摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，本原性問題提出教學(xué)作為一種問題提出教學(xué)方式，是鑒于問題提出教學(xué)困境提出的?！皵?shù)學(xué)本原性問題”是指能激起學(xué)生“刨根問底”的探究欲望，并能引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵的“最根本、樸素的觀點(diǎn)、思想與要領(lǐng)”的問題。數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和刨根問底的精神，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知和數(shù)學(xué)一般性觀念，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和理性精神。以“二面角”為例，說明開展數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)的基本路徑：明確數(shù)學(xué)本原性問題；引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)本原性問題；利用數(shù)學(xué)本原性問題驅(qū)動(dòng)探究性學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；問題提出；本原性問題；二面角

一、 從問題提出教學(xué)到本原性問題提出教學(xué)

所謂“問題提出教學(xué)”是指，引導(dǎo)學(xué)生在給定的情境中或在解決問題的過程中提出新的問題，進(jìn)而利用所提問題驅(qū)動(dòng)探究學(xué)習(xí)進(jìn)程的一種教學(xué)方式。一方面，讓學(xué)生提出問題是教學(xué)目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力——“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，提出新問題需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”［1］。另一方面，讓學(xué)生提出問題也是教學(xué)手段：由學(xué)生提出的問題開展教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，幫助學(xué)生深入理解知識(shí)技能，感悟思想方法——“問”是“思”和“學(xué)”的起點(diǎn)。

相應(yīng)地，“本原性問題提出教學(xué)”是指，引導(dǎo)學(xué)生在給定的情境中或在解決非本原性問題的過程中提出本原性問題，進(jìn)而利用所提本原性問題驅(qū)動(dòng)探究學(xué)習(xí)進(jìn)程的教學(xué)方式。本原性問題提出教學(xué)作為一種問題提出教學(xué)方式，是鑒于問題提出教學(xué)困境提出的：?jiǎn)栴}提出教學(xué)不應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生提出對(duì)知識(shí)技能機(jī)械記憶的問題或簡(jiǎn)單模仿應(yīng)用的習(xí)題，也不應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生提出不著邊際的問題，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生提出關(guān)乎主題的具有探究性的問題，從而促進(jìn)學(xué)生更好地理解知識(shí)技能，感悟背后的思想方法。也就是說，問題提出教學(xué)要想取得更好的效果，就要引導(dǎo)學(xué)生提出本原性問題。這是由本原性問題的內(nèi)涵決定的：本原性問題是其他問題（可稱為派生性問題）的根本與源頭。

“本原”是哲學(xué)中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，是指世界的來源和存在的根據(jù)，是希臘文arche或拉丁文principium的意譯。古希臘哲人認(rèn)為在生滅變化的萬(wàn)物中存在某種始終不變的東西，名之“arche”。本原是存在或生成或認(rèn)識(shí)由之開始之點(diǎn)，是現(xiàn)象背后的基礎(chǔ)，是事物存在和生成的質(zhì)料，是認(rèn)識(shí)成為可能的根本。［2］中國(guó)古人也常運(yùn)用“本原”一詞?！蹲髠鳌ふ压拍辍分杏校骸拔以诓?，猶衣服之有冠冕，木水之有本原，民人之有謀主也?！边@里的“本原”即“本源”，有“根源、根本、根由”之意。《史記·秦始皇本紀(jì)》中有：“從臣思跡，本原事業(yè)，祗誦功德?！边@里的“本原”有“推究，推本溯源”之意。馬天駿教授曾圍繞《論語(yǔ)·學(xué)而》“君子務(wù)本，本立而道生”一句中的“本”，闡發(fā)“本原”的一個(gè)隱喻網(wǎng)絡(luò)，即“本原”“本質(zhì)”“基礎(chǔ)”“本源”“始基”“基質(zhì)”“根本”“根基”“根源”“本根”“本始”“本初”“基本”“始原”“初始”“始源”“源本”“源始”“源初”“源頭”“原本”“原始”“原初”等。［3］不少教育研究者和教師借用“本原”一詞，應(yīng)該是基于兩點(diǎn)考慮：一是希望引導(dǎo)學(xué)生尋找概念、原理或理論等產(chǎn)生的根源，揭示問題的本質(zhì)；二是希望學(xué)生像哲人一樣去“推本溯源”，即“刨根問底”。

