收稿日期： 2022-09-05； 修回日期： 2023-02-13； 網(wǎng)絡(luò)出版時間： 2024-06-12

網(wǎng)絡(luò)出版地址： https：//link.cnki.net/urlid/32.1814.TH.20240611.1823.002

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52206055）；江蘇省博士后科研資助計(jì)劃項(xiàng)目（2021K569C）；揚(yáng)州市科技計(jì)劃項(xiàng)目-國際科技合作項(xiàng)目（YZ202204）

第一作者簡介： 顧延?xùn)|（1989—），男，江蘇揚(yáng)州人，副教授，博士（通信作者，guyandong@yzu.edu.cn），主要從事流體機(jī)械及流體潤滑研究.

第二作者簡介： 楊安龍（1997—），男，貴州安順人，碩士研究生（yanganlong7780@163.com），主要從事水力機(jī)械及流體潤滑研究.

摘要： 為研究可壓流動下多孔質(zhì)靜壓徑向軸承的靜特性，基于雷諾潤滑方程、多孔質(zhì)達(dá)西方程、氣體壓力-密度方程，建立了多孔質(zhì)徑向軸承的流動模型.提出了一種處理多孔質(zhì)軸向端面壓力邊界條件的Laplace-Neumann虛擬節(jié)點(diǎn)法，結(jié)合有限差分法、松弛迭代法、壓力-密度耦合迭代法對流動模型進(jìn)行數(shù)值求解.分析了可壓流動下軸承半徑間隙和供給壓力對靜壓特性的影響，并與不可壓流動計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比.結(jié)果表明：在同一最小膜厚下，隨著半徑間隙和供給壓力的增大，可壓流動與不可壓流動的承載能力、質(zhì)量流量和功耗均增大.可壓流動下的承載能力在半徑間隙0.01 mm和0.03 mm下小于不可壓流動，在半徑間隙0.05 mm下大于不可壓.可壓流動下的質(zhì)量流量和功耗均大于不可壓流動.本研究可為多孔質(zhì)靜壓徑向軸承的設(shè)計(jì)及快速計(jì)算提供參考.

關(guān)鍵詞： 多孔質(zhì)徑向軸承；流動建模；數(shù)值求解；半徑間隙；供給壓力

中圖分類號： S277.9" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1674-8530（2024）07-0701-08

DOI：10.3969/j.issn.1674-8530.22.0212開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

顧延?xùn)|，楊安龍，程金武，等.多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承的可壓流動建模及數(shù)值求解［J］.排灌機(jī)械工程學(xué)報，2024，42（7）：701-708.

GU Yandong， YANG Anlong， CHENG Jinwu，et al.Compressible flow modeling and numerical solution for porous aerostatic journal bearings［J］.Journal of drainage and irrigation machinery engineering（JDIME），2024，42（7）：701-708.（in Chinese）

Compressible flow modeling and numerical solution for

porous aerostatic journal bearings

GU Yandong1*， YANG Anlong1， CHENG Jinwu1， XIE Chaojie2， SUN Hao1， CHENG Li1

（1. College of Hydraulic Science and Engineering， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225009， China; 2. Shanghai Branch， AVIC Xinxiang Aviation Industry （Group）Co.， Ltd.， Shanghai 201299， China）

Abstract： To investigate the static characteristics of porous aerostatic journal bearings under compressible flow， the flow model of porous journal bearings was established based on the Reynolds lubrication equation， Darcy equation for porous material and gas pressure-density equation. A Laplace-Neumann virtual node method was introduced to address the axial end face pressure boundary conditions of porous journal bearings. This method was coupled with the finite difference method， relaxation iterative method， and pressure-density coupling iterative method for the numerical solution of the flow model. The effects of radius clearance and supply pressure on the static characteristics under compressible flow were examined and compared with the outcomes derived from incompressible flow computations. The results indicate that， at a consistent minimum film thickness， the load capacity， mass flow rate， and power consumption for both compressible and incompressible flows exhibit an augmentation with the increasing values of radius clearance and supply pressure. Under compressible flow， the load capacity at radius clearance of 0.01 mm and 0.03 mm is less than incompressible flow， and at radius clearance of 0.05 mm is greater than incompressible flow. While the mass flow rate and power consumption under compressible flow are greater than those under incompressible flow. This study could provide a reference for the design and fast calculation of porous journal bearings.

