摘 要：針對運(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差和量測頻率對軌道不平順測量精度的影響進(jìn)行研究，結(jié)合GNSS/INS 與NHC的算法建立模型，利用協(xié)方差法進(jìn)行定量分析。仿真實(shí)驗(yàn)表明加入運(yùn)動特征方程提高了軌道不平順的測量精度。運(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差不變時(shí)，隨著頻率的增加，精度提高；頻率不變時(shí)，運(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差越小則軌道測量精度越高；給定適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差可以滿足軌道不平順測量精度的要求?，F(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，證明所提方法的正確性。研究結(jié)論為提高軌道不平順測量精度提供參考。

關(guān)鍵詞：非完整性約束；軌道不平順；GNSS/INS；卡爾曼濾波；標(biāo)準(zhǔn)差

中圖分類號：P 207 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-0562（2024）01-0054-08

0 引言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（global navigation satellitesystems，GNSS）具有全天候、高精度、全球覆蓋等優(yōu)點(diǎn)，在鐵路工程測量、軌道平順性測量/檢測等工程中發(fā)揮了重要作用[1-3]。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertialnavigation system，INS）簡稱慣導(dǎo)，是以牛頓力學(xué)定律為基礎(chǔ)、不依賴外部信號的自主式導(dǎo)航系統(tǒng)，不受外部環(huán)境干擾且具有較高相對測量精度[4-5]。隨著高鐵、城市軌道交通等對軌道平順性測量/檢測效率需求的不斷提高，GNSS 絕對定位與INS 相對測量相結(jié)合的軌道平順性測量技術(shù)已成為鐵路軌道測量/檢測領(lǐng)域的主流發(fā)展方向之一。韓云飛[6]使用雙天線全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）輔助慣導(dǎo)系統(tǒng)得到單軌的方位角和坡度角等數(shù)據(jù)，通過角度測量值擬合軌道線形，從而計(jì)算軌道偏差和軌道不平順等幾何量。陳起金[7]設(shè)計(jì)了GNSS 相對定位輔助INS 的動態(tài)測量軌檢小車，簡稱動態(tài)軌檢小車，相對于傳統(tǒng)“走停式”作業(yè)的靜態(tài)軌檢小車，動態(tài)小車極大地提高了工作效率。在算法設(shè)計(jì)方面，動態(tài)軌檢小車采用非完整性約束（non-holonomic constraints，NHC）來抑制慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差發(fā)散。論文認(rèn)為應(yīng)采用高頻的非完整性約束信息，但并未對非完整性約束的頻率和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行定量的分析[8-9]。周禹昆[10]將運(yùn)動特征方程和里程計(jì)輔助結(jié)合構(gòu)建三維速度約束，減弱誤差發(fā)散，用于軌道平順性測量/檢測。孟凡效[11]將GNSS/INS 組合定位測姿系統(tǒng)用于軌道平順性測量/檢測，其精度與傳統(tǒng)的靜態(tài)軌檢小車相當(dāng)，且提高了作業(yè)效率。ZHU 等[12]探討了運(yùn)動特征方程在鐵路軌道檢測中的應(yīng)用，在衛(wèi)星失鎖區(qū)間采用非完整性約束對位置誤差發(fā)散抑制效果明顯，但對姿態(tài)影響非常有限。

國內(nèi)高速鐵路軌道平順性測量/檢測的精度要求是毫米級，GNSS 動態(tài)相對定位精度、動態(tài)絕對定位精度是厘米級，靜態(tài)絕對定位（例如精密單點(diǎn)定位技術(shù)）可達(dá)毫米級，但對于軌道檢測而言，需要動態(tài)定位才能滿足需求。為使GNSS/INS 組合測量技術(shù)達(dá)到高鐵軌道平順性測量/檢測的精度要求，已有研究一般均考慮軌道測量/檢測設(shè)備緊貼軌道運(yùn)動的特征[2-3，7，13]，包括：軌檢小車的水平橫向速度幾乎為0，即橫向速度vx 為0；軌檢小車垂直于軌面方向的速度幾乎為0，即豎向速度vz 為0。vx為0 的特征是由于軌檢小車受鋼軌約束而不會發(fā)生顯著側(cè)滑；vz 為0 的特征是由于軌檢小車自身重力使其緊挨軌面運(yùn)動而不會發(fā)生跳動。

