摘 要：數(shù)學概念是數(shù)學學習的基礎，聚焦核心概念的課堂教學有助于教師整體把握課程內(nèi)容，有助于學生理解學習內(nèi)容的本質(zhì)。“度量”這一核心概念作為幾何學測量過程的起點，引導學生進行合理推理、規(guī)范建模，在學習的過程中豐富了對長度、面積、體積概念的理解，培養(yǎng)了直觀想象、邏輯推理、模型思想等數(shù)學思想方法，提高了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：面積度量；數(shù)學核心概念；數(shù)學核心素養(yǎng)

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2024）30-0079-04

數(shù)學概念是數(shù)學學習的基礎，而小學數(shù)學核心概念的掌握正是學生結(jié)構(gòu)化學習的基石，基于核心概念的課堂教學有助于教師整體把握課程內(nèi)容，有助于學生理解學習內(nèi)容的本質(zhì)，勾連新舊知識，完善認知結(jié)構(gòu)，對發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)有著深刻的意義。在小學數(shù)學幾何領域，長度、面積、體積是最基本的度量幾何學概念，除了維度不同，其測量過程的本質(zhì)是一致的。

一、 把握核心概念，落地研究方向

“度量”這一核心概念表示先有“度”再去“量”，度作為幾何測量的標準，按照標準進行測量才叫度量。我們用尺子量長度，用溫度計量溫度，用秤稱質(zhì)量，那面積該如何度量呢？與線段不同，線段只有一個方向，所以只要量出一個方向的長度就能度量一條線段的長度，而面積有兩個方向的維度，如何制訂標準并實現(xiàn)度量？日常生活中如何快速、高效地計算面積大小呢？文章從尋找度量工具、進行合理推理、建立計算模型三個方向進行了深入思考，從培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)出發(fā)進行研究，把數(shù)學思想方法滲透到日常教學中去。

二、 聚焦數(shù)學思想，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

（一）抓住本質(zhì)，直觀想象——確定面積單位作為度量工具

圖形的度量本質(zhì)上都是用度量單位1根據(jù)度量的法則去擺，線段的長度我們通常用1mm、1cm、1dm……的單位長度去測量，量出有多少個單位長度，線段的長度就是多少。面積度量是在長度度量的基礎上進行教學的，對比長度而言，面積概念更為抽象，所以突破長方形面積與長和寬的乘積之間關系就是教學中的難點，教師需要幫助學生通過度量本質(zhì)理解面積的意義，使其知其然更知其所以然。

1. 初步感受，理解概念

在蘇教版三年級下冊教材“長方形和正方形的面積”一課中，教材的設計是直接讓學生用1平方厘米的正方形任意拼出3個不同的長方形，并把拼出的長方形的長、寬以及包含的小正方形的數(shù)量填入表格，引導學生初步體會長、寬的數(shù)量與小正方形的個數(shù)的關系，以及小正方形的個數(shù)與拼成的長方形面積的關系。這樣的教學中，隱含著長方形的面積與它的長和寬有著不可分割的聯(lián)系，但是面的大小與長度的長短有何不同，如何幫助學生從形的角度打開對面積計算維度的思考，教材中并未提及，而是默認學生對面積有了一定的認識。

有需求才有學習，在教學過程中我們可以用一個“比眼力”的小游戲進行突破，先讓學生通過視覺比較1cm和7cm兩條線段的長度，再讓兩條線段向上運動起來，變成兩個長方形，讓學生的思維從線的長短轉(zhuǎn)移到面的大小，實現(xiàn)了從一維平面到二維空間的跨越，體驗到面積的含義。在線段運動前抓住學生思維定式：1cm動起來比7cm小，通過動態(tài)呈現(xiàn)，直觀顯示1cm線段變化后的圖形比7cm線段變化后的圖形更大，進一步聚焦“大小”，讓學生體會到長度我們只要看一個方向的變化，而面積要看兩個方向的變化，而這兩個方向的線段長度分別是長方形的長和寬，長方形的面積與它的長和寬有關，突破了原教材中對“面積”這一概念的理解。（圖1）

2. 制訂標準，探究關系

在感受到長方形面積與長和寬的聯(lián)系后，再進一步深入探究兩者之間究竟存在何種關系，與線段不同的是，線段可以通過尺的度量直接量出長度，而長方形如果通過尺子測量是無法測出面積的大小的，以此引導學生發(fā)現(xiàn)不能通過長度單位來測量面積大小，長、寬都是用厘米作單位，所以我們可以用邊長是1厘米的小正方形去量，自然從厘米過渡到平方厘米，確定用面積單位度量面積。