對(duì)于（數(shù)學(xué)）本原性問題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者早有關(guān)注。梳理研究相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)者是基于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、情感激發(fā)等視角來思考本原性問題的。如格蘭特·威金斯將基本問題（基本即本原的隱喻）定義為“能激勵(lì)揭示更多問題，能讓學(xué)生深入思考與探究，促進(jìn)思維邁向深入，而不是給出標(biāo)準(zhǔn)答案的問題”［4］。涂榮豹認(rèn)為，數(shù)學(xué)本原性問題是站立在教學(xué)法基石上，謀略對(duì)于師生尤其是學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)科主題內(nèi)最根本、樸素的觀點(diǎn)、思想與要領(lǐng)的問題。［5］張蔭南認(rèn)為，數(shù)學(xué)本原性問題是樸素的、原始的、簡(jiǎn)單的，能推動(dòng)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)的問題。［6］有些問題是波利亞式的——純粹數(shù)學(xué)問題，具有明確的條件與結(jié)論，找準(zhǔn)解題的策略之后，依靠技巧獲得解決。還有一種問題是數(shù)學(xué)本原問題，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建內(nèi)容體系。我們可以將獲得解題規(guī)律提升為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而學(xué)習(xí)波利亞，超越波利亞。數(shù)學(xué)本原問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，不必包括枝節(jié)問題。［7］楊玉東認(rèn)為，從教學(xué)理念上看，數(shù)學(xué)本原性問題追求的是，從數(shù)學(xué)學(xué)科本身出發(fā)，在某個(gè)數(shù)學(xué)主題教學(xué)中讓學(xué)生掌握該主題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，經(jīng)歷一種類似數(shù)學(xué)家研究的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。這里的“本原性”是教學(xué)法意義下的本原性，意味著要考慮對(duì)于學(xué)生而言，什么是某個(gè)數(shù)學(xué)問題最為根本的、本質(zhì)的、基本的要素或構(gòu)成。［8］鄭毓信認(rèn)為，我們不僅應(yīng)當(dāng)高度重視“問題引領(lǐng)”，也應(yīng)當(dāng)十分重視如何通過相關(guān)問題（對(duì)此，可統(tǒng)稱為“本原性問題”，包括所說的“內(nèi)容性問題”和“思維性問題”）的再加工，很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。［9］李靜等認(rèn)為，本原性數(shù)學(xué)問題可以從兩個(gè)層次理解：宏觀上，幫助學(xué)生比較粗放地認(rèn)識(shí)某個(gè)數(shù)學(xué)主題內(nèi)容；從微觀上，幫助學(xué)生精細(xì)地研究某個(gè)數(shù)學(xué)核心知識(shí)與技能，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想與方法。［10］李艷欣認(rèn)為，本原性問題反映某一學(xué)科主題的實(shí)質(zhì)，體現(xiàn)某一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題最根本的觀念、思想和方法。［11］沈威、曹廣福認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)形成的歷史背景與數(shù)學(xué)問題、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的科學(xué)價(jià)值等稱為該數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原；數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的本原情境不一定適合學(xué)生，也就需要將數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原與學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合，重構(gòu)出能揭示數(shù)學(xué)本原并適合學(xué)生的問題情境；教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題情境產(chǎn)生問題，形成概念、原理或理論產(chǎn)生的原始問題，即本原性問題。［12］