Key words： porous journal bearing;flow model;numerical solution;radius clearance;supply pressure

氣體靜壓徑向軸承是由外部供給高壓氣體，以氣膜作為潤滑介質(zhì)的一種滑動軸承.具有承載能力高、清潔度好、溫度范圍寬等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于高精密、高轉(zhuǎn)速等工況，例如陀螺儀、高精度機(jī)床、高轉(zhuǎn)速渦輪機(jī)［1］.節(jié)流器是氣體靜壓軸承的關(guān)鍵部分，常見的節(jié)流器形式有多孔質(zhì)式、小孔式、縫式等.多孔質(zhì)在支撐面上形成近似均勻的氣膜，提供了更好的承載能力、剛度、穩(wěn)定性等［2］.

由于多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承潤滑膜間隙達(dá)到微米級、高轉(zhuǎn)速下軸頸渦動等原因，靜特性試驗(yàn)難度極大［3］.建立流動模型并數(shù)值求解是獲得其靜特性的主要方法之一.LEE等［4］研究了滲透率對多孔質(zhì)徑向軸承性能的影響，發(fā)現(xiàn)滲透率小時，以空氣動壓潤滑為主；滲透率大時，以空氣靜壓潤滑為主.WANG等［5］研究了供氣壓力、材料厚度和楊氏模量與多孔質(zhì)軸承變形的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)變形與供氣壓力成正比，與材料厚度、楊氏模量成反比.CUI等［6］研究表明，制造誤差對軸承靜特性有顯著影響.MIYATAKE等［7］將表面限制層應(yīng)用到多孔質(zhì)氣體靜壓徑向軸承中，提高了高轉(zhuǎn)速下的剛度和穩(wěn)定性.BHLE［8］求解多孔質(zhì)軸承雷諾潤滑方程，獲得了承載能力、剛度及功率損耗.葉曉琰等［9］對水潤滑軸承軸心渦動軌跡進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速增大使流體動壓潤滑效果及軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性增強(qiáng).NICOLETTI等［10］研究表明非線性Forchheimer假設(shè)對軸承承載能力、等效剛度和阻尼的預(yù)測值有很大影響.SPARROW等［11］研究了考慮壁面速度滑移以及潤滑膜與壁面的耦合作用下多孔質(zhì)軸承潤滑膜的流動過程.

潤滑劑的可壓性會影響軸承承載能力，在建立多孔質(zhì)軸承流動模型及數(shù)值求解時需要考慮，但限制了求解速度.一般認(rèn)為使用可壓潤滑劑的靜壓軸承承載能力大于不可壓潤滑劑［12-13］，但本研究發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的成立是有條件的.研究首先基于雷諾潤滑方程、多孔質(zhì)達(dá)西方程、氣體壓力-密度方程建立多孔質(zhì)徑向軸承的可壓流動模型；然后，提出一種Laplace-Neumann虛擬節(jié)點(diǎn)法處理多孔質(zhì)軸向端面的壓力邊界條件；最后，對比分析潤滑劑可壓縮和不可壓縮情況下半徑間隙和供給壓力對軸承靜特性的影響.研究結(jié)果可為多孔質(zhì)靜壓徑向軸承設(shè)計(jì)及快速計(jì)算提供參考.

1" 多孔質(zhì)徑向軸承參數(shù)

多孔質(zhì)徑向軸承工作原理：高壓氣體從多孔質(zhì)進(jìn)口徑向注入，穿過多孔質(zhì)后流入潤滑間隙，支承軸頸，最后從間隙兩端軸向流入外部環(huán)境.

