求此時電子螞蟻Q在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)．

學(xué)生獨立練習5 min左右，教師挑選了一個學(xué)生的解題過程進行投影，并安排學(xué)生Z上臺講解：

第（1）問，兩只電子螞蟻的初始距離即C，D兩點間的距離是5+10＝15個單位長度，兩只電子螞蟻在15÷（4-1）＝5秒后相遇．所以點E對應(yīng)的數(shù)是5－4×5＝－15.

第（2）問，當兩只電子螞蟻未相遇時相距9個單位長度，它們的相遇時間為（15－9）÷（1+4）＝1.2秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數(shù)為：5－1.2×4＝0.2.

當兩只電子螞蟻相遇后相距9個單位長度時，它們的相遇時間為（15+9）÷（1+4）＝4.8秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數(shù)為：5－4.8×4＝－14.2．

老師聽了之后連連搖頭說：“第（2）問的解答不正確，

你把動點問題淺顯地看作行程問題來解，十分容易出現(xiàn)把公式套用錯誤的情況，比如你就把追及問題當作相遇問題，兩點相向而行來思考，大錯特錯了！”

于是學(xué)生Z重新畫圖分析后，修正第（2）問的答案如下：

如圖2，當兩只電子螞蟻未相遇時相距9個單位長度，它們的相遇時間為（15－9）÷（4－1）＝2秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數(shù)為：5－2×4＝－3.

如圖3，當兩只電子螞蟻相遇后相距9個單位長度時，它們的相遇時間為（15+9）÷（4－1）＝8秒，這時電子螞蟻Q所在點表示的數(shù)為：5－8×4＝－27．

聽課隨感：近年來，這類動點問題在七年級上學(xué)期比較“流行”，且不論這些流行的“人為編造”的數(shù)學(xué)習題是否“有趣”或“無趣”．觀課中可發(fā)現(xiàn)學(xué)生Z在小學(xué)階段已深刻理解行程問題，當動點問題“生長在”數(shù)軸上，他能迅速轉(zhuǎn)化為小學(xué)階段就很熟悉的行程問題，不必管數(shù)軸的“包裝”，排除干擾，善于轉(zhuǎn)化，精選工具（算術(shù)），快速解決．遺憾的是看錯行程問題的類型，導(dǎo)致錯誤，隨后教師點評并啟發(fā)“以形助數(shù)”，在圖形直觀啟示之下，解題步驟展現(xiàn)出“讓思維可見”的“好的表達”！

對于執(zhí)教老師的課堂表現(xiàn)來說，也顯得教法相對“單一”，比如從上文觀課記錄可以看出，該教師與學(xué)生Z的對話基本上是“一對一”的，忽略了其他同學(xué)的課堂參與．如果教師在學(xué)生Z出錯后，能圍繞這個錯誤、化用這個“錯誤資源”，組織全班同學(xué)討論、糾錯并究錯，則會是一次更有價值的“化錯教學(xué)”（小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍老師積極倡導(dǎo)）．

本質(zhì)上說，上述方法仍然是小學(xué)階段就已經(jīng)（或應(yīng)該）訓(xùn)練了的，還沒有顯示出數(shù)軸作為“數(shù)形結(jié)合”重要工具的價值．比如，我們可以設(shè)運動時間為t秒，則點H，Q對應(yīng)的數(shù)分別是－10－t，5－4t．由兩點間的距離公式，可得HQ＝|（－10－t）－（5－4t）|＝9，化簡得|3t－15|＝9，即3t－15＝9或3t－15＝－9，解得t＝8或t＝2．

這種思路能很好地體現(xiàn)了數(shù)軸上的點與所對應(yīng)的數(shù)（含t的式子表示）之間的關(guān)系，然后借用兩點之間的距離公式列出含絕對值的方程，這些知識或解法背后展現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想對于八、九年級的函數(shù)問題，或者坐標系下的求解都是非常有發(fā)展性的．當然，由于學(xué)生才學(xué)到有理數(shù)、整式加減這兩章，上述“好的方法”（更體現(xiàn)數(shù)軸價值）可能涉及到方程的解法，“急于拋出”這種解法有“超進度”之嫌，待整式加減、一元一次方程學(xué)習之后的階段復(fù)習或期末復(fù)習，再適當安排專題講評，或許是更合適的選擇.

