勾股定理的應(yīng)用與尺規(guī)作圖都是初中數(shù)學(xué)中考時(shí)的常規(guī)考題。勾股定理的應(yīng)用需要同學(xué)們能夠?qū)ζ溆猩疃壤斫?，建?gòu)有效的解題模型；尺規(guī)作圖則考查了同學(xué)們的理解能力、分析能力與動(dòng)手操作能力。那么，我們該如何突破這一難點(diǎn)，做到規(guī)范答題和規(guī)范作圖呢？下面就以2023年江蘇省宿遷市的中考題為例進(jìn)行分析，以便同學(xué)們更好地答題，拿滿分。

例題 （滿分10分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=[32]，∠A=45°。

（1）求出對角線BD的長；

（2）尺規(guī)作圖：將四邊形ABCD沿著經(jīng)過點(diǎn)A的某條直線翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)E處，請作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡）。

解：（1）如圖2，連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F。

因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AD=[32]，∠A=45°，所以AF=DF=[AD2]=3。

因?yàn)锳B=5，所以BF=AB-AF=5-3=2。

在Rt△BDF中，∠BFD=90°，DF=3，BF=2，所以BD=[DF2+BF2]=[13]。

（2）如圖3所示，AF即為所求。

【踩點(diǎn)得分提示】從評分標(biāo)準(zhǔn)來看，第（1）題，正確作出對角線BD和△ABD的底邊AB上的高線DF，每作一條線得1分（特別強(qiáng)調(diào)：高線DF與底邊AB垂直要標(biāo)注直角符號）；在Rt△AFD中，由勾股定理求出AF，得1分；根據(jù)線段之和減去部分等于另一部分，求出BF=AB-AF=5-3=2，得1分；最后，在Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理求得BD=[DF2+BF2]=[13]，得1分（本小題計(jì)得5分）。第（2）題，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交邊CD于點(diǎn)E，得1分；連接線段BE（或AE），得1分。根據(jù)折疊，利用線段垂直平分線（或角平分線）的作法，作出EB的垂直平分線（或∠BAE的角平分線）得3分，缺少弧線扣2分。

扣分點(diǎn)一：第（1）題中，過點(diǎn)D作AB邊上的高構(gòu)造直角三角形是解決此題的基礎(chǔ)，也是對同學(xué)們作輔助線能力的考查，作高時(shí)丟掉直角符號說明做題習(xí)慣不夠好。同學(xué)們還要能根據(jù)∠A=45°，判斷出Rt△ADF是一個(gè)等腰直角三角形，如果不能從等腰三角形兩腰相等來思考，就很難利用勾股定理求出AF與DF的長度，這是解題的關(guān)鍵。審題中，不能將相關(guān)聯(lián)的知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)并加以分析，形成緊密的聯(lián)系，就很難向著成功行進(jìn)。

扣分點(diǎn)二：第（1）題中，同學(xué)們要能根據(jù)線段總長減去部分等于另一部分的知識來求得BF，進(jìn)而才能根據(jù)勾股定理求出Rt△BDF中BD的長度。倘若不能將勾股定理的知識進(jìn)行遷移，做到舉一反三，我們就難以將BF的長度與Rt△BDF中的各邊關(guān)系建立聯(lián)系。

扣分點(diǎn)三：部分同學(xué)逆向思維欠缺，對折疊性質(zhì)理解不透。要使點(diǎn)B落在邊CD上，且折痕經(jīng)過點(diǎn)A，則應(yīng)有AE=AB，即以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，方可找到點(diǎn)E。部分同學(xué)對上述知識點(diǎn)掌握不到位，無法確定點(diǎn)E的位置，致使本題無法繼續(xù)進(jìn)行。

扣分點(diǎn)四：部分同學(xué)對折疊中涉及線段垂直平分線或角平分線的性質(zhì)理解不透徹，以及對基本尺規(guī)作圖掌握不牢，無法有效作圖。同時(shí)，一些同學(xué)作圖無痕跡，致使失分。

【點(diǎn)評】在核心素養(yǎng)理念下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要經(jīng)歷操作探究、觀察發(fā)現(xiàn)、理解應(yīng)用的過程。本題既充分考查了同學(xué)們對于作輔助線、勾股定理、折疊性質(zhì)及線段垂直平分線和角平分線作法的理解，也考查了同學(xué)們對知識遷移能力的應(yīng)用、建模、幾何直觀的認(rèn)識。因此，我們在平時(shí)要注意培養(yǎng)逆向思維、幾何直觀、分析問題和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）