雖然國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)本原性問題的表述各異，但是對(duì)以下四點(diǎn)特征是達(dá)成共識(shí)的。（1） 本原性問題具有永恒性。主要外化為時(shí)空上的生長(zhǎng)性和形式上的多樣性，在結(jié)果上存在多種可能性的問題。例如波利亞“解題表”中的元認(rèn)知問題：你能否檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果？你能否利用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？等等。不難發(fā)現(xiàn)，這類問題能持續(xù)不斷地促使學(xué)習(xí)者反思，并體會(huì)使其有可能改變的想法。這類問題表明，教育不僅關(guān)注“答案”的學(xué)習(xí)，還關(guān)注如何學(xué)習(xí)。（2） 本原性問題具有統(tǒng)領(lǐng)性。本原性問題是從教學(xué)內(nèi)容本身所處的知識(shí)模塊及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想中提煉出來的，指向一般性觀念。一般性觀念將零碎知識(shí)聚焦整合，使學(xué)科不再是一系列支離破碎的概念、規(guī)律和方法，它集中展現(xiàn)了學(xué)科的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)。例如，在立體幾何的判定定理的教學(xué)中，“判定定理要研究的問題是什么？”“發(fā)現(xiàn)判定定理的思想方法是什么？”等問題，會(huì)讓學(xué)生思考并明確：研究的問題是直線、平面平行或垂直的充分條件，所采用的思想方法是從定義出發(fā)探究位置關(guān)系所需要的“最少條件”。從這個(gè)意義上講，本原性問題是統(tǒng)攝某一學(xué)科或多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的觀念、思想、方法等的集合，是能為話題提供焦點(diǎn)和重要意義的一些具有探究性特質(zhì)的問題。（3） 本原性問題具有思維性。本原性問題的目的是，通過探究揭示學(xué)科的本質(zhì)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生和思想方法形成的深入思考。例如，教學(xué)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”時(shí)，“為什么要學(xué)習(xí)y=Asin（ωx+φ）？”“如何研究y=Asin（ωx+φ）與y=sin x的關(guān)系？”等問題，可以幫助學(xué)生通過對(duì)具體知識(shí)的不斷探究以及有序厘清，經(jīng)歷專家思維，最終指向?qū)υ搯栴}的深刻理解。（4） 本原性問題具有激勵(lì)性。本原性問題主要來自教師在備課過程中精心設(shè)計(jì)的反映該數(shù)學(xué)主題實(shí)質(zhì)的問題或?qū)W生在教學(xué)過程中提出的涉及該數(shù)學(xué)主題實(shí)質(zhì)的關(guān)鍵問題。本原性問題能夠最大限度、最大范圍地吸引學(xué)生參與到問題的探究中，并最終在成功解決時(shí)為學(xué)生帶來巨大的喜悅。例如，教學(xué)“等差數(shù)列的前n和”時(shí)，借助數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生提出問題：小高斯是怎么想到那樣求和的呢？這個(gè)問題不僅指向“探究等差數(shù)列前n和的思想方法”的本原，而且極大地吸引著、激發(fā)出學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生通過基于歷史相似性的學(xué)習(xí)，理解“倒序相加”的本質(zhì)，即“化不同為相同”“化和為積”和“大道至簡(jiǎn)”的思想，進(jìn)而形成進(jìn)一步探索未知的欲望。

據(jù)此，我們將“數(shù)學(xué)本原性問題”界定為：能激起學(xué)生“刨根問底”的探究欲望，并能引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵的“最根本、樸素的觀點(diǎn)、思想與要領(lǐng)”的問題。這里做幾點(diǎn)說明：（1） 數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵包括“數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)”等諸多方面。（2） 數(shù)學(xué)本原性問題可以是數(shù)學(xué)的問題，也可以是元認(rèn)知的問題，如波利亞的“你能找一個(gè)比它更簡(jiǎn)單的問題嗎？”。（3） 數(shù)學(xué)本原性問題凸顯“刨根問底”的探究精神。例如，“如何得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般性公式？”這一問題在新授教學(xué)中可以作為本原性問題，因?yàn)樗梢砸I(lǐng)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的等比數(shù)列2n、3n等出發(fā)，探究并揭示等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般規(guī)律和方法產(chǎn)生的過程，同時(shí)凸顯“刨根問底”的探究精神。但這一問題在復(fù)習(xí)課中不能作為本原性問題——雖然也能揭示數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，但是缺少數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，不能凸顯“刨根問底”的探究精神，更多的可能是記憶。

二、 數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)的價(jià)值

（一） 培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和刨根問底的精神

好奇心是探究的原動(dòng)力。真正的探究者無不是好奇者。受到應(yīng)試教育的影響，死記結(jié)論、重復(fù)刷題、硬歸題型、套路解題等做法備受推崇，使“成功”的學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒，“不成功”的學(xué)生產(chǎn)生挫折和痛苦。久而久之，學(xué)生成了記憶的容器和做題的機(jī)器，失去了學(xué)習(xí)的興趣，不再有好奇心?！氨驹詥栴}提出教學(xué)”主張學(xué)生基于情境或問題解決，開展“審視、質(zhì)疑、比較、分析、判斷或決策”等心理活動(dòng)，進(jìn)而提出問題或可能成立的結(jié)論。其結(jié)果并不指向唯一正確的答案，這使學(xué)習(xí)過程具有懸疑性、探究性。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中會(huì)感到很愉快，即產(chǎn)生一種情感上的滿足，從而會(huì)重新燃起好奇心，萌發(fā)提出問題的意愿?！氨驹詥栴}提出教學(xué)”還主張學(xué)生在教師引導(dǎo)下進(jìn)一步提煉出本原性問題，進(jìn)而探索關(guān)于數(shù)學(xué)主題的一般性結(jié)論和一般性方法。這正是一種追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)和根源的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生刨根問底的精神。

