武文鑫

隨著以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新一輪課程改革的啟動，初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷了由“雙基”到“三維”再到“核心素養(yǎng)”的嬗變.作為一線數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，從“做思共生”的教學(xué)理念出發(fā)，構(gòu)建以具象認(rèn)知為基礎(chǔ)，以動作思維為支撐，以操作表象為紐帶，以知行合一為外顯的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新形態(tài).

1 問題的提出

數(shù)學(xué)學(xué)科是一個富有生命力的學(xué)科，而每個學(xué)生都是生動活潑且富有個性的個體，倘若在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師能巧妙設(shè)計動手操作的探究活動，并為學(xué)生的深度觀察、深度思考、深度探究和深度合作留足時空，則可以讓學(xué)生親歷觀察、實(shí)踐、猜想、推理等活動過程，形成做思共生的本然狀態(tài)，進(jìn)而無痕培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

折疊問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為重要的問題，因其涉及的數(shù)學(xué)知識和思想方法極為豐富，所以對學(xué)生的思維發(fā)展起到了十分重要的作用.基于此，在學(xué)生學(xué)習(xí)過特殊四邊形后，筆者深入思考和研究，從整體化視角出發(fā)設(shè)計了“矩形折疊問題”的專題課教學(xué)，以期引導(dǎo)學(xué)生在做中思，在思中做，通過折疊與探索相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)做思共生，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)過程簡析

環(huán)節(jié)1：情境導(dǎo)入，引發(fā)思考.

探究活動1：先回憶并思考矩形的基本要素，再取出事先準(zhǔn)備好的A4紙，試著折出一個面積最大的正方形.（學(xué)生折出圖1.）

追問1：四邊形CDEF必定是正方形嗎？可以具體說明嗎？

追問2：觀察頂點(diǎn)C與折痕DF的位置，有沒有特殊之處？

追問3：根據(jù)矩形的基本要素，你覺得還能如何折疊，也使得折痕或頂點(diǎn)所落位置具有特殊之處呢？請自主嘗試后小組交流想法.

經(jīng)過探索，學(xué)生折出了多種作品，教師整理并展示了具有代表性的作品（圖2～5）.接著，通過有序思考進(jìn)行進(jìn)一步的梳理和歸納，進(jìn)而整理得出圖6.

評析：以實(shí)踐情境導(dǎo)入課堂，引領(lǐng)學(xué)生從復(fù)習(xí)舊知開始，進(jìn)一步通過“做數(shù)學(xué)”的方式開啟探究之旅.就這樣，在活動的引領(lǐng)和追問的啟發(fā)下，學(xué)生興趣盎然，并實(shí)現(xiàn)有效生成，同時幫助學(xué)生養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣.

環(huán)節(jié)2：深度探究，積累經(jīng)驗(yàn).

探究活動2：如圖7，已知矩形ABCD，若沿BE翻折后使得頂點(diǎn)C落于AD邊上的點(diǎn)F處，且AB=6，BC=10，試求出DE的長.

事實(shí)上，此活動是探究活動1的延伸，從而易讓學(xué)生產(chǎn)生熟悉感.這里弱化了動手操作的活動，而是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考和抽象理性審視圖形，目的在于為后續(xù)的深度探究積累經(jīng)驗(yàn).在深入觀察和分析后，學(xué)生不難得出如下結(jié)論：∠C=∠BFE=90°，BC=BF，EC=EF，△ECB≌△EFB，同時發(fā)現(xiàn)去掉重疊△EFB后的矩形余下了2個直角三角形.在Rt△AFB中，有AB=6，BC=BF=10，從而由勾股定理求得AF=8，則DF=AD-AF=10-8=2.而在Rt△DEF中，有EF=EC，DE+EC=6，不妨設(shè)DE=x，則EF=EC=6-x，再由DE2+DF2=EF2，可得x2+22=（6-x）2，求得x=83，則DE的長為83.問題探究到這里，似乎可以結(jié)束了，但探究性學(xué)習(xí)并未停止，學(xué)生在交流結(jié)論后自主自發(fā)地歸納得出了解決本題的關(guān)鍵在于“發(fā)現(xiàn)折疊后余下的兩個直角三角形”，從而提煉得到了一類問題的解決策略，同時也無痕滲透了方程思想和轉(zhuǎn)化思想.

進(jìn)一步地，教師又拋出如下問題：

變式如圖8所示，已知矩形ABCD，若沿EF翻折后使得頂點(diǎn)C落于點(diǎn)A處，且點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，AB=6，BC=10，試求出DE的長.

