張會(huì)敏 楊蘭 章勤瓊

【摘?? 要】數(shù)的運(yùn)算著重于理解算理和掌握算法，數(shù)和運(yùn)算之間具有密切關(guān)聯(lián)。數(shù)的結(jié)構(gòu)和數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上具有一致性，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性對(duì)發(fā)展其運(yùn)算能力具有重要意義?！胺?jǐn)?shù)加減法”單元是小學(xué)階段數(shù)的加減法學(xué)習(xí)的終結(jié)階段，分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)在數(shù)的意義和運(yùn)算本質(zhì)上是一致的?；谶@樣的思考，教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，對(duì)“分?jǐn)?shù)加減法”單元進(jìn)行了整體教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生整體感悟運(yùn)算的一致性。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑；分?jǐn)?shù)加減法；算理理解；運(yùn)算的一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）在“核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵”中指出：“運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題?！保?］數(shù)的運(yùn)算著重于理解算理和掌握算法，數(shù)和運(yùn)算之間具有密切關(guān)聯(lián)。數(shù)的結(jié)構(gòu)和數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上具有一致性，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性對(duì)發(fā)展其運(yùn)算能力具有重要意義。

“分?jǐn)?shù)加減法”是北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)第一單元的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在三年級(jí)下冊(cè)已初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，并掌握了同分母分?jǐn)?shù)的加減法，這對(duì)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法具有重要的遷移作用。本單元內(nèi)容分為三個(gè)部分：首先，學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法，引入轉(zhuǎn)化思想，即利用直觀模型將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，形成基本的分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算能力。其次，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算，將整數(shù)加法運(yùn)算律推廣到分?jǐn)?shù)，提高分?jǐn)?shù)運(yùn)算的合理性和靈活性。最后，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化，這不僅為分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比較提供了方法，也為異分母分?jǐn)?shù)加減法的問(wèn)題提供了一種解決途徑。更重要的是，它從運(yùn)算角度揭示了小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

本單元是小學(xué)階段數(shù)的基本加減法學(xué)習(xí)的終結(jié)階段。學(xué)生的學(xué)習(xí)要承載哪些內(nèi)容上的一致性？整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法之間存在哪些本質(zhì)上的聯(lián)系？下面，筆者將基于學(xué)情分析，對(duì)“分?jǐn)?shù)加減法”單元展開(kāi)整體教學(xué)研究。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元教學(xué)內(nèi)容概述

人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的加法和減法”單元的教學(xué)目標(biāo)主要包括：（1）理解分?jǐn)?shù)加減法的含義和算理，掌握分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，并能正確地計(jì)算出結(jié)果。（2）理解整數(shù)加法運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)加法仍然適用，并會(huì)運(yùn)用這些運(yùn)算律進(jìn)行一些分?jǐn)?shù)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力。（3）能用分?jǐn)?shù)加減法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)加減法”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要包括：（1）經(jīng)歷探索異分母分?jǐn)?shù)加減計(jì)算方法的過(guò)程，理解計(jì)算的道理，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展主動(dòng)探索精神和科學(xué)探索態(tài)度。（2）經(jīng)歷探索把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法的過(guò)程，體驗(yàn)直觀模型與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，發(fā)展動(dòng)手操作能力和抽象思維能力，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力。（3）能正確地進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算和分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，并能結(jié)合不同情境，解決分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，形成獨(dú)立思考的習(xí)慣。

通過(guò)對(duì)比分析，兩個(gè)版本的教材在以下方面存在共同點(diǎn)：（1）都提出了能正確計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法和借助直觀模型理解算理。兩個(gè)版本的教材都是通過(guò)通分，將異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法，即轉(zhuǎn)化為相同計(jì)數(shù)單位進(jìn)行加減法運(yùn)算，教學(xué)算理的理念相通，算法相同。（2）都運(yùn)用了整數(shù)加減混合運(yùn)算順序和運(yùn)算律，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算，解決和分?jǐn)?shù)加減法相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