盡管現(xiàn)有文獻(xiàn)考慮了軌道運(yùn)動特征對GNSS/INS組合測量的輔助作用，但運(yùn)動特征方程vx≈0 和vz≈0以何種頻率融入函數(shù)模型，以及運(yùn)動特征方程對應(yīng)的方差陣應(yīng)如何設(shè)置卻未得到重視和研究。為此，本文構(gòu)建GNSS/INS/NHC 組合模型，進(jìn)行針對性的卡爾曼濾波設(shè)計(jì)，使用仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)分析運(yùn)動特征方程的不同頻率和方差陣對軌道不平順測量精度的影響。

1 GNSS/INS/NHC 組合模型

GNSS/INS 組合卡爾曼濾波的函數(shù)模型為

式中：Xk 為n 維的系統(tǒng)待估狀態(tài)向量；Zk 為m 維的量測向量；Φk/k-1 為k-1 時(shí)刻到k 時(shí)刻的n 階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Гk/k-1 為n×l 階的系統(tǒng)噪聲分配矩陣；Hk 為m×n 階的量測矩陣；Wk-1 為l 維的系統(tǒng)噪聲向量；Vk 為m 維的量測噪聲向量。

1.1 狀態(tài)空間模型

選取東北天軸線定義的當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，記為n 系；載體坐標(biāo)系選取右前上坐標(biāo)系，記為b 系；地心地固系，記為e 系；采用15 維誤差狀態(tài)向量

1.2 量測模型

在組合導(dǎo)航中，除了使用GNSS 數(shù)據(jù)作為外部觀測值外，一些外部輔助條件[15-16]，如非完整性約束、零速校正等也常作為量測信息，用以提高估計(jì)精度、系統(tǒng)的可靠性和可觀性，并減少誤差的累積。

特別是鐵路軌道檢測中，軌道具有平直化、轉(zhuǎn)彎半徑大且坡度小等特點(diǎn)，滿足運(yùn)動特征方程成立的條件。以INS 解算的位置與GNSS 測量的位置之差作為量測信息，構(gòu)造量測方程為

根據(jù)軌檢小車在軌道上檢測時(shí)的運(yùn)動特點(diǎn)，當(dāng)小車正常工作時(shí)不發(fā)生側(cè)滑和跳躍，即滿足運(yùn)動特征方程。b 系為車體的右前上坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于車體的重心位置，Y 軸指向車體的正前方，X 軸指向車體的右方，Z 軸垂直于地面向上，與X 軸、Y 軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。滿足運(yùn)動特征方程情況下，考慮安裝誤差角為小角度，側(cè)向速度和垂向速度為零，可為組合導(dǎo)航系統(tǒng)提供側(cè)向和垂向速度虛擬觀測值，速度向量可以表示為

式中： vbx"、vby"、vbz分別為載體坐標(biāo)系下的X、Y、Z方向的速度，且 vbｘ=0"，vbｚ=0"； ev 表示觀測噪聲。

由INS 機(jī)械編排獲得載體系下速度（桿臂已得到補(bǔ)償）為

式中：v?b為慣導(dǎo)機(jī)械編排的速度向量； Cbn"為指從b系到n系的方向余弦矩陣；vn為n系下的速度向量；上標(biāo)“∧”為該量帶有誤差；（φ×）、（vn×）分別為φ、vn的反對稱陣。

以INS 解算的載體系下的速度與NHC 側(cè)向和垂向速度之差作為量測信息，結(jié)合式（5）、式（6）可得車體的速度量測向量為

式中，下標(biāo)（1，3）表示矩陣的第一、第三行。

結(jié)合式（7）、式（8）可得運(yùn)動特征方程的量測方程為

Z1= H1X +V1， （9）

式中，"V1=（ηｘ η2"）T 為噪聲項(xiàng)。

2 軌道不平順測量精度計(jì)算方法

分析運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差以及其量測頻率對軌道不平順測量/檢測精度的影響。軌道不平順常用的檢測方法主要包括30 m 弦中波不平順檢測法和300 m 弦長波不平順檢測法，仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測實(shí)驗(yàn)均使用30 m 弦檢測法，因此本節(jié)僅以30 m 弦為例介紹軌道不平順檢測方法。

軌道內(nèi)部幾何參數(shù)主要包括：軌距、超高、水平、軌向不平順、高低不平順等。30 m 短波軌道不平順分為軌向不平順和高低不平順[17]，檢測方法以30 m 為弦長，計(jì)算相隔5 m 的點(diǎn)對的實(shí)測正矢差與設(shè)計(jì)正矢差的差值。