圖1為多孔質(zhì)徑向軸承參數(shù).半徑間隙是決定軸承承載能力和供給功耗等靜特性的主要參數(shù)之一.設(shè)計(jì)了3種不同半徑間隙的多孔質(zhì)徑向軸承，相關(guān)參數(shù)如表1所示，表中R1，R2分別為軸頸半徑和軸承內(nèi)半徑，h0為半徑間隙，B，Lp分別為多孔質(zhì)厚度與長度，μ為潤滑劑動力黏度，α為滲透率，n為轉(zhuǎn)速，ps，pout分別為供給壓力和出口壓力.

2" 理論建模

2.1" 雷諾潤滑方程

假設(shè)多孔質(zhì)徑向軸承內(nèi)的流動是可壓縮、等溫和層流，潤滑膜流動是由雷諾潤滑方程控制，其一般形式為

xρh312μpx+yρh312μpy=

xρua+ub2h+yρva+vb2h+

ρ（wa－wb）－ρuahx－ρvahy，（1）

式中：x，y和z分別為圓柱坐標(biāo)系中的周向、軸向和徑向坐標(biāo)；h為徑向膜厚［8］；ua，ub，va，vb，wa和wb分別為軸和軸承壁面上的周向、軸向和徑向速度.在不可壓計(jì)算中，密度ρ為常數(shù)，其空間導(dǎo)數(shù)為0［2］.

根據(jù)多孔質(zhì)徑向軸承的邊界條件簡化式（1）.考慮剪切效應(yīng)和擠壓效應(yīng)，假設(shè)軸頸壁面無速度滑移［14］，則軸頸上的周向、軸向和徑向速度邊界條件如下

ua=R1ω，（2）

va=0，（3）

wa=uahx.（4）

結(jié)合上述邊界條件（2）—（4），式（1）可簡化為

xρh312μpx+yρh312μpy=-ρua2hx+

xρub2h+yρvb2h－ρwb.（5）

2.2" 多孔質(zhì)流動模型

將達(dá)西方程應(yīng)用到多孔質(zhì)材料中，結(jié)合連續(xù)方程建立多孔質(zhì)流動模型，并做出如下假設(shè)：①不考慮多孔質(zhì)區(qū)域和潤滑區(qū)域的流動慣性作用、末端效應(yīng)等；②多孔質(zhì)的滲透率為各向同性，其內(nèi)流是三維層流；③靜壓潤滑具有良好的對流散熱作用，認(rèn)為潤滑氣體溫度變化較小，黏度恒定，且密度只與壓力有關(guān).

采用達(dá)西方程描述多孔質(zhì)內(nèi)部流動，計(jì)算式為

pxi=－μαui，（6）

ρujxj=0，（7）

式中：i為自由標(biāo)；j為啞標(biāo).將式（6）代入可壓連續(xù)方程（7）得多孔質(zhì)控制方程為

xjραμpxj=0，（8）

根據(jù)假設(shè)③，滲透率為常數(shù)，則式（8）改寫為

xjρpxj=0，（9）

在多孔質(zhì)徑向軸承可壓計(jì)算中，采用式（9）的非守恒形式并轉(zhuǎn)換到圖1中的坐標(biāo)系，即圓柱坐標(biāo)系下的壓力Laplace方程為

ρxpx+ρypy+ρzpz+ρ2px2+

ρ2py2+ρ2pz2+ρ1zpz=0．（10）

2.3" 潤滑膜流動模型

通過耦合多孔質(zhì)達(dá)西方程和流體靜壓潤滑的雷諾方程，建立靜壓潤滑膜的流動模型.假設(shè)多孔質(zhì)區(qū)域與潤滑膜區(qū)域的交界面是速度滑移邊界條件［11］.即由達(dá)西方程控制的周向和軸向速度如下

ub，s=－αμpx，（11）

vb，s=－αμpy.（12）

多孔質(zhì)到潤滑間隙的入流速度由多孔質(zhì)壁面上的徑向速度項(xiàng)來控制，也采用達(dá)西方程來描述，即

wb，s=αμpz．（13）

通過將式（11）—（13）與式（5）結(jié)合，可以得到潤滑膜的控制方程，即

xρh312μpx+yρh312μpy=xρua2h+xρh2－αμpx+yρh2－αμpy+ρ－αμpz.（14）

由式（10）和（14）組成的流動控制方程組，對多孔質(zhì)徑向軸承的作用域如圖1所示.