（二） 發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知和數(shù)學(xué)一般性觀念

元認(rèn)知是對(duì)學(xué)習(xí)（認(rèn)知）過程反思（再認(rèn)）的過程，包括對(duì)學(xué)習(xí)過程中所有因素的反思（再認(rèn)）。本原性問題提出是一種反思性學(xué)習(xí)活動(dòng)，常常通過“反思—提問—探究—發(fā)現(xiàn)—發(fā)展—反思—提問……”的循環(huán)，借助元認(rèn)知提問（如波利亞“解題表”中的元認(rèn)知問題）來提出本原性問題，從而為學(xué)生的自主探究做好導(dǎo)向。數(shù)學(xué)一般性觀念是數(shù)學(xué)大概念的一種表現(xiàn)形式，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式以及幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考事物以及發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用。［13］提出本原性問題要基于知識(shí)發(fā)展和認(rèn)知過程的合理性，從學(xué)習(xí)內(nèi)容所處的知識(shí)模塊和所含的數(shù)學(xué)思想中提煉一般性觀念——這離不開教師對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)。由此，學(xué)生可以通過派生性問題（鏈）展開具體探究，從而不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體悟?qū)W習(xí)內(nèi)容是什么、為什么、怎么學(xué)——這一過程又可以發(fā)展一般性觀念。

（三） 提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和理性精神

基礎(chǔ)教育追求高質(zhì)量發(fā)展，國(guó)家需要拔尖創(chuàng)新人才。丘成桐先生說過：創(chuàng)新的基礎(chǔ)在質(zhì)疑問難。［14］實(shí)際上，“大部分的偉大發(fā)現(xiàn)（發(fā)明）都應(yīng)歸功于問號(hào)”。好奇心不僅是探究的原動(dòng)力，而且是創(chuàng)新的支撐點(diǎn)。而“本原性問題提出教學(xué)”不僅具有懸疑性基礎(chǔ)上的探究性，而且具有創(chuàng)造性，能夠提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)思維更多的是一種理性思維?！氨驹詥栴}提出教學(xué)”不僅鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難（提出問題），激活思維，而且引導(dǎo)學(xué)生刨根問底（提出本原性問題），這是嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神的重要表現(xiàn)。

三、 數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)的路徑

下面以“二面角”為例，說明開展數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)的基本路徑。

（一） 明確數(shù)學(xué)本原性問題

要引導(dǎo)學(xué)生提出本原性問題，教師首先要明確本原性問題，這很考驗(yàn)教師對(duì)學(xué)科的理解。根據(jù)數(shù)學(xué)本原性問題的內(nèi)涵與特征，教師需要在數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)、知識(shí)背后的思想與精神以及知識(shí)形成的過程、思維發(fā)展的脈絡(luò)中尋找教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與源頭，從而明確數(shù)學(xué)本原性問題。為此，尤其要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的邏輯（體系）分析和歷史（過程）分析。

“二面角”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“13.2.4 平面與平面的位置關(guān)系”第2點(diǎn)“兩平面垂直”中的鋪墊性內(nèi)容（為引出兩平面垂直的定義做鋪墊）。從邏輯體系的角度看，二面角是兩平面位置關(guān)系的一般性表征，兩平面垂直是它的特殊情況（二面角的大小為90°），兩平面平行可以看作它的極端情況（二面角的大小為0）；二面角是線線角、線面角的升維推廣，完善了空間角的概念；將二面角轉(zhuǎn)化為線面角進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線角來度量大小體現(xiàn)了降維的思想，二面角與其平面角（線線角）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了平面幾何與立體幾何之間的橋梁。從歷史的角度看，二面角概念起源于19世紀(jì)初數(shù)學(xué)家高斯對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的研究，是為了以精確度量的方式來研究?jī)蓚€(gè)平面的位置關(guān)系，之后廣泛應(yīng)用于立體幾何的相關(guān)領(lǐng)域。