評析：在活動中深度思考，在變式問題中再一次完整經(jīng)歷解題過程，以提升解題能力，達(dá)到觸類旁通的效果，更重要的是為后續(xù)的問題解決積累經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)3：有效拓展，思維進(jìn)階.

探究活動3：如圖9，已知矩形ABCD，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD和BC上運(yùn)動，AB=6，BC=10，若沿EF翻折△CEF，使得頂點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落于邊AD上，且點(diǎn)C′隨著折痕EF的移動而移動，試求出AC′的取值范圍.

問題1折疊問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于折痕和頂點(diǎn)落下的位置，那么折疊過程中端點(diǎn)F由C向B移動的過程中，AC′的大小發(fā)生了什么變化？折疊過程中端點(diǎn)E由C向D移動的過程中，AC′的大小又發(fā)生了什么變化？

問題2隨著折痕的變化，點(diǎn)C′是否存在特殊位置？請畫出圖形并嘗試解決上述問題.

問題3通過這三個探究活動，你感悟到了什么數(shù)學(xué)思想？在未來的學(xué)習(xí)中，再遇到這類問題，你會如何思考并解決問題？

評析：為了讓想象力較為薄弱的學(xué)生能在較短時間內(nèi)解決問題，教師引導(dǎo)學(xué)生以問題為載體，以動手操作為方式，在“折”的過程中直觀感知圖形的變化，并在進(jìn)一步的思考、探究、討論中感悟圖形變化規(guī)律，從而探尋到解決問題的策略，同時促進(jìn)思維的深化.

環(huán)節(jié)4：自主提問，延展思維.

探究活動4：經(jīng)過上述一系列探究，你能試著模仿提問嗎？學(xué)生在思考后先模仿性地提出了如下問題：“一張A4紙可以折出一個菱形嗎？”“試著求出探究活動2的變式問題中折痕EF的長.”……當(dāng)然，上述問題源于模仿，從而在創(chuàng)新的角度還有所欠缺.此時教師可以進(jìn)一步鼓勵、點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度地思考并在小組合作的方式下嘗試提出高質(zhì)量問題，經(jīng)過一段時間的探討，形成了如下具有探究價值的問題：“如圖8，試求出重疊部分的周長及面積.”

“如圖10，已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，若沿BE翻折△BCE，使得頂點(diǎn)C落于點(diǎn)F處，且折疊后的頂點(diǎn)C落在矩形內(nèi)部，你能求出折痕BE長度的取值范圍嗎？”

評析：通過矩形翻折操作探究活動，學(xué)生逐步了解此類問題，通過教師的引導(dǎo)、鼓勵和激勵，學(xué)生能提出相關(guān)問題，深化了學(xué)生對矩形翻折問題本質(zhì)的理解，更重要的是在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程中培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的問題意識，促進(jìn)學(xué)生思維的深化.

3 反思與感悟

（1）自覺實(shí)踐是實(shí)現(xiàn)做思共生的內(nèi)在活力

實(shí)踐活動的開展并非是學(xué)生“被實(shí)驗(yàn)”，而是學(xué)生自主自發(fā)地產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)需求，從而在動手操作的過程中主動進(jìn)行腦力思考，以實(shí)現(xiàn)做思共生.也就是說，學(xué)生思想上產(chǎn)生的實(shí)踐需求才是激發(fā)學(xué)生深度思考、實(shí)現(xiàn)做思共生的內(nèi)在活力.本課中，學(xué)生的每個動手實(shí)踐都源于思考的需求，他們主動參與到問題的探究中，自主自發(fā)地在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題，以獲得對翻折問題更加深刻的理解和認(rèn)識.

（2）合作交流是深化做思共生的外在助力

合作交流是做思共生的有效紐帶，以活動為平臺，促進(jìn)學(xué)生有效地操作、深入地思考、充分地交流，以“學(xué)做共同體”身份，不斷調(diào)整和修正自身的數(shù)學(xué)思考，從而獲得思維上的深入和視野上的敞亮.本課中，學(xué)生以學(xué)習(xí)主體者的角色將操作和思考展示出來，以便實(shí)施反思和審視，最終在經(jīng)歷“實(shí)踐—思考—互動”的循環(huán)往復(fù)中實(shí)現(xiàn)做思共生.

總之，“做思共生”作為一種新型教學(xué)理念和教學(xué)策略，可以讓做與思相互交融、彼此支撐、實(shí)現(xiàn)相長，無痕培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).