兩個(gè)版本的教材在內(nèi)容編排上存在以下不同點(diǎn)：（1）關(guān)于“同分母分?jǐn)?shù)加減法”內(nèi)容的刪減有所不同。盡管人教版教材在三年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)編排過(guò)簡(jiǎn)單的同分母分?jǐn)?shù)加減法，但在五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的加法和減法”中仍安排了同分母分?jǐn)?shù)加減的學(xué)習(xí)，旨在激活學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。相較之下，北師大版教材則直接進(jìn)入異分母分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)。（2）在新知識(shí)探究過(guò)程中對(duì)學(xué)生的要求有所不同。盡管兩個(gè)版本教材都注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合滲透算理，但相較于人教版教材直接出示直觀圖，北師大版教材更強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生運(yùn)用畫圖策略自主探索理解算理，并借助圖形解釋算理，總結(jié)計(jì)算方法。（3）在“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化”內(nèi)容的編排上存在差異。北師大版教材在本單元增加了“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而這部分內(nèi)容人教版教材在之前的“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中已提前教學(xué)。

因此，本單元的教學(xué)內(nèi)容主要涵蓋以下三個(gè)方面：（1）理解分?jǐn)?shù)加減法的算理，掌握計(jì)算方法。（2）了解整數(shù)加減法的混合運(yùn)算，以及運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)加減法中的適用性。（3）運(yùn)用直觀模型，熟練掌握并體會(huì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法。

（二）確定單元核心目標(biāo)

2022年版課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第三學(xué)段的教學(xué)提示中強(qiáng)調(diào)：數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性。

鑒于“分?jǐn)?shù)加減法”在打通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法算理方面的關(guān)鍵作用，教師在教學(xué)過(guò)程中需著重強(qiáng)調(diào)三者算理上的相通性。因此，本單元的核心目標(biāo)是“理解分?jǐn)?shù)加減法的算理，掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力”。

（三）核心目標(biāo)具體化

基于上述整體分析，將核心目標(biāo)具體化為：（1）理解分?jǐn)?shù)加減法的算理。明晰數(shù)的結(jié)構(gòu)，能用自己的方法正確計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法，具備比較和理解不同方法的能力，并能夠提煉出分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。（2）發(fā)展運(yùn)算能力。具體表現(xiàn)為將整數(shù)加減法的混合運(yùn)算順序與運(yùn)算律推廣到分?jǐn)?shù)加減法的混合運(yùn)算中，熟練掌握分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的簡(jiǎn)便計(jì)算方法，并形成多元化的運(yùn)算策略。

二、確定學(xué)生起點(diǎn)

為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，對(duì)31名五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于分?jǐn)?shù)加減法算理、算法的理解程度及運(yùn)算策略的前測(cè)分析。

（一）學(xué)生對(duì)算理、算法的理解情況分析

筆者基于對(duì)核心目標(biāo)具體化的分析，設(shè)計(jì)相應(yīng)的評(píng)價(jià)任務(wù)，構(gòu)建分?jǐn)?shù)加減法掌握水平的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)框架［2］（如表1），以此展開(kāi)關(guān)于“分?jǐn)?shù)加減法的算理理解”的前測(cè)。

表1 分?jǐn)?shù)加減法掌握水平的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)框架

[層次????? 內(nèi)容要素?????? 具體描述?????? 賦分/分?? 水平0???? 無(wú)??? 無(wú)法對(duì)與算理理解相關(guān)的任何問(wèn)題作出回應(yīng)??? 0???? 水平1???? 認(rèn)識(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)??? 知道分?jǐn)?shù)是相同計(jì)數(shù)單位的累加?????? 1???? 水平2???? 表征計(jì)算過(guò)程?????? 能用自己的方法正確計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法?????? 2???? 水平3???? 概括計(jì)算過(guò)程?????? 能比較并看懂不同的方法??? 3???? 水平4???? 提煉基本算法?????? 能用語(yǔ)言描述異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法?????? 4???? ]

具體前測(cè)題如下。

1.正確計(jì)算并說(shuō)明理由。

[34] + [24]?????? [35] - [15]

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否達(dá)到水平1，能否正確計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加減法，并理解算理。

2.請(qǐng)你任選一題，用自己喜歡的方式算出結(jié)果，并說(shuō)明理由。

[12] + [14]?????? [25] - [310]

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否達(dá)到水平2，能否正確計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法，并理解算理。同時(shí)通過(guò)訪談，了解學(xué)生能否看懂不同的方法，考查其是否到達(dá)水平3。

3.請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)如何計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法。

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否達(dá)到水平4，能否提煉出異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。

根據(jù)分?jǐn)?shù)加減法掌握水平的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)框架，結(jié)合學(xué)生的答題情況，對(duì)其水平層次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析和劃分，完成“分?jǐn)?shù)加減法的算理理解”水平前測(cè)結(jié)果的歸類分析。前測(cè)結(jié)果如表2所示，課前訪談如表3所示。