由此，可以確定“二面角”內(nèi)容的兩個(gè)本原性問題：（1） 相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情況有怎樣的數(shù)學(xué)特征，可以用怎樣的數(shù)學(xué)概念來表示？（2） 二面角有什么作用，如何精確刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系？其中，前者指向二面角定義的形成，而后者指向二面角大小的度量。并且，大小比定義更重要，更能反映二面角的本質(zhì)。這一點(diǎn)與平面角（線線角）是一致的。［15］

（二） 引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)本原性問題

如何引導(dǎo)學(xué)生提出本原性問題？這很考驗(yàn)教師對(duì)學(xué)生的理解及教學(xué)的技藝。筆者認(rèn)為，首先需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)蘊(yùn)含本原性問題的情境（包括“現(xiàn)實(shí)的、科技的、數(shù)學(xué)的”情境），激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、搜尋、辨析、識(shí)別情境中的各種信息，剔除干擾信息和次要信息，確定有效信息和重要信息，形成提出問題的線索（如矛盾、聯(lián)系等），然后依據(jù)自己的理解表征這些線索，提出有關(guān)問題。在此基礎(chǔ)上，可以通過一些提示語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注最為根本（一般）和樸素（原始）的線索與內(nèi)涵，提出本原性問題；也可根據(jù)學(xué)生提出的多個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)、取舍、修正、完善、歸類、排序、提煉、溯源，從而確定本原性問題。

教學(xué)“二面角”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)“衛(wèi)星的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度”“大壩的坡面與壩下的水面成一定的角度”“打開的筆記本電腦”“打開的書”等現(xiàn)實(shí)的“坡度、張角”情境，通過“從數(shù)學(xué)的角度看，這些現(xiàn)象中蘊(yùn)含著什么元素？”“在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遇到過哪些類似的情況？”“你提出的問題可以更精煉一些嗎？”等提示語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)面及其交線等數(shù)學(xué)元素，想到兩條線及其交點(diǎn)的情況，從而提出本節(jié)課的第一個(gè)本原性問題：這樣的現(xiàn)實(shí)情境有怎樣的數(shù)學(xué)特征，可以用怎樣的數(shù)學(xué)概念來表示？

還可創(chuàng)設(shè)“打開的筆記本電腦漸漸合上”“打開的書漸漸合上”等實(shí)現(xiàn)情境和“二面角的一個(gè)半平面繞交線旋轉(zhuǎn)”的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)半平面的位置變化，提出數(shù)學(xué)問題。學(xué)生可能提出多個(gè)問題，涉及兩個(gè)半平面位置關(guān)系的特殊情況和一般情況，如：兩個(gè)半平面合在一起還是二面角嗎？?jī)蓚€(gè)半平面放平了呢？可以垂直嗎？如何說明垂直呢？如何刻畫兩個(gè)半平面的各種位置關(guān)系？可以比較兩個(gè)半平面的不同位置關(guān)系嗎？……教師可以類比平面角（線線角）的作用——精確刻畫兩條線的位置關(guān)系（或一條線相對(duì)于另一條線的傾斜程度），引導(dǎo)學(xué)生聚焦一般情況，提出本節(jié)課的第二個(gè)本原性問題：二面角有什么作用，如何精確刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系？

（三） 利用數(shù)學(xué)本原性問題驅(qū)動(dòng)探究性學(xué)習(xí)（知識(shí)建構(gòu)）

本原性問題有很強(qiáng)的統(tǒng)領(lǐng)性，能驅(qū)動(dòng)學(xué)生自然展開過程完整的探究性學(xué)習(xí)。但是，學(xué)生的學(xué)習(xí)畢竟是一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的過程，離不開教師適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。這里，教師指導(dǎo)的關(guān)鍵是給予適當(dāng)?shù)奶崾竞蛦l(fā)，讓學(xué)生順著本原性問題提出派生性問題，從而展開深入探究，直至徹底解決本原性問題。

教學(xué)“二面角”時(shí)，提出第一個(gè)本原性問題后，學(xué)生很容易根據(jù)兩個(gè)面及其交線等數(shù)學(xué)元素、兩條線及其交點(diǎn)的情況，經(jīng)過語(yǔ)言的推敲，類比平面角的定義，形成二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形叫作二面角。教師只需簡(jiǎn)單補(bǔ)充相關(guān)規(guī)定：它記作α-l-β，直線l叫二面角的棱，兩個(gè)半平面α和β分別叫二面角的面。由此，學(xué)生完整經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)、從二維到三維的二面角定義形成過程，認(rèn)識(shí)到二面角概念的應(yīng)用場(chǎng)域，感悟到類比升維的數(shù)學(xué)思想。

