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《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》教學(xué)建議中，強化情境設(shè)計與問題提出，注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng).2023年秋季學(xué)期我縣在“中小學(xué)數(shù)學(xué)三年提質(zhì)行動”一系列活動中，主要開展了“新授”課型的研究.其中，初中學(xué)段一節(jié)研究課對人教版八年級上冊“完全平方公式”進行研討.為了讓活動起到更好的輻射作用，筆者組織了縣域八年級數(shù)學(xué)教師參與課堂教學(xué)設(shè)計的集體備課和課堂展示教研活動，研討后達成共識：在進行初中數(shù)學(xué)教學(xué)時，充分挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機，進一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)將建構(gòu)問題解決、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂實錄分享如下，供參考.

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解完全平方公式的本質(zhì)以及推導(dǎo)過程，并會運用公式進行簡單的計算，了解完全平方公式的幾何背景.

（2）經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究過程，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，理解算理，發(fā)展符號意識和數(shù)感，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；培養(yǎng)邏輯推理能力和有條理的思考和表達能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維和語言思考、表達現(xiàn)實世界，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識.

（3）通過學(xué)習(xí)，體會探究的樂趣，增強合作意識，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美；體驗數(shù)學(xué)活動的探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗與喜悅，樹立學(xué)習(xí)自信心；培養(yǎng)敢于挑戰(zhàn)、勇于探索的精神和善于觀察、大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì).

2 教學(xué)片段及分析

2.1 解決問題需要，自然生長課題

教師：同學(xué)們！一些特殊的整式乘法可以用什么公式？用這個公式需要滿足什么特點？

學(xué)生1：使用平方差公式，需滿足兩數(shù)（式）和與這兩數(shù)（式）差的乘積的特點.

教師：同學(xué)們！你能用平方差公式計算1022，982的值嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生2：計算這兩個數(shù)不能用平方差公式，因為它們不能分成兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的乘積形式，只能分成兩個數(shù)的和或差的平方，說明還有一類特殊的整式乘法不是平方差公式.

教師：那你認為今天應(yīng)該研究什么？

學(xué)生3：研究兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的平方分別等于什么.

教師：很好！說明在整式乘法中還有一類特殊的式子，我們今天就要研究這個公式——“完全平方公式”（教師板書課題）.

教學(xué)說明：通過提出需要利用公式解決的問題，學(xué)生能夠產(chǎn)生求知欲望，體會存在數(shù)學(xué)問題需要新知來解決，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機，使得課堂氣氛寬松活潑.通過引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的簡便方法，引出課題——完全平方公式.

2.2 舊知形成思維，歸納數(shù)學(xué)公式

教師：如何探索、歸納這一類特殊的整式乘法呢？

學(xué)生4：類比平方差公式的探索方法就可以歸納出公式.

教師：請同學(xué)們翻開教材第109頁，完成思考題并計算如下4個多項式的積.

觀察上述四個式子，你能類比平方差公式發(fā)現(xiàn)四個式子的特點嗎？

學(xué)生5：通過計算可以發(fā)現(xiàn)，前兩個式子的左邊是兩數(shù)和的平方，右邊是這兩數(shù)的平方和加它們積的2倍；后兩個式子的左邊是兩數(shù)差的平方，右邊是這兩數(shù)的平方和減去它們積的2倍.

教師：你能類比平方差公式的表示方法，用符號語言描述它們的規(guī)律嗎？

教師：這兩個式子有何相同點與不同點？

學(xué)生7：相同點——左邊都是括號的平方，右邊都是兩數(shù)的平方和，都有它們積的2倍.不同點——前者左邊是兩數(shù)和的平方，右邊是兩數(shù)的平方和加上這兩個數(shù)積的2倍；后者左邊是兩個數(shù)差的平方，右邊是兩數(shù)的平方和減去這兩個數(shù)積的2倍.

教師：你們能用語言文字描述這一規(guī)律嗎？

學(xué)生8：第一個是兩數(shù)和的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上它們積的2倍；第二個是兩數(shù)差的平方等于這兩個數(shù)的平方和減去它們積的2倍.

教師：你們能用一句話描述這一規(guī)律嗎？

學(xué)生9：兩數(shù)（式）的和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)（式）的積的2倍.