圖1 為30 m 弦軌道不平順計(jì)算示意圖，圖中紅色線表示鐵路軌道在空間中實(shí)際位置，藍(lán)色虛線和紫色虛線分別為其在垂面和水平面投影。

以檢測點(diǎn)Ps為例，Ps為軌道上任一點(diǎn)，其到30 m 弦線P0mP30m的垂直距離稱為該點(diǎn)到弦線的矢距，表示為ds。同理，與Ps相距5 m 的Ps＋5m點(diǎn)的矢距表示為ds＋5m。根據(jù)相關(guān)的規(guī)范，則點(diǎn)Ps的軌道不平順可表示為Δs，其在水平面、垂面投影分別為軌向不平順和高低不平順。

定義新坐標(biāo)系b'系，起點(diǎn)位于弦起點(diǎn)，Y 軸與弦線重合指向前進(jìn)方向，X 軸指向弦線右方，Z 軸與X 軸、Y 軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。由組合導(dǎo)航結(jié)果能夠獲得離散軌道點(diǎn)在地心地固坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，經(jīng)轉(zhuǎn)換可得導(dǎo)航系下的坐標(biāo)，而軌向和高低平順性的評估需要在b'系下完成。

如圖2 所示，任取一30 m 弦，分別交軌道曲線于點(diǎn)P0m 和P30m，其在導(dǎo)航系n 系下分別記為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 條件設(shè)置

實(shí)驗(yàn)以附加高斯白噪聲的仿真數(shù)據(jù)為研究對象，探究不同約束條件對軌道不平順性測量精度的影響。為了不失一般性，數(shù)據(jù)仿真時(shí)載體運(yùn)動軌跡設(shè)置為沿著北偏西45°方向的水平直線軌道。載體運(yùn)動狀態(tài)設(shè)置見表1。載體首先靜止10 min 進(jìn)行初始對準(zhǔn)。靜止結(jié)束后，進(jìn)行多次前向加減速來提高方位失準(zhǔn)角的可觀測性，可使組合導(dǎo)航卡爾曼濾波盡快收斂。之后，小車以1 m/s 的速度保持勻速直線運(yùn)行10 000 s，不同運(yùn)動特征方程的頻率和標(biāo)準(zhǔn)差對軌道不平順性測量精度的影響僅在此時(shí)段分析。

文獻(xiàn)[7]中已驗(yàn)證導(dǎo)航級慣性傳感器顧及運(yùn)動特征方程時(shí)，可以滿足軌道不平順性測量精度的各項(xiàng)指標(biāo)。選取導(dǎo)航級的慣導(dǎo)和絕對誤差為厘米級GNSS 參數(shù)作為仿真參數(shù)，主要參數(shù)見表2。

GNSS 水平方向絕對誤差為1 cm（1 σ），高程方向?yàn)? cm（1 σ），GNSS 位置更新頻率為1 Hz。假設(shè)GNSS 天線桿臂已得到補(bǔ)償，即不考慮桿臂誤差。慣導(dǎo)的輸出頻率為200 Hz。

3.1 仿真條件設(shè)置

為了探究運(yùn)動特征方程不同頻率和標(biāo)準(zhǔn)差對軌道不平順性測量精度影響，本文使用雙子樣進(jìn)行解算，非完整性約束頻率最高可達(dá)100 Hz，選取50 Hz 和20 Hz 作為對照；考慮到實(shí)際噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 mm/s～1 cm/s，選取未加約束和較寬松約束10 cm/s 作為對照，設(shè)計(jì)方案如下。

方案1：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標(biāo)準(zhǔn)差均取0.1 mm/s。

方案2：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標(biāo)準(zhǔn)差均取1 mm/s。

方案3：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標(biāo)準(zhǔn)差均取1 cm/s。

方案4：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標(biāo)準(zhǔn)差均取10 cm/s。

方案5：無非完整性約束。

30 m 弦長的軌向和高低不平順值要求不超過2 mm，則其標(biāo)準(zhǔn)差不得超過1 mm。組合導(dǎo)航得出位置誤差后，使用上節(jié)推導(dǎo)的位置誤差與軌道不平順之間的關(guān)系，進(jìn)而得到軌道不平順性測量精度。

5 種方案的軌道不平順性測量精度見表3。

將方案1～方案4 按照軌向不平順測量精度和高低不平順測量精度分別作圖，見圖3、圖4。

根據(jù)表3、圖3 和圖4 可以得到以下結(jié)論。

（1）當(dāng)僅有絕對精度為厘米級GNSS 位置觀測時(shí)，軌向和高低不平順標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.26 mm 和3.61 mm，無法滿足鐵路軌道不平順測量/檢測的精度要求；當(dāng)加入運(yùn)動特征方程后，軌向和高低不平順精度都有不同程度的改善。說明加入運(yùn)動特征方程對提高軌道不平順測量精度作用明顯。