與長度的度量類似，面積也可以通過面積單位來度量。在研究長方形面積時，學生提出了不同的方法：

生1：我是數(shù)出來的，直接數(shù)面積是1平方厘米的小正方形的個數(shù)，有幾個面積單位，長方形的面積就是幾平方厘米。

生2：我是算出來的，用每排個數(shù)乘排數(shù)算出一共有幾個面積單位就是幾平方厘米更簡單。

生3：我也是算出來的，用長乘寬就是面積。

雖然方法不一，但是都找到了面積的大小。在數(shù)學中，數(shù)與形是我們進行學習與研究的基礎，學生在探究長方形面積大小時無形中滲透了直觀想象的數(shù)學核心思想，認識了數(shù)與形的密切聯(lián)系，增強了數(shù)與形相互表達的意識和能力，也為進一步探究長方形面積的計算提出了猜想。不管是數(shù)還是算，都把研究形轉(zhuǎn)移到了研究數(shù)，幫助學生更加深刻地去感受面積的本質(zhì)、理解面積計算公式的意義?？梢姅?shù)形關系密切，割裂開就不是完整的數(shù)學研究。

（二）尊重邏輯，進行推理——探究長方形面積與長和寬乘積的淵源

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：“推理貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。……教師在教學過程中，應該設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論。發(fā)展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。”長方形面積計算公式的推導，是研究其他平面圖形面積公式的基礎，也是蘇教版教材中第一次出現(xiàn)邏輯推理，三年級的學生邏輯思維發(fā)展不太成熟，雖然給教學帶來了一定的難度，但通過教師的引導，也可以給學生開啟推理的新思路。

在日常教學中，有不少學生課前已經(jīng)可以熟練運用長方形面積計算公式解決問題了，所以課上的證明環(huán)節(jié)顯得倉促而枯燥，不少學生都是根據(jù)已有經(jīng)驗將下面的表格填寫完整，忽略了推理的過程，但這一環(huán)節(jié)恰恰是數(shù)學學習中培養(yǎng)學生思維能力的關鍵之處，教師要有效引導學生關注教學重點，通過帶領學生進行舉例驗證和推理驗證的方式進行證明，將目光聚焦到為何長方形的長和寬與長方形的面積之間存在乘法關系，而不僅僅是知道公式、會用公式。

在演繹推理時，由于對學生抽象思維能力的要求更高，所以教師可以降低難度，為學生提供充足的1平方厘米的面積單位對長方形擺一擺、鋪一鋪，便于探究數(shù)據(jù)之間的關系?；顒右髮W生用1平方厘米的面積單位測量第一個長方形的面積，學生呈現(xiàn)如下資源（圖2），大部分學生是全部鋪滿，也有個別學生只鋪了一半。教師呈現(xiàn)資源引發(fā)學生思考，雖然沒有鋪滿，但是可以想象長里有4個，所以每排有4個，寬里有3個，所以有這樣的3排，最后用4×3=12，面積就是12平方厘米。通過資源的呈現(xiàn)使長方形的長和每排個數(shù)進行勾連，使長方形的寬和排數(shù)進行勾連，通過1平方厘米面積單位的個數(shù)來得出長方形的面積，半鋪的方法直觀有效地幫助學生通過度量得到了長方形的面積。

接著再出示第二個長方形，鼓勵學生也通過想象得到長方形面積，當學生學會半鋪后再呈現(xiàn)兩種資源（圖3），第④份作業(yè)甚至沒有實際去鋪，但可以想象，長是5cm每排擺5個，寬是4cm有這樣的4排，5×4=20，面積就是20平方厘米。引導學生從全鋪到半鋪到想象不鋪，層層深入，將長轉(zhuǎn)化成每排的個數(shù)，將寬轉(zhuǎn)化成排數(shù)，通過每排的個數(shù)乘排數(shù)得到1平方厘米面積單位的個數(shù)，得到長方形的面積。