教師：很好，這個規(guī)律就是我們今天要學(xué)習(xí)的完全平方公式.但僅通過這四個特殊式子得出的結(jié)論缺乏一般性，要讓它們具有一般性應(yīng)該怎么辦？

學(xué)生10：要把公式從特殊推廣到一般，就要對公式加以證明.

教師：選用什么樣的證明方法？

學(xué)生11：類比平方差公式的推理方法，一是用代數(shù)方法計算證明，二是用幾何圖形面積方法證明.

教師：如何用乘法法則來驗證說明它們是成立的？

學(xué)生12：用多項式乘以多項式的方法

教學(xué)說明：按照學(xué)生認知水平運用“多項式乘以多項式”的運算法則啟發(fā)學(xué)生解決問題，通過觀察、分析式子的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)共同點與不同點，類比平方差公式的學(xué)習(xí)觀察發(fā)現(xiàn)式子特征，根據(jù)認知能力，歸納形成完全平方公式，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為了讓學(xué)生在課堂上積極表達，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言和文字語言描述公式，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，促進學(xué)生思維能力的發(fā)展.

2.3 類比推理方法，深度理解公式

教師：很好，這是用代數(shù)方法來計算證明的，還可以用幾何圖形的面積來說明.下面先看我們生活中這類需要解決的問題：

問題1某學(xué)校原有一塊邊長為a m的正方形操場，在推進優(yōu)質(zhì)均衡教育的過程中，需要增加學(xué)生平均占地面積，將其邊長增加b m擴大操場，如圖1.

圖1中①②③④各部分的面積如何表示？整個大正方形操場的面積呢？

學(xué)生13：①②③④各部分的面積分別為a2，ab，b2，ab；擴大后整個大正方形操場的面積是（a+b）2.

教師：為此可以得到一個什么樣的式子？

學(xué)生14：（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

教師：通過探索你發(fā)現(xiàn)（a+b）2的結(jié)果是什么了吧？

學(xué)生15：這樣就能證明兩數(shù)和的平方——完全平方和公式

教師：很好！這是兩數(shù)和的完全平方公式.兩數(shù)差呢？

問題2某學(xué)校原有一塊邊長為a m的正方形操場，在推進均衡教育的過程中，需要在原操場上劃出圖2中②③④三塊矩形作為其他用途，將其邊長減少b m后縮小了操場，如圖2所示.

圖2中①②③④各部分的面積如何表示？原來大正方形操場面積呢？

學(xué)生16：①②③④各部分操場的面積分別為

教師：若以縮小后操場的面積建立等式，可以得到什么式子？

學(xué)生17：（a-b）2+（a-b）b+b2+（a-b）b=a2，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

教師：通過探索你發(fā)現(xiàn)（a-b）2的結(jié)果了吧？

學(xué)生18：這樣就能證明兩數(shù)差的平方——完全平方差公式

教學(xué)說明：學(xué)生對完全平方公式已經(jīng)有直觀認識，要求學(xué)生從代數(shù)角度推導(dǎo)公式，同時讓學(xué)生辨別公式的易錯點“（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2”，學(xué)習(xí)應(yīng)用中應(yīng)注意糾錯，引導(dǎo)學(xué)生訂正時可以說明原因.細化生活中的操場問題，讓新知與學(xué)生生活中的問題相聯(lián)系，幫助學(xué)生再認識完全平方公式，理解完全平方公式的幾何意義.問題設(shè)計層層遞進，多數(shù)學(xué)生能夠參與并自主探究出公式.

2.4 公式解決問題，內(nèi)化數(shù)學(xué)抽象

教師：你能用完全平方公式計算下列式子嗎？

（1）（5+3m）2；（2）23x-1.5y2.

學(xué)生19：（1）中只要把5看成公式中的a，3m看成公式中的一個整體b，就能應(yīng)用完全平方和公式，即（5+3m）2=52+2×5×3m+（3m）2=9m2+30m+25.

學(xué)生20：（2）中要把23x，1.5y分別看成公式中的a，b，由完全平方差公式，得23x-1.5y2=23x2-2×23x×1.5y+（1.5y）2=49x2-2xy+94y2.

教師：你能總結(jié)利用完全平方公式計算的步驟嗎？

學(xué)生21：首先觀察多項式是否為兩數(shù)（式）的和（差）的平方；若是，就等于前后兩項的平方和與兩數(shù)（式）積的2倍的和（差）.