2.4" 氣體可壓方程

由于氣體靜壓潤滑軸承有較好的對流散熱作用，可以忽略潤滑劑溫升［8］.考慮氣體可壓縮性對多孔質(zhì)徑向軸承靜特性的影響，等溫條件下理想氣體的密度和壓力正相關(guān)，氣體狀態(tài)方程表示為

ρ=pRgT，（15）

式中：Rg為氣體常數(shù).

3" 數(shù)值計(jì)算

3.1" 邊界條件

式（14）的未知量為壓力和密度，需要給定壓力邊界條件、壓力與密度之間的關(guān)系才能求解.實(shí)際應(yīng)用中，在多孔質(zhì)軸承進(jìn)口處供給加壓氣體，然后從間隙兩端流入外部環(huán)境排出，所以將進(jìn)口和出口均設(shè)置為壓力Dirichlet邊界條件.由于工作介質(zhì)無法從多孔質(zhì)軸向端面通過，所以此壁面的法向速度（即軸向速度）為0，即

v=－αμpy=0，（16）

對式（16）移項(xiàng)后得到多孔質(zhì)軸向端面上的壓力Neumann邊界條件為

py=0，（17）

綜上，式（10）和（17）同時控制多孔質(zhì)軸向端面上的壓力.

3.2" 網(wǎng)格劃分及無關(guān)性分析

采用有限差分法同步求解多孔質(zhì)徑向的控制方程.計(jì)算域被離散為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，如圖2所示.

在潤滑膜和多孔質(zhì)周向及軸向上，采用均勻節(jié)點(diǎn)分布.在多孔質(zhì)徑向上，采用間距等比增長的節(jié)點(diǎn)分布，即

Δzk+1=qΔzk.（18）

選擇CaseB，以最小膜厚0.001 mm為例進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性分析.周向、軸向和徑向節(jié)點(diǎn)以相同的增長率進(jìn)行調(diào)整.圖3為承載能力F與節(jié)點(diǎn)數(shù)量N的關(guān)系.當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到240 000時，承載能力不變.

3.3" 離散格式

對控制方程x和y方向上的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)采用二階精度中心差分格式，計(jì)算式為

pxi，j，k≈pi+1，j，k－pi－1，j，k2Δx，（19）

pyi，j，k≈pi，j+1，k－pi，j－1，k2Δy，（20）

2px2i，j，k≈pi+1，j，k－2pi，j，k+pi－1，j，kΔx2，（21）

2py2i，j，k≈pi，j+1，k－2pi，j，k+pi，j－1，kΔy2.（22）

對式（14）中z方向一階偏導(dǎo)數(shù)采用三節(jié)點(diǎn)向前差分格式［14］，其精度為二階，即

pzi，j，k≈－2Δzk+1+Δzk+2Δzk+1（Δzk+1+Δzk+2）pi，j，k+

Δzk+1+Δzk+2Δzk+1Δzk+2pi，j，k+1－Δzk+1Δzk+2（Δzk+1+Δzk+2）pi，j，k+2.（23）

對式（10）中z方向一階和二階偏導(dǎo)數(shù)采用中心差分格式［15］，如式（24）—（25）所示.其中，式（25）的精度由網(wǎng)格增長率q決定，在一階精度到二階精度之間.將網(wǎng)格增長率設(shè)置為1.1，精度近似二階，即

pzi，j，k≈－Δzk+1Δzk（Δzk+Δzk+1）pi，j，k－1+Δzk+1－ΔzkΔzkΔzk+1pi，j，k+ΔzkΔzk+1（Δzk+Δzk+1）pi，j，k+1，（24）