（2）當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差取0.1 mm/s、1 mm/s 時(shí)，均可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求；當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差大于0.1 mm/s，即使量測頻率選取100 Hz，也不能滿足限差。

（3）當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差不變時(shí)，頻率越高精度越高；當(dāng)頻率不變情況下，標(biāo)準(zhǔn)差越小精度越高；且高低不平順精度比軌向不平順精度高。以運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差取1 mm/s 為例，軌向不平順標(biāo)準(zhǔn)差從0.93 mm 提高到0.69 mm，高低不平順標(biāo)準(zhǔn)差從0.65 mm 提高到0.30 mm。取運(yùn)動特征方程的頻率為100 Hz，軌向不平順標(biāo)準(zhǔn)差從0.69 mm 提高到0.60 mm，高低不平順標(biāo)準(zhǔn)差從0.30 mm 提高到0.18 mm?？紤]到高程方向有較少的誤差耦合，因此高低不平順精度較軌向不平順精度高是合理的。

4 實(shí)測實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)測實(shí)驗(yàn)場所開闊無隧道等遮擋，慣導(dǎo)和GNSS 觀測數(shù)據(jù)均無中斷，在軌道上推行大約2 km，觀測條件較好。慣導(dǎo)的輸出頻率為200 Hz，基本參數(shù)見表4。

初始位置通過GNSS 信息獲得，實(shí)驗(yàn)的初始緯度為35.38°，初始經(jīng)度為114.11°。GNSS 的輸出頻率為1 Hz，水平方向位置誤差為1 cm，高程方向位置誤差為2 cm，僅輸出位置信息，不提供速度信息。

為驗(yàn)證NHC 對軌道不平順的輔助作用，圖5展示了考慮NHC 輔助與不考慮NHC 輔助的30 m弦軌向不平順值。

從圖5 中可以看出，無NHC 輔助僅有位置觀測時(shí)，組合導(dǎo)航解算的軌向不平順不能完全滿足軌道檢測的需求；加入NHC 輔助后，軌向不平順有了明顯的改善。

為進(jìn)一步研究運(yùn)動特征方程不同頻率和標(biāo)準(zhǔn)差對軌道不平順性測量精度影響，方案與仿真實(shí)驗(yàn)方案一致。5 種方案的軌道不平順性測量精度結(jié)果見表5。

方案5 軌向和高低不平順標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過允許標(biāo)準(zhǔn)差，以下不再參與對比。將方案1～方案4 按照軌向不平順測量精度和高低不平順測量精度分別作圖，見圖6 和圖7。

根據(jù)表5、圖6 以及圖7 可以得到以下結(jié)論。

（1）當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差取0.1 mm/s，量測頻率取100 Hz 時(shí)，可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求。實(shí)測數(shù)據(jù)中，方案1 中軌向不平順精度結(jié)果比方案2 軌向不平順精度結(jié)果差，這是因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中存在安裝誤差角以及桿臂等其他誤差，側(cè)向和垂向速度噪聲較大，標(biāo)準(zhǔn)差取得越小表示虛擬觀測值噪聲越小，給出錯(cuò)誤的噪聲信息，精度自然會變差；方案1 頻率降低后，結(jié)果有一定改善，也驗(yàn)證了此說法，因此要選取合適的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）與仿真結(jié)果類似，當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差不變時(shí)，頻率越高精度越高；當(dāng)頻率不變情況下，標(biāo)準(zhǔn)差越小精度越高；且高低不平順較軌向不平順精度高。

（3）需給定合理的非完整性約束量測頻率及標(biāo)準(zhǔn)差。

5 結(jié)論

（1）針對鐵路檢測中軌檢小車不易側(cè)滑和上下跳動的運(yùn)動特征，使用仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)探究了運(yùn)動特征方程不同標(biāo)準(zhǔn)差和頻率對軌道不平順測量精度的影響。仿真實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差取0.1 mm/s、1 mm/s 時(shí)，不同頻率均可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求；當(dāng)運(yùn)動特征方程的標(biāo)準(zhǔn)差不變時(shí)，頻率越高精度越高；在頻率不變情況下，標(biāo)準(zhǔn)差越小精度越高。

（2）實(shí)測實(shí)驗(yàn)中側(cè)向和垂向速度并不為0，運(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差取1 mm/s、頻率取100 Hz 時(shí)，才能滿足軌道不平順測量精度的要求。因此，須給定合理的非完整性約束量測頻率及標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）運(yùn)動特征方程標(biāo)準(zhǔn)差的初值，可由未加約束條件的組合導(dǎo)航計(jì)算獲得，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（42074010）