張盛冬 吳小波

數(shù)學源于生活，又服務于生活。學習數(shù)學，學生可以更好地了解并解決生活中的問題。本文從實際生活中的情境入手，引導學生理解平均變化率的概念。

近日，在一次市級教研活動中，筆者有幸執(zhí)教選擇性必修第一冊第5章起始課“平均變化率”一課，學生參與度高，教學效果良好，得到了聽課教師的一致好評。這是“導數(shù)及其應用”的起始課，對導數(shù)概念的形成起著奠基的作用。下面是課堂教學實錄，不當之處，敬請指正。

一、課堂實錄

（一）生活情境引入

［情境1］

師：同學們，這是某市某種病病例從某月1日到20日的數(shù)據(jù)圖，為了便于研究，我們用平滑的曲線連接得到圖1，請問你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：圖象有最大值。

生：圖象有上升有下降。

師：你說得很好，請你具體說說哪里上升，哪里下降。

生：AB、BC上升，CD、DE下降。

師：那么剛剛說的信息，我們數(shù)學上學過嗎？對應數(shù)學課本上的什么知識點？

生：最值、單調(diào)性。（教師邊聽邊記錄在黑板上）

師：大家還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：AB段上升，BC段也是上升，但是變化的快慢不同。

師：很好，大家觀察到變化快慢不同，那么，上升的快慢，反映在圖象上還可以用什么語言描述？

生：平緩、陡峭。

師：這位同學說得非常好。同學們想一想，我們研究過變化的快慢問題嗎？

學生紛紛搖頭。

師：今天我們就來研究這個問題。大家想想看，視覺上的平緩、陡峭在數(shù)學上用什么刻畫呢？

生：我想用斜率，可是斜率是刻畫直線的，而這里是曲線。

師：其他同學的想法呢？

生：是的，我們能否用斜率表示呢？

師：請一位同學把對應的數(shù)學式子說一下，并說說你的理解。

生：KAB=，KBC=，比較明顯地看出錯誤，對應圖象AB段變化慢，BC段變化快。

師：你能用同樣的方法理解其他部分的變化情況嗎？

生：KCD＜0，說明對應CD段是下降的。

師：特別棒，給你點贊！BC段更加陡峭，斜率比AB段要大。也就是說我們斜率的正負刻畫了上升或下降，用數(shù)值絕對值的大小刻畫了變化的快慢，即圖象的陡峭程度。

評析：教師從生活中的例子入手，讓學生自主觀察，并記錄觀察到的信息。學生先觀察到學習過的最值和單調(diào)性等問題，再發(fā)現(xiàn)圖象變化快慢不同，而變化快慢學生并沒有學過，教師借此激發(fā)學生的求知欲，自然地引導學生思考如何刻畫快慢。

［情境2］

現(xiàn)有某市3月和4月某幾天最高氣溫記載（見表1）。

師：觀察表1和圖2（以3月18日作為第一天），你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：氣溫是上升的，而且從3月18日到4月18日上升15.1℃，從4月18日到4月20日上升14.9℃。

生：4月18日到4月20日氣溫上升快。

師：哦，你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

生：雖然兩段上氣溫差值差不多，但是時間相差得多，第一段時間更長，斜率更大，也就是比值更大。

師：很好，氣溫隨時間變化而變化，我們把氣溫差值記做Δy，時間差值記做Δx，你能具體說說嗎？

生8：AB段：=≈0.5，AB段==7.4，后一個的比值更大，說明氣溫變化更快。

師：是的，后一個變化太快，人們在4月20日感嘆：“天氣熱的太快了！”

評析：增加情境2，進一步讓學生直觀體會氣溫變化的快慢，引導學生嘗試用代數(shù)刻畫變化的快慢，從生活情境過渡到數(shù)學情境。

（二）概念自然生成

師：為了更直觀地觀察變化情況，我們可以畫什么圖來表示？

生：函數(shù)圖象。

師：請大家觀察氣溫隨時間變化圖，剛才表中發(fā)現(xiàn)的氣溫變化快的，在圖中對應的是？

生：BC段更加陡峭。

師：氣溫一直上升的，BC段比AB段變化快，氣溫“陡升”。這個比值能反映圖象上每一處的變化情況嗎？

生：不能，因為我們用的數(shù)據(jù)是一段曲線的端點值。

師：可以看做函數(shù)在一個區(qū)間上的比值，不能反映每一處的變化情況，那么可以是？

生：平均變化情況。

師：那你能給刻畫變化快慢的比值起個名字嗎？

生：平均變化率。

學生口述，教師板書平均變化率的定義。

師：很好，我們既從圖中觀察了曲線的變化平緩與陡峭，又通過平均變化率這個比值具體地量化了變化情況，這在數(shù)學上是什么思想？

生：數(shù)形結合。

師：很棒！我們用曲線的端點值精準刻畫了曲線在一個區(qū)間上的平均變化情況，是把曲線的一段近似看成了線段來研究，這是數(shù)學上重要的數(shù)學思想——“以直代曲”。