提出第二個(gè)本原性問題（實(shí)際上，第二個(gè)本原性問題可以看作第一個(gè)本原性問題的派生性問題——概念無所謂對(duì)錯(cuò)，關(guān)鍵在于是否有用；有了二面角的概念，自然要知道它有什么用、怎么用）后，學(xué)生不難想到：用二面角的大小精確刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系。由此，自然產(chǎn)生第一個(gè)派生性問題：如何度量二面角的大??？學(xué)生（在教師的引導(dǎo)下）可以類比線面角的大小是轉(zhuǎn)化為線線角來度量的，想到二面角的大小也可以轉(zhuǎn)化為線面角（也就轉(zhuǎn)化線線角）來度量。由此，自然產(chǎn)生第二個(gè)派生性問題：如何將二面角轉(zhuǎn)化為線面角？學(xué)生可能在一個(gè)半平面內(nèi)任作一條射線（如下頁(yè)圖1中的AC），再作它與另一個(gè)半平面所成的角（如下頁(yè)圖1中的∠ACO）。這時(shí)，可以引出第三個(gè)派生性問題：對(duì)某個(gè)二面角而言，這樣作出的角有多少個(gè)？它們大小相等嗎？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：這樣作出的角有無數(shù)個(gè)，它們大小有些相等，有些不相等。這時(shí)，可以引出第四個(gè)派生性問題：對(duì)某個(gè)二面角來說，它的大小應(yīng)該是確定的，那么所作出的線面角中，哪個(gè)（些）角的大小能代表二面角的大??？學(xué)生（在教師的引導(dǎo)下）可以類比線面角的性質(zhì)（乃至點(diǎn)線距的性質(zhì)），想到最小的角的大小能代表二面角的大小。但是這個(gè)想法很快會(huì)被否定：顯然，最小的角的大小無限接近于0。學(xué)生轉(zhuǎn)而就會(huì)猜想最大的角的大小能代表二面角的大小。這時(shí)，可以引出第五個(gè)派生性問題：所作出的線面角中，哪個(gè)（些）角最大？或者說，怎樣作出最大的線面角？學(xué)生（在教師的引導(dǎo)下）可以發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)半平面內(nèi)作與棱垂直的一條射線（如下頁(yè)圖1中的AK），再作它與另一個(gè)半平面所成的角（如下頁(yè)圖1中的∠AKO），可以作出最大的線面角。進(jìn)而（在教師的引導(dǎo)下）給出證明：在半平面α內(nèi)作AK⊥棱l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AO⊥面β點(diǎn)O，在半平面α內(nèi)任作一條不與棱l平行的直線AC，則AK≤AC，由sin∠AKO=AO/AK，sin∠ACO=AO/AC，得sin∠AKO≥sin∠ACO，故∠AKO≥∠ACO。由此，便可指出：這樣作出的角就是二面角的平面角，可以用來度量二面角的大小，從而精確刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系。最后，可以引導(dǎo)學(xué)生探究二面角的平面角的范圍和幾種特殊情況。由此，學(xué)生完整經(jīng)歷從定性到定量、從三維到二維的二面角大小度量過程，認(rèn)識(shí)到二面角的平面角概念的合理之處，感悟到其中降維轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

章建躍博士提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要為學(xué)生構(gòu)建學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，讓學(xué)生經(jīng)歷“事實(shí)—概念—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”的完整過程，使學(xué)生完成“事實(shí)—方法—方法論—學(xué)科本質(zhì)觀”的超越。其實(shí)，本原性問題提出教學(xué)，就是基于知識(shí)發(fā)展和認(rèn)知發(fā)展的合理性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“情境體驗(yàn)—提出問題—提煉本原性問題—數(shù)學(xué)探究—得出結(jié)論—數(shù)學(xué)應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，在這一過程中感受數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的自然形成，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法、思維方法和研究方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理性精神等。

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*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃蘇教名家專項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)本原性問題提出教學(xué)的實(shí)踐與研究”（編號(hào)：SJMJ/2022/10）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于HPM的高中數(shù)學(xué)章起始課設(shè)計(jì)與應(yīng)用研究”（編號(hào)：Ｂ/2021/02/184）的階段性研究成果。