教學(xué)說明：直接運用完全平方公式解決問題，讓學(xué)生進一步體會公式中a，b的含義及書寫格式的規(guī)范要求.

2.5 回首情境問題，實現(xiàn)承前啟后

教師：剛才我們用完全平方公式解決了特殊多項式的乘法，現(xiàn)在你能簡便計算1022，982的值嗎？

學(xué)生22：把底數(shù)102與98分別用兩個方便計算的數(shù)表示成兩數(shù)和或差的形式就能夠運用完全平方公式來解決，達到簡化計算的效果.

教師：你的想法不錯，這兩個數(shù)選什么更好呢？

學(xué)生23：應(yīng)該選100與2，因為計算方便.

教學(xué)說明：解決了導(dǎo)入新課的情境問題，讓學(xué)生深刻理解完全平方公式，達到承前啟后的目的.感受數(shù)學(xué)來源生活，應(yīng)用于生活，使課堂教學(xué)前后呼應(yīng).

2.6 運用核心素養(yǎng)，拓展認知思維

問題1如果x2+（m+1）xy+25y2是一個完全平方式，求m的值.

問題2已知（x+y）2=18，（x-y）2=6，求x2+y2和xy的值.

問題3分別計算：（a+b）2與（-a-b）2，（a-b）2與（b-a）2，（a-b）2與a2-b2.每組式子是否相等？通過這幾組式子的計算，你有什么體會？是否還有新的發(fā)現(xiàn)？

問題4（1）（a+b+c）2=;

你能設(shè)計幾何圖形解釋問題4中的兩個式子嗎？

教學(xué)說明：根據(jù)教材的題型、題目難度，以及學(xué)情分析情況，設(shè)計新知應(yīng)用題目，由對公式的基本應(yīng)用到靈活應(yīng)用，由單純數(shù)學(xué)練習(xí)到建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題，這樣由淺入深的拓展，既能加深對新知的理解與運用，又為學(xué)生完成課后作業(yè)起很好的引導(dǎo)作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 教學(xué)思考

3.1 立足教材精選學(xué)材，創(chuàng)設(shè)問題解決情境

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有數(shù)學(xué)味，能培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，我們創(chuàng)設(shè)的問題情境沒有遠離數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師在教學(xué)設(shè)計時對所學(xué)數(shù)學(xué)知識有深度思考，理解教材編者意圖，結(jié)合學(xué)生學(xué)情、立足教材構(gòu)建學(xué)材.

3.2 深刻理解數(shù)學(xué)知識，關(guān)注思維自然生長

教學(xué)從“用教材教”轉(zhuǎn)向“用教材學(xué)”.通過問題情境引出需要簡便的算法，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望；利用教材中探究環(huán)節(jié)的四個乘法式子，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其特點，學(xué)生類比平方差公式的探究過程，總結(jié)歸納出完全平方公式；得到公式后，從代數(shù)視角推理了公式，再結(jié)合生活問題的細化，從幾何角度證明公式.學(xué)生運用獲得的素養(yǎng)，實現(xiàn)問題的解決.

3.3 精心建構(gòu)問題解決，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

本節(jié)課對學(xué)生提出的問題都來自于教材，教師通過細化問題，讓學(xué)生在真正理解問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在幾何證明時根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗，將問題細化為學(xué)生原有認知的問題，通過推理、演算、逐步形成公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.問題的設(shè)置有心而無痕，這就需要教師在課前精心設(shè)計，這也是教學(xué)藝術(shù)的較高追求吧.

3.4 聚焦數(shù)學(xué)“三會”內(nèi)涵，發(fā)展創(chuàng)新應(yīng)用意識

從整體入手優(yōu)化整個教學(xué)過程，從數(shù)學(xué)的文字語言和符號語言入手，探究平方差公式與完全平方公式之間的邏輯與關(guān)聯(lián)性.教師準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，將這些關(guān)系梳理清楚，引導(dǎo)學(xué)生建立起系統(tǒng)的知識體系與結(jié)構(gòu).本節(jié)課通過數(shù)學(xué)的眼光觀察，從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成完全平方公式；理解正方形操場改建面積背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價值;思考揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立完全平方公式與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神.語言為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式，它可以簡約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式.