師：請大家思考平均變化率的幾何意義？

生：直線的斜率。

師：很好！平均變化率的幾何意義就是函數(shù)f（x）圖象上兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））所在直線的斜率。（邊說邊板書）

師：同學們可以舉出反映平均變化率的例子嗎？

生：成績、身高的變化等。

生：一周內(nèi)小草的生長高度和一周內(nèi)大樹的生長高度，它們的平均變化率不同。

師：是啊，同樣的時間小草的生長高度更大，也就是說平均變化率更？

生：更大。

師：這真是一個很好的例子，小草的生命力多么頑強！

評析：學生在教師的引導下，從一開始嘗試使用斜率刻畫曲線變化的快慢，逐漸發(fā)現(xiàn)斜率這個比值很有代表性，正負可以表示變化的方向，數(shù)值的絕對值大小表示變化的快慢，通過情境2進一步確定使用斜率是完全可以的。教師通過啟發(fā)性的語言，從特殊到一般，從具體到抽象，在直線的斜率等舊知識的聯(lián)系下，引導學生自然生成“平均變化率”的概念。平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”。

（三）例題鞏固概念

例1.某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖3所示，試計算該嬰兒從出生到第3個月、6個月到12個月體重的平均變化率（見圖3）。

例2.已知函數(shù)f（x）=3x+1，g（x）=－2x，分別計算在區(qū)間［－3，－1］、［0，5］上f（x）及g（x）的平均變化率。

評析：通過讓學生板演例1，規(guī)范平均變化率解題過程，理解平均變化率的實際意義是刻畫函數(shù)平均變化快慢的模型；通過例2，讓學生發(fā)現(xiàn)平均變化率可正、可負、可0，幾何意義就是斜率。

（四）活動探究升華

已知函數(shù)f（x）=x2，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）［1，3］

（2）［1，2］

（3）［1，1.1］

（4）［1，1.001］

師：我們把曲線上兩點連線的斜率，也稱為曲線的割線的斜率，大家以小組為單位，計算以上區(qū)間上的平均變化率，并對計算結果進行討論。（其間教師多走動，多觀察）

生：我發(fā)現(xiàn)平均變化率越來越小。

生：我發(fā)現(xiàn)平均變化率越來越接近2。

生：我畫了一下函數(shù)f（x）=x2的圖象，發(fā)現(xiàn)割線的位置趨向于一個確定的位置。

師：特別棒，你是怎樣想到畫圖的？

生：我們剛才學習平均變化率時就運用了數(shù)形結合的思想。這個題的計算結果趨向2，2應該是函數(shù)f（x）=x2在x=1處的切線斜率。

生：我覺得區(qū)間需要雙向研究，我又計算了區(qū)間［0.9，1］，［0.99，1］，［0.999，1］上的平均變化率，也發(fā)現(xiàn)從小于2的方向趨向2，2就是切線斜率。

該生發(fā)言完畢，全場報以熱烈的掌聲，教師使用幾何畫板演示。

評析：該探究環(huán)節(jié)也是本節(jié)課的一個亮點。由于筆者執(zhí)教班級的數(shù)學基礎較好，學生對數(shù)學學習有熱情、感興趣，因此，在本節(jié)課中，教學任務一是理解平均變化率的意義，二是通過該探究為下節(jié)課做鋪墊。本環(huán)節(jié)給學生充分思考（該環(huán)節(jié)大約用了15分鐘時間），意在通過探究，初步體會區(qū)間縮小時割線斜率會無限趨向一個常數(shù)，為下節(jié)課學習導數(shù)的概念奠定基礎。

二、課堂總評

“平均變化率”是導數(shù)及其應用的第一節(jié)課，對平均變化率的理解是重點，“平均變化率”概念的生成是難點。在生成概念的過程中，學生不可能準確地說出定義來，本課從生活實例，讓學生通過圖形感受變化，再進一步感受變化的快慢。舊的知識不能刻畫變化快慢問題，學生自然會想到需要學習新的數(shù)學模型，這體現(xiàn)了數(shù)形結合、從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法。學生從生活實際出發(fā)，嘗試生成概念，參與度高，課堂氛圍活躍，體會通過數(shù)學模型刻畫客觀世界的過程，進一步感受數(shù)學思想。

教師應當因材施教，由于執(zhí)教對象基礎相對較好，本節(jié)課不拘泥于僅僅生成概念，而多開展一些探究活動有利于學生間的合作，提高學生的學習興趣，為下節(jié)課奠定了良好的基礎。

（作者單位：南京市第二十九中學）

編輯：陳鮮艷

作者簡介：張盛冬（1983—），女，漢族，江蘇南京人，研究生，副高級職稱，研究方向：高中數(shù)學教學。