此時教師順勢進行抽象，引導學生繼續(xù)想象，如果長方形的長是10厘米，想象把小正方形擺上去，長里每排擺（ ）個；寬是6厘米，寬里可以擺（ ）排，有（ ）個小正方形，面積就是（ ）平方厘米。如果長是20厘米，擺（ ）個；寬是10厘米，擺（ ）排，面積就是（ ）平方厘米。通過想象，豐富學生的空間觀念，培養(yǎng)抽象思維的能力，抽象出每排的個數(shù)就是長方體的長的厘米數(shù)，排數(shù)就是長方體的寬的厘米數(shù)，因為每排個數(shù)乘排數(shù)等于面積單位的個數(shù)，也就是長方形的面積，所以長乘寬等于長方形的面積，使學生經(jīng)歷從用面積單位度量面積到用長度單位計算面積的過程，最后抽象出乘法計算公式，滲透乘法與長方形面積計算的關系。

再把這樣的推理方法趁熱打鐵運用到正方形的面積計算公式的推理上，引導學生通過回顧正方形的特征，得到正方形四條邊長度相等，那沿著兩條鄰邊可以擺出相同數(shù)量的1平方厘米的面積單位，所以只要用一條邊上擺的正方形個數(shù)乘它本身就等于擺滿這個正方形所需的1平方厘米的面積單位數(shù)，有幾個這樣的1平方厘米的面積單位，正方形的面積就是多少平方厘米。又因為1平方厘米的面積單位都是邊長為1厘米的小正方形，所以大正方形邊上能擺幾個1平方厘米的面積單位它的邊長就是多少厘米，最后得出正方形的面積等于邊長乘邊長。在這樣的推理過程中，學生也會逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣，培養(yǎng)了學生獨立思考與合理推理的核心素養(yǎng)。

（三）觸類旁通，靈活建?！l(fā)現(xiàn)面積度量與乘法模型的聯(lián)動

數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量、關系和空間的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)在數(shù)學學習中能夠幫助學生對新舊知識產(chǎn)生勾連，進而幫助學生進行有效學習，也就是我們常說的知識的遷移。而數(shù)學模型的確立依托于建模的過程，對熟記長方形的面積計算公式，如何推導出這個公式對學生來說是更難理解也是更為重要的，建模的過程不完全依賴于教師的引導，而要學生在有了乘法意義理解和面積單位意識的基礎上不斷生成融合的。

面積是求一個平面的大小，可以用面積單位進行測量，學生通過探索小正方形的個數(shù)與長方形長、寬之間的關系得出了長方形的面積公式，建立了模型S=a×b，由此推導出正方形的面積計算公式，將知識橫向進行延展；教師可以利用幻燈片直觀演示點動成線、線動成面、面動成體的過程，通過視覺沖擊培養(yǎng)學生的空間觀念，而體積是求一個空間的大小，通過演示設疑，給學生思考的空間，引導學生把剛剛習得的平面面積和立體體積進行類比，將知識縱向進行深化。學生融匯模型思想可以給后續(xù)的學習奠定基礎，建立的模型不僅能解決問題，還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問題，再創(chuàng)造出新的知識點。

除了聯(lián)結(jié)小學階段幾何中形的變化，還能從數(shù)的角度對面積進行剖析（圖4），聯(lián)系二年級“乘法的意義”一課，花片數(shù)量是每排朵數(shù)乘排數(shù)，而長方形面積是每排面積單位個數(shù)乘面積單位的排數(shù)，也就是長的長度乘寬的長度，讓學生感受到兩數(shù)相乘就是面積，聯(lián)想到三個數(shù)相乘就是體積，發(fā)掘了乘法的幾何直觀這一模型。

三、 聯(lián)結(jié)知識脈絡，回歸數(shù)學本質(zhì)

數(shù)學教學中理解概念之間的關系，就容易抓住概念的本質(zhì)，再輔以抽象的教學機制與充分的想象，就能從容地找到合適的教學策略。回歸數(shù)學的本質(zhì)，我們在學習的過程中不斷總結(jié)反思，構(gòu)建框架，再反過來運用我們梳理的方法結(jié)構(gòu)去解決更多的問題，探索更多的謎題，學與用的過程不就是數(shù)學核心素養(yǎng)產(chǎn)生與發(fā)展的過程嗎？文章指向的直觀想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，以及“度量”這一核心概念的把握并不是“長方形和正方形的面積”一課的教學目標，但是這些思想方法與概念本質(zhì)卻在行課過程中幫助學生理解面積的實質(zhì)，授人以魚，不如授人以漁，教會學生學習才是現(xiàn)代數(shù)學教育的重中之重。

參考文獻：

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作者簡介：張靖（1993～），女，漢族，江蘇常州人，常州市博愛小學，研究方向：小學數(shù)學核心概念。