2pz2i，j，k≈Δzk+1pi，j，k－1－（Δzk+1+Δzk）pi，j，k12（Δz2k+1Δzk+Δzk+1Δz2k）+Δzkpi，j，k+112（Δz2k+1Δzk+Δzk+1Δz2k）.（25）

目前，計(jì)算多孔質(zhì)軸向端面壓力的方法：首先，對式（17）采用一階偏導(dǎo)數(shù)的單向差分格式，然后耦合整個流動控制方程組的迭代矩陣進(jìn)行計(jì)算.但此方法收斂速度較慢，文中提出一種Laplace-Neumann虛擬節(jié)點(diǎn)法.使用該方法處理多孔質(zhì)軸向端面的壓力Neumann邊界條件［16］，虛擬節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)如圖2b所示.使用一個虛擬節(jié)點(diǎn)離散式（17），并采用二階精度的中心差分格式，從而得到虛擬節(jié)點(diǎn)處的壓力，計(jì)算式為

py=pv－pi，j－1，k2Δy+O（Δx2）=0，（26）

pv=pi，j－1，k.（27）

多孔質(zhì)軸向端面上的壓力也由式（10）控制，數(shù)值處理方法：首先，采用式（21），（22），（24）及（25）及虛擬節(jié)點(diǎn)離散式（10）；然后，用式（27）替換虛擬節(jié)點(diǎn)，則式（10）的軸向二階偏導(dǎo)數(shù)離散形式寫成式（28）；最后，將式（28）代入迭代矩陣進(jìn)行計(jì)算，即

2py2i，j，k≈－2pi，j，k+2pi，j－1，kΔy2.（28）

采用上述差分格式建立了多孔質(zhì)徑向軸承流動模型的線性代數(shù)方程.引入松弛法和均方根殘差迭代求解線性代數(shù)方程.通過大量的代碼測試，顯示出Laplace-Neumann虛擬節(jié)點(diǎn)法收斂快，殘差小，可達(dá)1.0×10-4.

3.4" 壓力-密度耦合計(jì)算方法

壓力-密度耦合計(jì)算策略如圖4所示.

首先，采用數(shù)值方法計(jì)算壓力場，該過程為內(nèi)迭代；利用壓力場及式（15）更新密度場，再返回計(jì)算壓力，這個過程為一次外迭代.當(dāng)壓力殘差的均方根小于1.0×10-4時，內(nèi)部迭代收斂.當(dāng)壓力場和密度場均比上一次外迭代小于1.0×10-4時，整個迭代終止，輸出結(jié)果.

3.5" 靜特性計(jì)算

在壓力和密度收斂后，通過以下公式計(jì)算靜特性.

承載能力為

FX=∫L0∫2π0psin（φ）R2dφdy，（29）

FY=∫L0∫2π0pcos（φ）R2dφdy，（30）

F=F2X+F2Y，（31）

質(zhì)量流量為

Qm=∫L/2+Lp/2L/2－Lp/2∫2π（R2+B）0ραμpzz=R2+Bdxdy，（32）

體積流量為

Q·V=∫L/2+Lp/2L/2－Lp/2∫2π（R2+B）0αμpzz=R2+Bdxdy，（33）

供給功耗為

P=Q·Δp.（34）

4" 結(jié)果與討論

4.1" 半徑間隙對靜特性的影響

圖5為半徑間隙對承載能力的影響.在同一最小膜厚d膜下，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均隨半徑間隙的增大而增大.在同一半徑間隙下，可壓流動下在半徑間隙0.01和0.03 mm的承載能力低于不可壓下的承載能力，當(dāng)半徑間隙增大到0.05 mm時，其承載能力高于不可壓下的承載能力.在同一半徑間隙下，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均隨最小膜厚的增大而減小.當(dāng)不發(fā)生偏心時，承載能力均為0.