2 關(guān)于單元復(fù)習課選題的幾點思考

（1）選題之前要明確單元復(fù)習的目標

單元復(fù)習課的教學(xué)設(shè)計或備課要明確教學(xué)目標，而不只是羅列知識點、選幾道例題和習題就是備課工作．具體來說，圍繞單元復(fù)習課的內(nèi)容，查閱課程標準和教材，然后擬定3～4條復(fù)習目標（復(fù)習課的教學(xué)目標不同于新授課）.比如，數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值這些內(nèi)容在新授課時的教學(xué)目標就要細化處理，而在有理數(shù)單元復(fù)習時，往往只是一句話“理解有理數(shù)及相關(guān)概念”．再如，整式加減中第1課時學(xué)習單項式、多項式及相關(guān)概念時，有很多零碎的知識點，在單元復(fù)習時只能濃縮為“理解整式及相關(guān)概念”，而需將有理數(shù)、整式的運算作為階段復(fù)習或單元復(fù)習的重要目標進行表述．

（2）選題改編要圍繞單元復(fù)習的重點

在明確了復(fù)習課的教學(xué)目標之后，選題就要圍繞教學(xué)目標有序展開，由易到難、漸次展開．以有理數(shù)、整式加減的階段復(fù)習課為例，復(fù)習重點應(yīng)該是有理數(shù)、整式加減的運算，這節(jié)課中選題的重心也要落在運算上.具體來說，例習題的選編要體現(xiàn)在運算上，但并不全部是以前練習過的運算習題的拼湊，反復(fù)練容易形成審美疲勞，也是一種“內(nèi)卷”.教學(xué)中可以將運算訓(xùn)練類習題進行變式改編，比如摘選新授課期間學(xué)生的一些運算錯誤進行展示，安排學(xué)生參與糾錯、究錯［1］，并交流運算心得或分享經(jīng)驗．再如，數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活，針對有理數(shù)、整式加減的復(fù)習重點，還可適當選編生活實際問題，讓學(xué)生運用這一階段所學(xué)習的內(nèi)容、工具、模型來解決問題，突出應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)建模能力的訓(xùn)練．

（3）較難題內(nèi)容效度要聚焦本課主線

復(fù)習課在“后半段”一般都會選編一、兩道較難的例習題，以便讓學(xué)生在問題漸次展開的過程中，由易到難、拾級而上［2］、挑戰(zhàn)自我．這些較難題的選編非?？简灲處焸湔n選題的基本功，很容易出現(xiàn)隨手選編“流行考題”“名校考題”之類的做法，而這些考題往往來源于期末試卷（甚至是中考試卷），其命題人對這些題的命題定位是整個學(xué)期（或初中學(xué)段），這樣選編成單元復(fù)習時這類問題的內(nèi)容效度往往有較大的偏差．比如上文提及的數(shù)軸上的雙動點問題，在有理數(shù)、整式加減之后就匆忙選編訓(xùn)練就不太恰當，因為這類問題“較好的解法”（或者有“初中味道”的方法）需要學(xué)生有扎實的方程、線段和差倍分等知識儲備．又如，學(xué)生在初學(xué)全等三角形之后，有些教師對一些同步教輔書上的習題不加取舍，沒有認真研究教材上新授課期間全等三角形的習題要求，人為拔高全等三角形的練習難度，增加學(xué)生對幾何學(xué)習的畏難情緒．

參考文獻：

［1］華應(yīng)龍．華應(yīng)龍與化錯教學(xué)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

［2］劉東升．問題驅(qū)動漸次展開，開放對話查漏補缺——以勾股定理復(fù)習課為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（18）：6-7，75．