分析前測(cè)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，約87.1%的學(xué)生在數(shù)的結(jié)構(gòu)方面掌握較好。在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“通分”之后，約67.7%的學(xué)生能夠通過(guò)通分將異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算；但有1名學(xué)生選擇將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進(jìn)行計(jì)算，反映出他對(duì)分?jǐn)?shù)加減法算法的認(rèn)識(shí)較為模糊。

對(duì)前測(cè)第2題的21名正確作答者進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生僅意識(shí)到異分母分?jǐn)?shù)加減法可以利用通分求出結(jié)果，但無(wú)法解釋“為什么分母不同就不能直接相加減”。這些學(xué)生了解算法，但對(duì)通分背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理不甚明了，即知道算法，卻不理解算理。約58.1%的學(xué)生能說(shuō)明使用通分的方法計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，而41.9%的學(xué)生無(wú)法對(duì)算法作出合理的解釋，說(shuō)明這部分學(xué)生未能認(rèn)識(shí)到異分母分?jǐn)?shù)加減法需先將不同的分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一為相同的分?jǐn)?shù)單位后才能進(jìn)行計(jì)算。因此，在分?jǐn)?shù)加減法的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生理解算理，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“先通分”的本質(zhì)是在不改變分?jǐn)?shù)大小的前提下統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加減法。

（二）學(xué)生對(duì)運(yùn)算策略的遷移情況分析

筆者基于對(duì)核心目標(biāo)具體化的分析設(shè)計(jì)相應(yīng)的評(píng)價(jià)任務(wù)，展開(kāi)“分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算策略遷移”的前測(cè)。具體前測(cè)題目如下。

簡(jiǎn)便計(jì)算：[37] + [14]+[47] 。

學(xué)生解答方法與情況統(tǒng)計(jì)如表4所示。

分析前測(cè)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，有7名學(xué)生無(wú)法將整數(shù)、小數(shù)加減法的運(yùn)算策略遷移到異分母分?jǐn)?shù)加減法中，而24名學(xué)生能夠?qū)⒄麛?shù)、小數(shù)加減法的運(yùn)算律運(yùn)用到異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算過(guò)程中。筆者針對(duì)這24名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人僅通過(guò)模仿進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，其實(shí)并未真正理解算理。因此，教師有必要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的順序和運(yùn)算律與整數(shù)、小數(shù)加減混合運(yùn)算方法的一致性，從而強(qiáng)化整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，助力學(xué)生構(gòu)建算法模型。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于上述分析，筆者對(duì)“分?jǐn)?shù)加減法”單元的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，學(xué)生需理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，即通過(guò)通分將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行加減，其目的是統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，明確分?jǐn)?shù)加減法本質(zhì)上是相同分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的加減，從而建立起同分母分?jǐn)?shù)加減法與異分母分?jǐn)?shù)加減法的關(guān)聯(lián)。

其次，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法的混合運(yùn)算，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到整數(shù)加減法混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)加減法同樣適用，從而在混合運(yùn)算方面建立起整數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法的一致性。

接著，利用直觀模型，讓學(xué)生掌握并體會(huì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法，進(jìn)一步建立起分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系。

最后，從整體上闡述整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法的一致性，強(qiáng)調(diào)它們的本質(zhì)都是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減，且運(yùn)算順序和運(yùn)算律相同。

四、單元整體教學(xué)思考

根據(jù)學(xué)情分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生已熟練掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法，并認(rèn)識(shí)到異分母分?jǐn)?shù)不能直接進(jìn)行加減運(yùn)算。然而，學(xué)生對(duì)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的算理和“分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算”簡(jiǎn)便運(yùn)算的依據(jù)尚不明確。因此，在本單元教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法，并將其與整數(shù)、小數(shù)加減法進(jìn)行比較，揭示三者運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。據(jù)此，筆者對(duì)本單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重新調(diào)整與規(guī)劃，具體安排如表5所示。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］章勤瓊，陽(yáng)海林，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)及其應(yīng)用［J］.課程·教材·教法，2021，41（3）：83-89.

*本文系福建省教育科學(xué)規(guī)劃2022年基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展重點(diǎn)專項(xiàng)課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究”（課題編號(hào)：FJGHZD22-06）、2022年福建師范大學(xué)本科教學(xué)項(xiàng)目“師范類專業(yè)認(rèn)證背景下的師范生教學(xué)技能培養(yǎng)模式研究——以小教專業(yè)為例”（項(xiàng)目編號(hào)：I202201017）的研究成果。