為了解半徑間隙及潤滑氣體壓縮性影響承載能力的原因，以最小膜厚為例，對比在半徑間隙0.01和0.05 mm下，可壓流動與不可壓流動下的潤滑膜壓力，如圖6所示，圖中x為軸向，y為周向.隨著半徑間隙的增大，可壓流動與不可壓流動下的最大壓力都基本不變，均發(fā)生在最小膜厚（周向位置180°附近）.在每個半徑間隙下，最大壓力約為0.4 MPa.然而，在周向位置0°或360°的壓力隨半徑間隙的增大而減小，即壓力的周向梯度隨著半徑間隙變化，因此產(chǎn)生了更大的承載能力.在半徑間隙0.01 mm下，可壓流動下的壓力周向梯度小于不可壓，在0.05 mm下大于不可壓，這是在半徑間隙為0.05 mm時，可壓流動下的承載能力大于不可壓流動的主要原因之一.

圖7為半徑間隙對質(zhì)量流量Qm的影響.

在同一最小膜厚下，可壓流動與不可壓流動下的質(zhì)量流量均隨半徑間隙的增大而增大.在同一半徑間隙下，可壓流動下的質(zhì)量流量大于不可壓下的質(zhì)量流量.隨著最小膜厚的增大，可壓流動下在半徑間隙0.01 和0.03 mm的質(zhì)量流量減小，在0.05 mm下增大，不可壓流動下在半徑間隙0.01 mm的質(zhì)量流量增大，在0.03和0.05 mm下減小.

圖8為半徑間隙對供給功耗P的影響.在同一最小膜厚下，可壓流動與不可壓流動下的供給功耗均隨半徑間隙的增大而增大.在同一半徑間隙下，可壓流動下的供給功耗大于不可壓下的供給功耗.隨著最小膜厚的增大，可壓流動下在半徑間隙0.01和0.03 mm的供給功耗減小，在0.05 mm下增大，不可壓流動下在半徑間隙0.01 mm的供給功耗增大，在0.03和0.05 mm下減小.

4.2" 供給壓力對靜特性的影響

供給壓力設(shè)置為0.40，0.50及0.60 MPa，圖9為供給壓力對承載能力的影響.在同一最小膜厚下，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均隨供給壓力的增大而增大.在同一供給壓力下，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均隨最小膜厚的增大而減小.然而，可壓流動下在半徑間隙0.01和0.03 mm的承載能力低于不可壓下的承載能力.當(dāng)半徑間隙增大到0.05 mm時，其承載能力高于不可壓下的承載能力.在相同半徑間隙下，可壓流動與不可壓流動下的承載能力在不同供給壓力下規(guī)律一致.

圖10為供給壓力對質(zhì)量流量和供給功耗的影響.在相同的最小膜厚下，可壓流動與不可壓流動下的質(zhì)量流量和供給功耗均隨供給壓力的增大而增大.

在同一供給壓力下，可壓流動與不可壓流動下的供給功耗相差較大.

5" 結(jié)" 論

1） 基于雷諾潤滑方程、達(dá)西方程和氣體壓力-密度方程，建立了多孔質(zhì)靜壓徑向軸承的可壓流動模型.引入有限差分法、松弛迭代法和壓力-密度耦合迭代法，建立了該流動模型的數(shù)值求解方法.編寫了多孔質(zhì)徑向軸承求解器.

2） 同一最小膜厚和同一供給壓力下，隨著半徑間隙的增大，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均因壓力周向梯度的增大而增大.同時，質(zhì)量流量和功耗增大.在同一最小膜厚和同一半徑間隙下，隨著供給壓力的增大，可壓流動與不可壓流動下的承載能力均增大，質(zhì)量流量和功耗增大.可壓時的承載能力在半徑間隙0.01和0.03 mm下小于不可壓，在0.05 mm下大于不可壓，其原因是在半徑間隙0.01和0.03 mm下可壓時的壓力周向梯度小于不可壓，在0.05 mm下大于不可壓.可壓流動下的質(zhì)量流量和功耗大于不可壓.

參考文獻(xiàn)（References）

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（責(zé)任編輯" 談國鵬）